D24多元函数积分学.ppt

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1、高等数学考前辅导,中北三教授数学考研面授辅导班,住址：北苑小区38号楼7单元502室,报名咨询热线：1 3 5 1 3 5 1 5 2 9 3,主讲教师,柳 林,第十、十一章,第十、十一章,多元函数积分学(50),一、知识点与考点精讲,二、典型例题分析与解答,一、知识点与考点精讲,(一)重积分,2.二(三)重积分的性质,非均匀空间体的质量,三重积分的物理意义:,1.二(三)重积分的概念与几何和物理意义,二重积分的几何意义:,曲顶柱体的体积,物理意义:,非均匀平面薄片的质量,性质1.,(与定积分类似),则有,性质4.,性质5.,若,性质3.,则有,若,性质2.,其中为D的面积.,若,则有,推论1

2、,若,则有,推论2,性质7.,若f(x,y)是D上的连续函数,一点(,),成立,其中 表示D的面积.,则有,如果积分区域D关于x轴上下对称,则在D上至少存在,性质8.(对称性),则有,0,其中为D的面积.,f(x,y)关于y是偶函数,f(x,y)=f(x,y),即有:,f(x,y)关于y是奇函数,f(x,y)=f(x,y),性质6.,若M和m 分别是 f(x,y)在D上的最大值与最小值,使等式,如果积分区域D关于y轴左右对称,即有:,则有,0,f(x,y)关于x是奇函数,f(x,y)=f(x,y),f(x,y)关于x是偶函数,f(x,y)=f(x,y),如果积分区域D关于原点对称,即有:,则有

3、,0,f(x,y)关于x,y是奇函数,f(x,y)=f(x,y),f(x,y)关于x,y是偶函数,f(x,y)=f(x,y),被积函数的奇偶,利用对称性计算二重积分时,对于三重积分也有类似的对称性.,注意:,即 f(x,y,z)=f(x,y,z),性与积分区域的对称性必须匹配.,若f(x,y,z)关于z 是奇函数,若积分区域 关于 xoy 坐标面上下是对称的,则有,若f(x,y,z)关于z 是偶函数,即 f(x,y,z)=f(x,y,z),则有,在xoy,坐标面上方的部分为,若积分区域关于xoz坐标面或yoz坐标面对称时,也有类似的性质.,而被积函数有相应的奇偶性时,3.重积分的计算法,利用直

4、角坐标计算二重积分,若积分区域 D 可表示为,则二重积分可化为二次积分:,若积分区域 D 可表示为,则二重积分可化为二次积分:,(1).二重积分,(化为累次积分计算),特别地:,若积分区域 D 可表示为,则二重积分可化为两个定积分的乘积:,而被积函数可表示为,利用极坐标计算二重积分,若积分区域 D 可表示为,则二重积分可化为二次积分,则 D 可表示为:,若积分区域 D 的图形为:,此时二重积分可化为二次积分,若积分区域为圆域或部分圆域;,或,被积函数为,一般应选择极坐标计算二重积分.,(2)三重积分,“先一后二法”:,“先二后一法”:,利用直角坐标计算三重积分,利用柱面坐标计算三重积分,锥体,

5、若积分区域为柱体,利用球面坐标计算三重积分,或锥面与旋转抛物面围成;,被积函数为,一般应选择柱面坐标计算三重积分.,若积分区域为球体或球体的一部分;,被积函数为,一般应选择球面坐标计算三重积分.,当 为空间曲线时,当L为平面曲线时,对弧长的曲线积分,其中ds为弧长元素.,(二)对弧长的曲线积分(第一型曲线积分),1.概念:,物理意义:,非均匀曲线弧的质量.,2.性质:,与定积分类似.,性质8.,即对弧长的曲线积分与曲线弧的方向无关.,性质9.,(对称性),若平面曲线L关于y 轴左右对称,函数,则有,被积,关于 x 是奇函数,即有,若被积函数,关于x是偶函数,即有,则有,其中,是 L在,的部分.

