DMU 对坐标的曲线积分.ppt

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1、,大 连 海 事 大 学 数 学 系王志平2005年11月,高等数学,第十章,积分学 定积分二重积分三重积分,积分域 区间域 平面域 空间域,曲线积分,曲线域,曲面域,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,曲面积分,曲线积分与曲面积分,第十章 曲线积分与曲面积分,第一节 对弧长的曲线积分第二节 对坐标的曲线积分 第三节 格林公式及其应用 第四节 曲线积分与路径无关的条件第五节 对面积的曲面积分第六节 对坐标的曲面积分第七节 高斯公式 通量 散度第八节 斯托克斯公式 环流量 与旋度,第一节 对弧长的曲线积分,定义及性质 计算 总结,对弧长的曲

2、线积分,定义,对弧长的曲线积分,定义：设 L 是xoy面内的一条光滑曲线弧,f(x,y),在 L上有界,都存在,L上对弧长的曲线积分,记作,若通过对 L 的任意分割,局部的任意取点,下列“乘积和式极限”,则称此极限为函数,在曲线,或第一类曲线积分.,称为被积函数，,L 称为积分弧段.,注：,和对,对弧长的曲线积分,性质,（k 为常数),(L由 组成),(l 为曲线弧 L 的长度),对弧长的曲线积分的计算法,基本思路:,计算定积分,定理:,且,上的连续函数,解释:,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分,求曲线积分,弧微分：,又(x,y)在L上,对弧长的曲线积分,如果曲线 L 的方程为,则有,如果方程为

3、极坐标形式:,则,推广:设空间曲线弧的参数方程为,则,例1.计算,其中 L 是抛物线,与点 B(1,1)之间的一段弧.,解:,上点 O(0,0),对弧长的曲线积分,注：化为定积分时上限一定大于下限,例2.计算曲线积分,其中为螺旋,的一段弧.,解:,线,对弧长的曲线积分,例3.计算,其中为球面,被平面 所截的圆周.,解:由对称性可知,对弧长的曲线积分,对弧长的曲线积分也有类似于重积分的对称性,对弧长的曲线积分,对弧长的曲线积分,对弧长的曲线积分,质量,质心,转动惯量,对弧长的曲线积分,总结,对弧长的曲线积分,第二节 对坐标的曲线积分,定义及性质 计算 两类曲线积分之间的关系 总结,对坐标的曲线积

4、分的概念与性质,1.引例:变力沿曲线所作的功.,设一质点受如下变力作用,从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,“大化小”,“常代变”,“近似和”,“取极限”,变力沿直线所作的功,解决办法:,变力所作的功W.,对坐标的曲线积分,对坐标的曲线积分,1)“大化小”.,2)“常代变”,把L分成 n 个小弧段,有向小弧段,近似代替,则有,所做的功为,则,用有向线段,3)“近似和”,4)“取极限”,(其中 为 n 个小弧段的最大长度),对坐标的曲线积分,对坐标的曲线积分,2.定义.,设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑,弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向弧

5、L 上,对坐标的曲线积分,则称此极限为函数,或第二类曲线积分.,在L 上定义了一个向量函数,极限,对坐标的曲线积分,对 x 的曲线积分;,对 y 的曲线积分.,若 为空间曲线弧,记,若记,对坐标的曲线积分也可写作,类似地,对坐标的曲线积分,性质,定积分是第二类曲线积分的特例.,说明:,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,对坐标的曲线积分,计算,定理:,在有向光滑弧 L 上有定义且,L 的参数方程为,则曲线积分,连续,证明:下面先证,存在,且有,对应参数,设,根据定义,对应参数,同理可证,对坐标的曲线积分,对坐标的曲线积分,若 L 的方程为,则,对空间光滑曲线弧:,类似有,对坐标的曲线积分

6、,对坐标的曲线积分,例2.求,其中,从 z 轴正向看为顺时针方向.,解:取 的参数方程,对坐标的曲线积分,对坐标的曲线积分,两类曲线积分之间的关系,设有向光滑弧 L 参数方程为,则L上(x,y)处的切向量为,则两类曲线积分有如下联系,对坐标的曲线积分,类似地,在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是,令,则,对坐标的曲线积分,总结,第三节 格林公式及其应用,格林公式 格林公式的应用 总结,格林公式及其应用,格林公式,格林公式及其应用,格林公式及其应用,格林公式及其应用,格林公式的应用,1.直接用,格林公式及其应用,2.L不封闭，取L+l封闭,格林公式及其应用,3.P(x,y),Q(x,y)一阶偏导

