D32洛必达法则和泰勒公式.ppt

《D32洛必达法则和泰勒公式.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《D32洛必达法则和泰勒公式.ppt（38页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、复 习,若 在 a,b 上连续，在(a,b)内可导，那么,至少存在一点,使,拉氏,一、拉格朗日中值定理,或,例.P134：7，14.,函数之商的极限,导数之商的极限,转化,(或),二、洛必达法则:,洛必达,说明:,例如,事实上,用洛必达法则,1)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题.,2)若,例如,极限不存在,不能用洛必达法则!,即,说明3),原式,分析:,3)有时用洛必达法则并不简单.,4)用洛必达法则时，要注意技巧，往往要结合无穷小代换.,分析:,例2.,原式,洛,解:,原式=,第三节,洛,三、其他未定式:,解决方法:,通分,取倒数,取对数,例4.求,解:原式,洛,解:原

2、式,例5.求,通分,取倒数,取对数,洛,例6.求,解:,利用 例4,例5,通分,取倒数,取对数,内容小结,洛必达法则,二、几个初等函数的麦克劳林公式,第三节,一、泰勒公式的建立,三、泰勒公式的应用,应用,目的用多项式近似表示函数.,理论分析,近似计算,泰勒公式,第三章,特点:,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分应用中已知近似公式:,需要解决的问题,如何提高精度?,如何估计误差?,x 的一次多项式,1.求 n 次近似多项式,要求:,故,令,则,2.余项估计,令,(称为余项),则有,公式 称为 的 n 阶泰勒公式.,公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项.,泰勒(Taylor)中值定理:,阶的导

3、数,时,有,其中,则当,泰勒,公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项.,在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为,注意到,*可以证明:,式成立,特例:,(1)当 n=0 时,泰勒公式变为,(2)当 n=1 时,泰勒公式变为,给出拉格朗日中值定理,可见,误差,称为麦克劳林(Maclaurin)公式.,则有,在泰勒公式中若取,则有误差估计式,若在公式成立的区间上,麦克劳林,由此得近似公式,二、几个初等函数的麦克劳林公式,其中,麦克劳林公式,其中,麦克劳林公式,麦克劳林公式,类似可得,其中,其中,麦克劳林公式,已知,其中,因此可得,麦克劳林公式,三、泰勒公式的应用,1.在近似计算中的应

4、用,误差,M 为,在包含 0,x 的某区间上的上界.,需解问题的类型:,1)已知 x 和误差限,要求确定项数 n;,2)已知项数 n 和 x,计算近似值并估计误差;,3)已知项数 n 和误差限,确定公式中 x 的适用范围.,例1.计算无理数 e 的近似值,使误差不超过,解:已知,令 x=1,得,由于,欲使,由计算可知当 n=9 时上式成立,因此,的麦克劳林公式为,说明:注意舍入误差对计算结果的影响.,本例,若每项四舍五入到小数点后 6 位,则,各项舍入误差之和不超过,总误差限为,这时得到的近似值不能保证误差不超过,因此计算时中间结果应比精度要求多取一位.,例2.用近似公式,计算 cos x 的

5、近似值,使其精确到 0.005,试确定 x 的适用范围.,解:近似公式的误差,令,解得,即当,时,由给定的近似公式计算的结果,能准确到 0.005.,2.利用泰勒公式求极限,例3.求,解:,用洛必达法则不方便!,原式,3.利用泰勒公式证明不等式,例4.证明,证:,内容小结,1.泰勒公式,其中余项,当,时为麦克劳林公式.,2.常用函数的麦克劳林公式(P142 P144),3.泰勒公式的应用,(1)近似计算,(3)其他应用,求极限,证明不等式 等.,(2)利用多项式逼近函数,例如,泰勒多项式逼近,泰勒多项式逼近,泰勒(1685 1731),英国数学家,他早期是牛顿学派最,优秀的代表人物之一,重要著作有:,正的和反的增量方法(1715),线性透视论(1719),他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式.,他是有限差分理论的奠基人.,麦克劳林(1698 1746),英国数学家,著作有:,流数论(1742),有机几何学(1720),代数论(1742),在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的,麦克劳林级数.,作 业,P138：1(5)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16).P145：1;5;7;*10(2).,第三节,