6、,此外,若L关于x轴上下对称,关于,y 具有奇偶性,3.计算法:,(化为定积分计算),(1)若曲线L:,则有,(2)若曲线L:,则有,被积函数,则对弧长的曲线积分有类似的对称性.,(3)若曲线L:,则有,若曲线L:,则有,(4)若空间曲线:,则有,(三)对坐标的曲线积分(第二型曲线积分),1.概念:,物理意义:,质点在变力,的作用下沿有向曲线弧 L 从点 A 移动到点 B所作功.,2.性质:,(与定积分类似),性质8.,其中,是与L方向相反的曲线弧.,即对坐标的曲线积分与曲线弧的方向有关.,3.计算法.,(化为定积分计算),若曲线L:,起点A t=,若曲线L:,终点B t=.,则有,起点A x

7、=a,终点B x=b.,则有,若曲线L:,起点A y=c,终点B y=d.,则有,若曲线:,起点A t=,终点B t=.,则有,4.两类曲线积分的联系,其中,为有向曲线弧L上点(x,y)处切向量的方向角.,5.格林公式:,若函数 P(x,y),Q(x,y)以及它们的一阶,偏导数,在闭区域D上连续,则有:,其中L 是 D 取正向的边界曲线.,(逆时针方向),6.曲线积分与路径无关的条件,设 D是一个平面单连通区域,P(x,y),Q(x,y)在D内具,有一阶连续偏导数,则曲线积分,在 D,的充分必要条件是在 D内恒有:,(即若,是D内两条起点与终点相同,但路径不同的曲线,则有,内与路径无关,或者,

8、则有,若 L 是 D 内任意一条封闭曲线,7.对坐标的曲线积分的计算流程图:,?,L不闭合,与路径无关,L闭合,与路径有关,L闭合,(用格林公式化为二重积分),L不闭合,(补边后用格林公式),直接计算,起点,终点,1.概念:,(四)对面积的曲面积分(第一型曲面积分),物理意义:,其中dS为曲面面积元素.,当曲面的方程为z=z(x,y)时,非均匀曲面的质量.,当曲面的方程为x=x(y,z)时,当曲面的方程为y=y(x,z)时,2.性质,(与定积分类似),性质8.,则有:,函数 f(x,y,z),则对面积的曲面积分有类似的对称性.,若函数 f(x,y,z)关于z为奇函数,即有,则有:,若曲面关于x

9、oz坐标面,yoz坐标面对称,有相应的奇偶性,f(x,y,z)=f(x,y,z),且函数 f(x,y,z)关于z为偶函数,即有,若曲面关于xoy坐标面上下对称,为xoy坐标面上方,(对称性),f(x,y,z)=f(x,y,z),的曲面,3.计算法,则有:,曲积化为重积算.”,“一代,二换,三投影,口诀:,区域为,(2)若曲面的方程为x=x(y,z),曲面在yoz坐标面的投影,则有:,(3)若曲面的方程为y=y(x,z),曲面在xoz坐标面的投影,区域为,则有:,(化为二重积分计算),(1)若曲面的方程为z=z(x,y),曲面在xoy坐标面的投影,区域为,1.概念,(五)对坐标的曲面积分(第二型

10、曲面积分),不可压缩的液体以速度,流过有向曲面指定侧的流量.,2.性质,物理意义:,(与定积分类似),性质8.,其中,为取,即对坐标的曲面积分与有向曲面的,相反侧的曲面.,方向(侧)有关.,3.计算法,首先应将曲面的方程表示,(1)要计算,此时曲面分上侧与下侧.,再将曲面投影,设投影区域为,则有:,(上侧取+,下侧取.),(化为二重积分计算),(2)要计算,首先应将曲面的方程表示,再将曲面投影,设投影区域为,为 z=z(x,y),到xoy坐标面,为 x=x(y,z),此时曲面分前侧与后侧.,到yoz坐标面,则有:,(前侧取+,后侧取.),为 y=y(x,z),此时曲面分右侧与左侧,再将曲面投影

11、,设投影区域为,则有:,(右侧取+,左侧取.),口诀:,“一代,二投,三定侧,曲积化为重积算”.,首先应将曲面的方程表示,到xoz坐标面,(3)要计算,4.两类曲面积分的联系:,其中,为曲面上点M(x,y,z),处的法向量,的方向余弦.,5.高斯公式:,其中取封闭曲面的外侧,是所围的空间区域.,二、典型例题分析与解答,例1.,的值为_.,解:,按题目所给累次积分次序无法积分,所以应改变所给二次积分的次序.,积不出来,积分,注释:,本题考查二重积分计算.,因为积分,由已给二次积分知积分区域 D为:,画积分区域 D 的图形.,改变积分次序得:,题型(一)二重积分,例2.,解:,则,设 f(x,y)

12、为连续函数,等于().,依题意积分区域 D为:,画D的图形.,由于四个选项对积分区域都不划分,只能先对x再对y积分.,故选项(C)正确.,C,注释:,本题考查累次积分定限.,例3.,设区域 D为:,则,解:,由于对称性,则有,极坐标,注释:,本题考查二重积分对称性的应用和在极坐标下的计算.,例4.,解:,设区域,计算二重积分,画积分区域图形.,注释:,本题考查利用对称性和极坐标计算二重积分.,其中,极坐标,(由于对称性),题型(二)三重积分,设有空间区域,及,例1.,解:,C,对于选项(A),则有().,由于被积函数 f(x,y,z)=x关于x是奇函,数,积分区域,关于yoz坐标面前后对称,则

