D36微分中值定理.ppt

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1、3.6.3 罗尔(Rolle)定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.6.4 拉格朗日(Lagrange)中值定理,3.6.5 柯西(Cauchy)中值定理,3.6.2 极值点、Fermat 引理,第 3 章,微分中值定理,3.6,3.6.1 问题的提出,中值定理,应 用,研究函数性质及曲线性态(增减性与凹凸性),利用导数解决实际问题（极值与最值）,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式,洛必达法则,费马引理,本节的内容结构,3.6.1 问 题 的 提 出,设函数,其图形是一条绵绵不断的曲线，,则过点,上连续，,的直线的斜率为：,若曲线是由参数方程：,给出，,？,的直线的

2、斜率为：,？,在闭区间,则过点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.6.2.极值点、Fermat 引理,)若,定义：,设函数,则称,称为函数,函数 的极大值与极小值统称为函数的极值。,处取得（局部）极大值，,为函数,在点,)若,则称,称为函数,处取得（局部）极小值，,为函数,在点,的一个（局部）极大值点；,的一个（局部）极小值点；,机动 目录 上页 下页 返回 结束,费 马(Fermat（16011665）)引理,则,证:,则,费马 目录 上页 下页 返回 结束,证毕,若函数,处取可导且取得极值，,在点,不妨设,是函数,的一个局部的极大值点(如下图)，,于是，,使得：,3.6.3 罗尔(R

3、olle(16521719)定理,满足：,）在闭区间,）在开区间,）端点处函数值相等：,证:,在 a,b 上取得最,大值 M 和最小值 m，,若,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若函数,则至少存在一点,使得：,在闭区间,上连续，,都有,定理：,上连续；,内可导；,则,若,故不妨设,则存在一点,使,注意:,1)Rolle 定理中条件的完整性：,例如：,由 Fermat 引理得：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则 M、m 中至少一个,不在区间的端点上取得，,“闭连续、开可导、两端函数值同大小；水平切线至少有一条。”,证毕,使得：,2)Rolle 定理中条件的充分性。,在开区间(a,

4、b)内可导，,则在(a,b)内至少存在一点,证明提示:设,只须验明 F(x)在闭区间 a,b 上满足罗尔定理 即可。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推 论：,设函数,均收敛，,且,例 1.,有且仅有一个小于1 的正实根。,因此在,证:,显然,在 0,1 连续,又,由零点定理知存在,使得：,即方程有小于 1 的正根,2)再证 唯一性：,用反证法：,为端点的区间满足罗尔定理条件,这与,矛盾,故假设不真!,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,之间必存在一点,假设另有,显然,在以,证明方程,1)先证 存在性：,使,使,例 如：,设函数,求证至少存在一点,且,使得：,又 如:,设,在闭区间,上

5、连续，,在开区间,内可导，,且,试证至少存在,一点,再 如：,设函数,在闭区间,上连续，,在开区间,内可导，,且,试证至少存在一点,使得：,使得：,在闭区间,上连续，,在开区间,内可导，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数,3.6.4 拉格朗日(Lagrange(17361813)中值定理,在闭区间,满足：,在开区间,则至少存在一点,使得：,作辅助函数：,显然,在 闭区间 a,b 上连续,在开区间(a,b)内可导,且,证:,问题转化为证明,由 Rolle 定理得，,即定理结论成立。,拉氏 目录 上页 下页 返回 结束,证毕,若函数,定理：,使得：,上连续；,内可导；,）,）,推 论：,设

6、函数,均在区间 I 里可微，,)若,）在区间 I 里任取两点,且函数,取法的任意性得：,则,)若,则,显然,上满足 Lagrange 中值公式的条件，,因此，,由,)令,用）的结果得证。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证：,在闭区间,C 为常数，,例 2.证明等式,令,由推论可知,(C为常数),令,又,一般地：,欲证,只需证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似可证：,则有,上成立。,故所证等式在定义域,得：,且,使得：,即可。,证：,例 3.证明不等式,证:,即,从而,因此，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,显然,上满足 Lagrange中值定理的一切条件，,在闭区间,成立,又

7、,函数,令,使得：,利用Lagrange中值公式 证明不等式时的思路是：,例 4.,“追,之迹，,试证不等式：,找,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,显然函数,上满足 Lagrange 中值定理的一切条件，,在,因此有：,显然,之形，,定,之位”,证：,拉格朗日中值定理的有限增量形式：,（位于 x 与 x+x 之间）,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,柯西(Cauchy(1789 1857)中值定理,分析:,及,在闭区间,在开区间,且,则至少存在一点,使得：,满足：,要证,柯西 目录 上页 下页 返回 结束,定理：,若函数,）,）,上连续；,内可导，,证:,且,使,即,由 Ro

8、lle 定理知,至少存在一点,思 考:,两式的 并非完全相同,错!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上面两式相比即得结论。,显然,在闭区间,上连续，,内可导，,在开区间,证毕,由 Lagrange 中值定理知：,柯西定理的下述证法对吗?,令,例 5.,至少存在一点,使得：,要证等式可变形为：,令,由Cauchy中值公式得：,显然，,试证：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,至少存在一点,使得：,在闭区间,上连续，,在开区间,内可导，,在闭区间,上连续，,在开区间,内可导，,设函数,证：,例 6.,至少存在一点,使得：,方法）所证等式可变形为：,令,则,在 0,1 上满足 Cauchy 中

