能量法‘.ppt
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1、第11章 能 量 法,11.1 概 述,1.能量法:,利用功和能的概念及能量守恒定律,求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法。,2.能量法的应用范围十分广泛:,(1)线弹性体;非线性弹性体,(2)静定问题;超静定问题,(3)是有限单元法的重要基础,西南交通大学应用力学与工程系材料力学教研室,11.2 应变能余能,1.应变能,(1)线弹性体的各基本变形形式下的应变能表达式(参见上册),拉(压)杆,圆轴扭转,梁弯曲,(2)非线性弹性体的应变能表达式,对图(a)的拉杆,F在d上所作微功为 dW=F d,F作的总功为:,(F-曲线与横坐标轴间的面积),由能量守恒得应变能:,(此为由外力功计算应变能的
2、表达式),类似,可得其余变形下的应变能:,若取各边长为单位长的单元体,则作用于上、下表面上的力为:,F=11=,其伸长量为:,1,则作用于此单元体上的外力功为:,注意到此单元体的体积为单位值,从而此时的应变能(数值上等于上式中的W)为应变能密度:,(-曲线与横坐标轴间的面积),若取边长分别为dx、dy、dz 的单元体,则此单元体的应变能为:,整个拉杆的应变能为:,(此为由应变能密度计算应变能的表达式),说明:线弹性体的v、V 可作为非线性体的v、V 的特例。由于线弹性的F与或与 成正比,则F曲线或 曲线与横坐标轴围成一个三角形,其面积等于应变能V 和应变能密度v。,同理,可得纯剪时的应变能密度
3、v为:,例:弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载q作用,如图所示。试求梁内的应变能。,解:梁的挠曲线方程为:,荷载所作外力功为:,将前一式代入后一式得:,例:原为水平位置的杆系如图a 所示,试计算在荷载F1作用的应变能。两杆的长度均为l,横截面面积均为A,其材料相同,弹性模量为E,且均为线弹性的。,解:设两杆的轴力为FN,则两杆的伸长量均为:,两杆伸长后的长度均为:,由图a的几何关系可知:,代入前一式得:,或:,(几何非线性弹性问题),其F-间的非线性关系曲线为:,应变能为:,2.余能,设图a为非线性弹性材料所制成的拉杆,拉杆的F-曲线如图b。,“余功Wc”定义为:,与余功相应的能称为余能Vc,余
4、功Wc与余能Vc 在数值上相等。,(代表F-曲线与纵坐标轴间的面积),即:,另外,也可由余能密度vc计算余能V c:,其中,余能密度vc为:,(代表图c中-与纵坐标轴间的面积),对线弹性材料,余能和应变能仅在数值上相等,其概念和计算方法却截然不同。,注意:,对非线性材料,则余能V c与应变能V 在数值上不一定相等。,余功、余能、余能密度都没有具体的物理概念,仅是具有功和能的量纲而已。,例 试计算图a 所示结构在荷载F1作用下的余能Vc。结构中两杆的长度均为l,横截面面积均为A。材料在单轴拉伸时的应力一应变曲线如图b所示。,解:,两杆轴力均为:,两杆横截面上的应力为:,所以余能为,余能密度为:,
5、由已知,113 卡氏定理,1.卡氏第一定理 导出“力”的定理,设图中材料为非线性弹性,,由于应变能只与最后荷载有关,而与加载顺序无关。不妨按比例方式加载,从而有,假设与第i个荷载相应的位移有一微小增量d i,则应变能的变化为:,因仅与第i个荷载相应的位移有一微小增量,而与其余各荷载相应的位移保持不变,因此,对于位移的微小增量d i,仅Fi作了外力功,外力功的变化为:,注意到上式与下式在数值上相等,从而有:,(卡氏第一定理),注意:,卡氏第一定理既适合于线弹性体,也适合于非线性弹性体。,式中Fi及i分别为广义力、广义位移。,必须将V 写成给定位移的函数,才可求其变化率。,例 由两根横截面面积均为
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