DVD在线租赁问题.ppt
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1、主讲教师:董庆来2012年8月9日,2012年数学建模竞赛暑期集训系列讲座之一DVD在线租赁,CUMCM-2005B:DVD在线租赁,命题人:余刚先生(教授)时任亚马逊公司全球供应链运营副总裁曾任美国德州大学奥斯汀分校管理学院Jack G.Taylor讲席教授获多项美国专利,1995年创建美国科莱科技公司(CALEBTechnologiesCorp.)并任董事长和总裁航班管理:2001年为美国大陆航空公司所创造的价值超过6000万美元,获2002年运筹学与管理科学应用Franz Edelman奖(运筹学与管理科学应用的“世界杯”),CUMCM-2005B:DVD在线租赁,网上DVD在线租赁业务
2、(2005年时的背景)亚马逊英国公司();美国和等;欧洲等著名公司租赁的DVD多达几万种,用户多达几十万几百万,有的包括多个配送中心题目:会员每月最多可租赁两次,每次张DVD第(1)、(2)问:分别考虑购买和分发子问题第(3)问:同时考虑购买和分发第(4)问:自己提出新问题,尝试建模和求解,二、问题分析与建模,问题一 网站购买DVD的最优数量,在现有会员中随机抽取1000个会员进行调查,以得知愿意观看不同DVD的人数(表1.1给出了其中5种DVD的数据)。从历史数据显示,60%的会员每月租赁DVD两次,而另外的40%只租一次。现在我们假设网站现有10万个会员,并已经知道会员对DVD的需求,以及
3、会员每月订DVD的规律。问题是应该至少准备多少张,才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到?如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到呢?,表1.1 对1000个会员调查的部分结果,信息:数据是随机抽取1000会员的调查数据每个会员每月至多租2次每次租赁可租3张(寄回可再租);40会员每月租1次,记作A类会员60会员每月租2次,记作B类会员,问题:至少要准备多少张DVD(上述5种),才能保证:希望看到该DVD的会员中至少50能看到想看的DVD?(一个月内)希望看到该DVD的会员中至少95能看到DVD?(三个月内),假设:1、事先无法预测会员在本月订D v D 的次数2、
4、会员每次得到3 张D V D3、假设60%的每月租赁D V D 两次的会员租赁的D V D 一个月内可外借两次,而40%的每月租赁D V D 一次的会员租赁的D V D 在一个月内只能外借一次,第j 种DVD 应准备数量(xj)每张光盘利用次数的期望(E)=愿观看人数(Pj)能看到该DVD 人数的比例(R),即,假设:光盘第一次被每月租两次的会员租的D V D 光盘一个月能利用两次,即可被两个会员租到,被只租一次的会员租的D V D 光盘一个月只能利用一次,每个光盘在一个月内能利用次数的期望,E=2x60%+1x 40%=1.6,一个月的情况,能看到该D V D 人数的比例:R=50%,调查的
5、人数只占全部会员的1%,所以数据按100 倍扩大,将数值代入,三个月的情况,每个光盘在三个月内能利用的次数的期望,由于能看到该D V D 人数的比例:R=95%将数值代入模型求解并且把解向右取整,问题1:网站购买DVD的数量(x),假设:每种DVD独立考虑(联合考虑没有足够信息),希望看到该DVD的会员数量:确定?随机!,保证一个月至少P%有需求的会员能得到满足?,会员希望看该DVD的概率为p网站的会员总数为n,n比较大,可用正态分布N(np,npq)近似(q=1-p),二项分布N(n,p),可近似认为1个月该DVD实际可用张数是1.6x张,一定置信水平下成立!,问题1:网站购买DVD的数量(
6、x),置信水平,N(np,npq),问题1:网站购买DVD的数量(x),0.95;n=100000;P%=50%,推广到个月的模型,类似考虑:张DVD在三个月内可以用多少次?归还规律出借规律的探讨将变得复杂一些,一般需要在更多的假设下,才能得到(如还回网站的DVD是否一定能马上分给某个需要的会员?),问题1:网站购买DVD的数量(x),其他模型:,数值模拟(仿真):需交代详细过程(归还规律?出借规律),其他理解:例如认为表中给出的只是初始时段(一个月或半个月)的需求,并进一步假设以后时段的需求持续不变或按某种规律变化(排队论?随机决策?),需求上限:一定置信水平下得到上限M(x=P%*M/1.
7、6),问题二 网站分发DVD的数学模型,在现有一定数量DVD的前提下,如何分配以使会员总的满意度最大。这与“分配问题”或“指派问题(Assignment problem)”有很多相同点。我们可以通过一些变化来使求解“分配问题”的模型能运用于该问题。我们把问题二中“100个会员对DVD的需求”理解为“需要完成的100项任务”,“20种DVD数量”理解为“有20个人可以承担这些任务”,“会员对于不同DVD的偏爱度”理解为“不同人去完成不同工作的效率”,通过类比就能把分配问题的模型运用到问题二中了。,0-1规划(最常见),分配问题最常用的方法是0-1型整数规划。在具体使用前,还需要将每个会员对不同D
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