9、值,定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点,使得：,试证：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,下面只须验证Rolle中值定理,方法）所证等式可变形为：,令,的条件即可。,在闭区间,上连续，,在开区间,内可导，,设函数,证：,例 7.,使得：,证:,方法 1.,则,令,因此,即,分析:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上满足柯西中值定理条件,在闭区间,试证至少存在一点,用柯西中值定理 证明,例 7.试证 至少存在一点,使得,方法 2.,则函数,使得：,因此，存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在闭区间,上满足罗尔中值定理条件,令,用 Rolle 中值公式,例 8.,使得：,所证等式

10、可变形为：,令,上满足Lagrange中值公式的一切条件，,显然,试证：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此，,使得：,在闭区间,上连续，,在开区间,内可导且,在闭区间,设函数,即,存在点,证：,例 9.,使得：,所证等式可变形为：,试证：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在区间,使得：,在闭区间,上连续，,在开区间,内可导,设函数,故存在点,Cauchy中值公式的条件，,因此，等式左边等于,令,显然，,上满足 Lagrange与,而等式右边：,证：,例 10.,满足：,所证等式可变形为：,试证：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在区间,使得：,在闭区间,上连续，,在开区间,内可

11、导且,设函数,Cauchy中值公式的条件，,因此，等式右边等于,令,显然，,上满足 Lagrange与,而等式左边：,证：,例 11.,又,取得最大值，,证:,由Fermat引理知，,原不等式可变为：,显然，,上分别满足Lagrange中值定理的条件,因此分别存在,在,试证：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,满足：,两式相加得所证的结果：,在闭区间,上二阶可导，且,设,使得,内容小结,1.微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2.微分中值定理的应用,(1)证明恒等式,(2)证明不等式,(3)证明有关中值问题的结论,关键:利用逆向思维寻求辅助函数,费马引理

12、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,费马(1601 1665),法国数学家,他是一位律师,数学,只是他的业余爱好.,他兴趣广泛,博,览群书并善于思考,在数学上有许多,重大贡献.,他特别爱好数论,他提出,的费马大定理:,至今尚未得到普遍的证明.,他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中,提炼出来的.,拉格朗日(1736 1813),法国数学家.,他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来,数学中的许多成就都直接或间,接地溯源于他的工作,他是对分析数学,产生全面影响的数学家之一.,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在

13、微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积,分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远.,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面.,一生发表论文800余篇,著书 7 本,思考与练习,1.填空题,1)函数,在区间 1,2 上满足拉格朗日定理,条件,则中值,2)设,有,个根,它们分别在区间,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上.,方程,2.设,且在,内可导,证明至少存,在一点,使,提示:,由结论可知,只需证,即,验证,在,上满足罗尔定理条件.,令,机动 目录 上页

14、 下页 返回 结束,3.若,可导,试证在其两个零点间一定有,的零点.,提示:,设,欲证:,使,只要证,亦即,作辅助函数,验证,在,上满足,罗尔定理条件.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.思考:在,即,当,时,问是否可由此得出,不能!,因为,是依赖于 x 的一个特殊的函数.,因此由上式得,表示 x 从右侧以任意方式趋于 0.,应用拉格朗日中值定理得,上对函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P132 7,8,10,12,14,15,提示:,题15.,题14.考虑,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,求证存在,使,1.设,可导，且,在,连续，,证：,因此至少存在,显然,

15、在 上满足罗尔定理条件,即,设辅助函数,使得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,证明对任意,有,证：,2.,不妨设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,柯西定理的几何意义:,注意:,弦的斜率,切线斜率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定 义：,设函数,）若存在一点,使得,都有,则称,为函数,在区间 I 里的最小值，,记作：,）若存在一点,使得,都有,则称,为函数,在区间 I 里的最大值，,记作：,函数的 最大值 与 最小值 统称为函数的最值。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,关于函数的最值问题,则其最值只能在极值点,或区间的端点处取到，由此得：,求函数最值的方法:,(1)求 在

16、内的极值可疑点,(2)最大值,最小值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义：,设,若,发散，,称为,的临界（可疑的极值）点。,则称,为函数,的驻点；,则称,为函数,的奇点；,函数,的驻点或奇点统称为,特别地:,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值,则也是最大 值.,(小),对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大 值点或最小值点.,(小),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.求函数,在闭区间,上的最大值和最小值.,解:显然,且,故函数在,取最小值 0;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此也可通过,例2.求函

17、数,说明:,求最值点.,与,最值点相同,由于,令,(自己练习),在闭区间,上的最大值和最小值.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(k 为某一常数),例 3.铁路上 AB 段的距离为100 km,工厂C 距 A 处20 km，,AC AB,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5,为使货,D 点应如何选取?,解:设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小点,故 AD=15 km 时运费最省.,总运费,物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点,问,公路,机动 目录 上页 下页 返回 结束,用开始移动,例4.设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上,

18、受力 作,解:克服摩擦的水平分力,正压力,即,令,则问题转化为求,的最大值问题.,为多少时才可使力,设摩擦系数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的大小最小?,令,解得,而,因而 F 取最小值.,解:,即,令,则问题转化为求,的最大值问题.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:如右图所示，,睛1.8 m,例5.一张 1.4 m 高的图片挂在墙上,它的底边高于观察者的眼,设观察者与墙的距离为 x m,则,令,得驻点,根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,驻点又唯一，,因此，观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚。,问观察者在距墙多远处看图才最清楚（视角 最大）？,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁,问矩形截面,的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?,解:由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为,令,得,从而有,即,由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求,结果就是最好的选择.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,