7、不连续,A.代入法：将积分弧段的方程直接代入分母中。,B.直接法,格林公式及其应用,C.将不连续的点挖去（积分弧的方程与分母不同）,格林公式及其应用,格林公式及其应用,格林公式及其应用,4.求二重积分,格林公式及其应用,5.求面积,格林公式及其应用,总结,第四节 曲线积分与路径无关,曲线积分与路径无关 全微分求积 题型 小结,曲线积分与路径无关,G,B,A,曲线积分与路径无关,则称曲线积分,定义：如果在区域 G 内有,在 G内与路径无关,否则称为与路径有关。,曲线积分与路径无关,平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理.设D 是单连通域,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1)沿D 中任意光滑闭曲

8、线 L,有,(2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分,(3),(4)在 D 内每一点都有,与路径无关,只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,格林公式及其应用,说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为,证明：(1)(2),设,为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲,线,则,(根据条件(1),格林公式及其应用,(2)(3),在D内取定点,因曲线积分,则,同理可证,因此有,和任一点B(x,y),与路径无关,有函数,(3)(4),设存在函数 u(x,y)使得,则,P,Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有,格林公式及其应用,(4)(1)

9、,设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得,所围区域为,证毕,格林公式及其应用,对坐标的曲线积分,说明:,根据定理,若在某区域内,则,2)可用积分法求d u=P dx+Q dy在域 D 内的原函数:,及动点,或,则原函数为,取定点,1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;,例1.验证,是某个函数的全微分,并求,出这个函数.,证:设,则,由定理2 可知,存在函数 u(x,y)使,。,。,对坐标的曲线积分,曲线积分与路径无关,题型,1.与路径无关,曲线积分与路径无关,曲线积分与路径无关,曲线积分与路径无关,1.与参数有关,曲线积分与路径无关,曲线积分与路径无关,曲线积分与路径无关

10、,小结,第五节 对面积的曲面积分,概念 重要结论 对面积的曲面积分的计算,对面积的曲面积分,概念,对面积的曲面积分,定义:,设 为光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,的曲面积分,其中 叫做积分曲面.,据此定义,曲面形构件的质量为,曲面面积为,f(x,y,z)是定义在 上的一,个有界函数,或第一类曲面积分.,若对 做任意分割和局部区域,则称此极限为函数 f(x,y,z)在曲面 上对面积,任意取点,对面积的曲面积分,性质：,对面积的曲面积分,对面积的曲面积分,对面积的曲面积分,计算,定理:设有光滑曲面,f(x,y,z)在 上连续,存在,且有,则曲面积分,证明:由定义知,而,对面积的曲面积分,对面积

11、的曲面积分,对面积的曲面积分,对面积的曲面积分,对面积的曲面积分,例2.计算,其中 是由平面,坐标面所围成的四面体的表面.,解:设,上的部分,则,与,原式=,分别表示 在平面,对面积的曲面积分,第六节 对坐标的曲面积分,有向曲面及投影 定义及性质 计算 两类曲面积分之间的关系 总结,曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面的典型),对坐标的曲面积分,对坐标的曲面积分,有向曲面及投影,其方向用法向量指向表示:,方向余弦,0 为前侧 0 为后侧,封闭曲面,0 为右侧 0 为左侧,0 为上侧 0 为下侧,外侧内侧,设 为有向曲面,侧的

12、规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,其面元,在 xoy 面上的投影记为,的面积为,则规定,类似可规定,对坐标的曲面积分,对坐标的曲面积分,定义及性质,1.引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为,求单位时间流过有向曲面 的流量.,分析:若 是面积为S 的平面,则流量,法向量:,流速为常向量:,对坐标的曲面积分,对一般的有向曲面,对稳定流动的不可压缩流体的,速度场,进行分析可得,则,对坐标的曲面积分,设 为光滑的有向曲面,在 上定义了一个,意分割和在局部面元上任意取点,分,记作,P,Q,R 叫做被积函数;,叫做积分曲面.,或第二类曲面积分.,下列极限都存在,向量场,若对 的任,2.定义.,对坐标的曲

13、面积分,若记 正侧的单位法向量为,令,则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式,引例中,流过有向曲面 的流体的流量为,对坐标的曲面积分,3.性质,对坐标的曲面积分,4.计算,定理:设光滑曲面,取上侧,是 上的连续函数,则,证:,取上侧,对坐标的曲面积分,若,则有,若,则有,(前正后负),(右正左负),说明:,如果积分曲面 取下侧,则,对坐标的曲面积分,上侧,下侧,对坐标的曲面积分,对坐标的曲面积分,对坐标的曲面积分,两类曲面积分之间的关系,对坐标的曲面积分,对坐标的曲面积分,对坐标的曲面积分,对坐标的曲面积分,总结,第七节 高斯公式 通量 散度,高斯公式 题型 通量 散度 小结,高斯公式 通量

