D61多元数量值函数积分的概念与性质.ppt

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1、第六章,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,多元函数积分学及其应用,三、积分存在的条件和性质,第一节,一、引例,二、多元数量值函数积分的概念,多元数量值函数积分的概念与性质,第六章,1.平面薄片的质量,有一个平面薄片,在 xOy 平面上占有区域 D,计算该薄片的质量 M.,度为,设D 的面积为,则,若,非常数,则可用,其面密,“分,匀,合,精”,解决.,1)“分”,用任意曲线网分D 为 n 个小区域,相应把薄片也分为小块.,一、引例,2)“匀”,中任取一点,3)“合”,4)“精”,则第 k 小块的质量,解法:类似定积分解决问题的思想:,2.曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体:

2、,底：xOy 面上的闭区域 D,顶:连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,“分,匀,合,精”,1)“分”,用任意曲线网分D为 n 个区域,以它们为底把曲顶柱体分为 n 个,2)“匀”,在每个,3)“合”,则,中任取一点,小曲顶柱体,4)“精”,令,两个问题的共性：,(1)解决问题的步骤相同,(2)所求量的结构式相同,“分,匀,合,精”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,例如:物体为空间物质块。,一般说来，设有一质量非均匀分布在某一几何形体,上的物体，（这里几何形体可以是直线段、平面或,连续，都可以按照以上四个步骤来计算其质量。,空间区域，一片曲面或一段曲线

3、），密度函数,二、多元数量值函数积分的概念,定义:,抽象其共性,如果不论 怎样划分，点 怎样选取，极限,都存在，则称f 在 上可积，且,称此极限值为,即：,注意：当积分域类型不同时，积分的具体表达式,和名称也不相同,(1)当 为区间a,b时，M为x，积分为定积分,(2)当 为平面域()时，M为(x,y)，积分为二重积分,d称为面积微元，在直角坐标系下常写作,引例1中平面薄板的质量:,引例2中曲顶柱体体积:,(3)当 为空间域(V)时，M为(x,y,z)，积分为三重积分,称为体积元素,在直角坐标系下常写作,(4)当 为一条曲线弧段(C)时，积分为对弧长的曲线积分,也称为第一型线积分,其中(C)称

4、为积分路径,(5)当 为一片曲面(S)时，积分为对面积的曲面积分,也称为第一型面积分,三、积分存在的条件和性质,定理1：,上可积。,定理2：若 是紧的且可度量，,，则f 在,、积分存在的条件,复习:定积分的性质,(设所列定积分都存在),(k 为常数),、积分的性质,6.若在 a,b 上,则,推论1.若在 a,b 上,则,推论2.,7.设,则,8.积分中值定理,则至少存在一点,使,积分的性质,设 是紧的、可度量且被积函数可积,1.线性性质,(2),(1),2.对积分域的可加性,3.积分不等式,4.中值定理,为一有界连通闭集，则至少存在,一点,例1.比较下列积分的大小:,其中,解:积分域 D 的边界为圆周,它在与 x 轴的交点(1,0)处与直线,从而,而域 D 位于直线的上方,故在 D 上,例2.估计下列积分之值,解:D 的面积为,由于,积分性质5,即:1.96 I 2,被积函数相同,且非负,思考与练习,解:,由它们的积分域范围可知,1.比较下列积分值的大小关系:,2.设D 是第二象限的一个有界闭域,且 0 y 1,则,的大小顺序为(),提示:因 0 y 1,故,故在D上有,备用题,1.估计,的值,其中 D 为,解:被积函数,D 的面积,的最大值,的最小值,2.判断,的正负.,解：当,时，,故,又当,时，,于是,