D84平面及其方程.ppt

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1、,第四节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程,第八章,一、平面方程1.平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,法向量.,量,则有,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.求过三点,即,解:取该平面 的法向量为,的平面 的方程.,利用点法式得平面 的方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当平面与三坐标轴的交点分别为,此式称为平面的截距式方程.,时,平面方程为,分析:利用三点式,按第一行展开得,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2、平面的一般方程,设有三元一次方程,以上两式相减,得平面的点法式方程,此方程称为平面

2、的一般,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程与此点法式方程等价,的平面,因此方程的图形是,法向量为,方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特殊情形,当 D=0 时,A x+B y+C z=0 表示,通过原点的平面;,当 A=0 时,B y+C z+D=0 的法向量,平面平行于 x 轴;,A x+C z+D=0 表示,A x+B y+D=0 表示,C z+D=0 表示,A x+D=0 表示,B y+D=0 表示,平行于 y 轴的平面;,平行于 z 轴的平面;,平行于 xoy 面 的平面;,平行于 yoz 面 的平面；,平行于 zox 面 的平面.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2

3、.求通过 x 轴和点(4,3,1)的平面方程.,例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.,解:,因平面通过 x 轴,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,(P18 例3,自己练习),机动 目录 上页 下页 返回 结束,3、两平面的夹角,设平面1的法向量为,平面2的法向量为,则两平面夹角 的余弦为,即,两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别有下列结论：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此有,例3.一平面通过两点,垂直于平面:x+y+z=0,求其方程.,解:设所求平面的法向量为,即,的法向量,约去C,得,即,和,则所

4、求平面,故,方程为,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,外一点,求,设,设平面法向量为,在平面上取一点,是平面,到平面的距离d.,则P0 到平面的距离为,(点到平面的距离公式),机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.点到平面的距离,1、空间直线一般、点向式、参数式方程,2、线面间的位置关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、空间直线的方程,第八章,因此其一般式方程,1.1 一般式方程,直线可视为两平面交线，,(不唯一),机动 目录 上页 下页 返回 结束,1、空间直线一般、点向式、参数式方程,1.2 对称式方程,故有,说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.,设直线上的动点为,则,

5、此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程),直线方程为,已知直线上一点,例如,当,和它的方向向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.3.参数式方程,设,得参数式方程:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.用对称式及参数式表示直线,解:先在直线上找一点.,再求直线的方向向量,令 x=1,解方程组,得,交已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故所给直线的对称式方程为,参数式方程为,解题思路:,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.两直线的夹角,则两直线夹角 满足,设直线,两直线的夹角指其方向向量间的夹

6、角(通常取锐角),的方向向量分别为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别有:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.求以下两直线的夹角,解:直线,直线,二直线夹角 的余弦为,(参考P35例8),从而,的方向向量为,的方向向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当直线与平面垂直时,规定其夹角,线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;,3.直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为,平面 的法向量为,则直线与平面夹角 满足,直线和它在平面上的投影直,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别有:,解:取已知平面的法向量,则直线的对称式方程为,直的直线方程.,为所求直线的方向向量.,垂,例6.求过点(1,2,4)且与平面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.空间直线方程,一般式,对称式,参数式,内容小结,机动 目录 上页 下页 返回 结束,直线,2.线与线的关系,直线,夹角公式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面:,L,L/,夹角公式：,3.面与线间的关系,直线 L:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.平面基本方程:,一般式,点法式,截距式,三点式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.平面与平面之间的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,