14、散度,高斯公式,定理1.设空间闭区域 由分片光滑的闭曲,上有连续的一阶偏导数,函数 P,Q,R 在,面 所围成,的方向取外侧,则有,(Gauss 公式),高斯公式 通量 散度,高斯公式 通量 散度,题型,高斯公式 通量 散度,高斯公式 通量 散度,高斯公式 通量 散度,高斯公式 通量 散度,高斯公式 通量 散度,高斯公式 通量 散度,高斯公式 通量 散度,高斯公式 通量 散度,高斯公式 通量 散度,高斯公式 通量 散度,高斯公式 通量 散度,通量 散度,引例.,设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为,设 为场中任一有向曲面,则,单位时间通过曲面 的流量为,由两类曲面积分的关系,流量还可表

15、示为,高斯公式 通量 散度,若 为方向向外的闭曲面,当 0 时,说明流入 的流体质量少于,当 0 时,说明流入 的流体质量多于流出的,则单位时间通过 的流量为,当=0 时,说明流入与流出 的流体质量相等.,流出的,表明 内有泉;,表明,内有洞;,根据高斯公式,流量也可表为,高斯公式 通量 散度,方向向外的任一闭曲面,记 所围域为,设 是包含点 M 且,为了揭示场内任意点M 处的特性,在式两边同除以 的体积 V,并令 以,任意方式缩小至点 M,则有,此式反应了流速场在点M 的特点:,其值为正,负或 0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.,高斯公式 通量 散度,定义:,设有向量场,其

16、中P,Q,R 具有连续一阶偏导数,是场内的一片有向,则称,曲面,有向曲面 的通量(流量).,在场中点 M(x,y,z)处,divergence,高斯公式 通量 散度,表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.,例如,匀速场,故它是无源场.,说明:,由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且,高斯公式 通量 散度,*例5.,置于原点,电量为 q 的点电荷产生的场强为,解:,计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.,高斯公式 通量 散度,设,小结,高斯公式 通量 散度,第八节 斯托克斯公式 环流量与旋度,斯托克斯公式 环流量与旋度,斯托克斯公式 环流量与旋度,定

17、理.设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线,(斯托克斯公式),的一个空间域内具有连续一阶偏导数,的侧,与 的正向符合右手法则,则有,在包含 在内,或记为,斯托克斯公式 环流量与旋度,例1.利用斯托克斯公式计算积分,其中为平面 x+y+z=1 被三坐标面,解:记三角形域为,取上侧,则,所截三角形的整个边界,方向如图所示.,利用对称性,例2.为柱面,与平面 y=z 的交线,从 z,轴正向看为顺时针,计算,解:设为平面 z=y 上被 所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得,则其法线方向余弦,斯托克斯公式 环流量与旋度,斯托克斯公式 环流量与旋度,斯托克斯公式 环流量与旋度,斯托克斯公式,设曲面 的法向

18、量为,曲线 的单位切向量为,则斯托克斯公式可写为,环流量与旋度,斯托克斯公式 环流量与旋度,令,引进一个向量,定义:,沿有向闭曲线 的环流量.,或,于是得斯托克斯公式的向量形式:,旋度.,rotation,斯托克斯公式 环流量与旋度,设某刚体绕定轴 l 转动,M为刚体上任一,点,建立坐标系如图,则,点 M 的线速度为,(此即“旋度”一词的来源),旋度的力学意义:,斯托克斯公式 环流量与旋度,注意 与 的方向形成右手系!,斯托克斯公式的物理意义:,例4.,求电场强度,的旋度.,解:,(除原点外),高斯(1777 1855),德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他的

19、数学成就遍及各个领域,在数论、,级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创,性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、,曲面论和位势论等.,他在学术上十分谨慎,原则:,代数、非欧几何、微分几何、超几何,在对天文学、大,恪守这样的,“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.,斯托克斯(1819-1903),英国数学物理学家.,他是19世纪英国,数学物理学派的重要代表人物之一,其,主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题,的有效且一般的新方法,在1845年他导,出了著名的粘性流体运动方程(后称之,为纳维 斯托克斯方程),1847年先于,柯西提出了一致收敛的概念.,他提出的斯托克斯公式,是向量分析的基本公式.,他一生的工作先后分 五卷,出版.,