13、有,故选项(A)错误.,同样选项(B)与(D)也错误.,对于选项(C),由于被积函数 f(x,y,z)=z关于x与y都是偶函数,积分区域,关于yoz和xoz坐标面都对称,故有,选项(C)正确.,所围成的区域.,画积分区域的图形.,例2.,计算三重积分,其中是由曲面,解:,其中,(利用对称性),球面坐标,(若用“先二后一法”反而麻烦),例3.,求,解:,其中是由曲线,绕z轴旋转一周而成的曲面与平面 z=4所围成的立体.,旋转曲面的方程为:,画积分区域的图形.,柱面坐标,注释:,本题考查利用柱面坐标计算三重积分.,题型(三)对弧长的曲线积分,设平面曲线 L 为下半圆周,则曲线积分,解法1:,由于下

14、半圆周上的点(x,y)也满足,则有,应填,例1.,注释:,本题考查对弧长曲线积分的计算法.,下半圆周,的参数方程为,解法2:,则有:,显然解法1优于解法2.,解:,设 L 是椭圆,其周长为a,例2.,椭圆L 的方程可改写为,则,则有,由于xy是x的奇函数,曲线 L关于y轴对称,则有,注释:,本题考查对弧长曲线积分的计算法与解题技巧.,又由于,所以,题型(四)对坐标的曲线积分,设L为取正向的圆周,例1.,则曲线积分,解:,原式,的值是_.,应填,注释:,本题考查格林公式的应用.,格林公式,例2.,设 L为正向圆周,在第一象限中的部分,则曲线积分,的值为_.,解:,圆周,的参数方程为:,起点参数为

15、,终点参数为,则有,注释:,本题考查对坐标的曲线的计算.,L为从点A(2a,0)沿曲线,求,其中a,b为正的常数,例3.,到点O(0,0)的弧.,解:,画积分路径 L 的图形.,原式=,格林公式,注释:,本题考查对坐标的曲线的计算.,例4.,在变力,的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面,问当,取何值时,并求出W的最大值.,以下求在条件,上,第一卦限点 M(,),力,所作的功W最大?,解:,的约束下,W=的最大值.,令,由,得,从而,即得,由实际问题知,于是得,考查变力沿曲线作功的,本题是一道综合题,注释:,计算和条件极值.,题型(五)对面积的曲面积分,部分,例1.,设S:,为S在第一卦限的,

16、解:,则有().,对选项(A),由于 f(x,y,z)=x 关于x 是奇函数,曲面S,所以有,故选项(A)错误.,同理选项(B)(D)也错误.,关于yoz坐标面对称,C,对于选项(C),即有,故选项(C)正确.,注释:,本题考查被积函数奇偶性和积分区域对称性,在对面积的曲面积分中的应用.,所以有,由于 f(x,y,z)=z,关于x 和y都是偶函数,所以有,曲面S关于yoz和xoz坐标面对称,又在曲面,上,x,y,z 具有轮换对称性,例2.,解:,内的部分.,则有,有:,计算曲面积分,其中为锥面,在柱体,锥面在xoy坐标面的投影区域记为:,极坐标,对锥面:,注释:,本题考查对面积的曲面积分的计算

17、.,题型(六)对坐标的曲面积分,例1.,的外侧,解:,计算曲面积分,设S为曲面,注释:,本题考查利用高斯公式计算对坐标的曲面积分.,由高斯公式知,(其中:,本题常出现的错误是把三重积分,的被积函数,用1代换.,例2.,计算,其中是由曲面,所围立体,表面的内侧.,解:,积分区域为封闭曲面并取内侧,由高斯公式得:,球面坐标,原式=,注释:,本题考查高斯公式的应用.,例3.,计算曲面积分,解:,其中为上半球面,补平面,注释:,本题考查利用高斯公式计算对坐标的曲面积分.,的上侧.,并取其下侧.,原式=,解:,计算曲面积分,其中是曲面,例4.,的上侧.,注释:,本题考查高斯公式的应用.,补平面,并取其下侧.,原式=,(柱面坐标),例5.,是的整个边界的外侧,设是由锥面,与半球面,解:,注释:,本题考查用高斯公式计算对坐标的曲面积分.,围成的空间区域,则,由高斯公式知,