EMF14静态场边值问题.ppt

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1、第14讲 静态场边值问题,授课内容,唯一性定理镜像法,静态场：静电场、恒定电场和恒定磁场等不随时间变化的场场计算的两大类问题已知场量分布求与之相应的场源分布,已知场源分布求该源产生的场量分布,1 静态场边值问题的基本概念,静态场计算方法,在工程上常遇场源分布常较复杂，而且场域往往是由某种边界条件限制的、形状不一定规则的有限区域。为此，在场论中引入了辅助计算量位函数。,数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值，这些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为该方程的定解条件。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的泊

2、松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解场域的场（一定边界条件下微分方程的解）的问题，称为边值问题。,边值问题,边值问题求解方法,Analysis of Boundary-Value Problems,自然边界条件（无界空间）,周期边界条件,衔接条件,不同媒质分界面上的边界条件，如,静态场问题可以归结为求解满足三类边值的泊松方程（或拉普拉斯方程）的所谓边值问题，它们分别称为狄里赫利问题，纽曼问题和混合问题。,第一类边值：已知场域边界上位函数,第二类边值：已知场域边界上位函数的法向导数（对于静电场，相当于给出了电荷在导体表面的面电荷分布密度。）,第三类边值：已知场域一部分

3、边界上的位函数和其余部分边界上的位函数的法向导数,为什么说静电场第二类边界条件与导体上给定电荷分布的条件是等价的？,内已知,例：,（第一类边值问题）,（第三类边值问题）,例：,对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。解的存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会发生很大的变化。解的惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。由于实际中定解条件是由实验得到的，不可能取得精确的真值，因此，解的稳定性具有重要的实际意义。泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明

4、。可以证明电位微分方程解也是惟一的。,【唯一性定理】如果给定 V 中的电荷分布、边界S上的电位值或其方向导数值或S中一部分面上给定电位值，其余部分给定电位法向导数值，则V中的电位唯一确定。,证明：设场中任意一点有两组解，都满足Possion方程,则电位差 满足Laplace方程,电位差 满足齐次边界条件,（第一类）,（第二类）,（第三类）,应用Green第一定理,令：,则,显然，在给定三类边界条件中任何一类的情况下，上式的右边都为零。左边第一项也为零，得,若为第一类边界条件，在既满足场域，又满足边界条件的情况下，C0。,若为第二类边界条件，当选择相同的电位参考点时，C0.,对第三类混合边值问题

5、，只要将闭合面积分写成各部分表面的面积分之和，对每一部分采用上述的方法处理，结论相同。,唯一性定理给出了定解的充分必要条件，虽然没有给出具体的求解方法，但对于求解有着重要的指导意义：,【唯一性定理的指导意义】,一方面，我们在构造求解方程时，可以依据唯一性定理设置必要的边界条件；另一方面，如果我们利用某种方法获得了解，则可以肯定解是唯一的。即使采用不同的方法获得了不同形式的解，也可以肯定这些解是等价的。,2.镜像法,实质:是以一个或几个等效电荷（或电流）代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程大为简化。,依据：惟一性定理。因此，等效电荷（或电流）的引入必

6、须维持原来的边界条件不变，从而保证原来区域中静态场没有改变，这是确定等效电荷（或电流）的大小及其位置的依据。这些等效电荷（电流）通常处于镜像位置（待求场域之外），因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。,关键：确定镜像电荷的个数、大小及其位置。,局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷（或电流）才有可能确定其镜像电荷。,（1）点电荷与无限大的导体平面。,以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为 的空间，则空间任一点 P 的电位由 q 及 q 共同产生，即,考虑到无限大导体平面的电位为零，求得,边值问题：,平面导体的镜像,上半场域边值问题：,（S 为包围q

7、 的闭合面）,电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半部分完全相同。,由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。,电荷守恒：当点电荷q 位于无限大的导体平面附近时，导体表面将产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点电荷及导体表面上的感应电荷。可见，上述镜像法的实质是以一个异性的镜像点电荷代替导体表面上异性的感应电荷的作用。根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量，可以根据导体表面电荷密度与电场强度或电位的关系证明这个结论。,半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源及边界条件未变。,（方向指向地面

8、）,整个地面上感应电荷的总量为,【例19.1】求空气中一个点电荷 在地面引起的感应电荷分布情况。,解:设点电荷 离地面高度为h，则,点电荷 在地面引起的感应电荷的分布,仅当这种导体劈的夹角=180/n(n为整数）时，才可求出其镜像电荷，镜像电荷为2n-1个。分布在半径为r0的圆上（r0为点电荷到角顶点的距离）。镜像的角度为2m,m=1,2,电荷量为q，为点电荷与劈的一平面的夹角。,连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。,（2）导体劈的镜像法,直角形导体平面镜像,镜像电荷加在区域外只用于求区域内的场,（3）电介质分界面的镜像,边值问题：,点电荷对无限大介质分界面的镜像,中的电场是由 决定，其有效区在下半空间，是等效替代自由电荷与极化电荷的作用。,即,点电荷 位于不同介质平面上方的场图,中的电场是由 与 共同产生，其有效区在上半空间，是等效替代极化电荷的影响。,点电荷 与 分别置于 与 区域中,为求解图示 与 区域的电场，试确定镜像电荷的个数、大小与位置。,作 业,Page205:5-1，5-4，5-7，5-10,