D19连续函数的运算和性质.ppt

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1、,一、连续函数的运算法则,第九节,二、初等函数的连续性,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.,例如,定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数。,例如,反三角函数在其定义域内皆连续.,在,上连续,其反函数,在,上也连续单调递增.,又如,单调 递增,定理3,意义,1.极限符号可以与函数符号互换;,例1,解,求,解:,原式,例2.求,解:,原式,说明:若,则有,定理4,例如,二、初等函数的连续性,三角函数及

2、反三角函数在它们的定义域内是连续的.,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,例3.设,解:,讨论复合函数,的连续性.,故此时连续;,而,故,x=1为第一类间断点.,在点 x=1 不连续,三、如何找间断点？,（1）初等函数：求定义域,各子区间的边界点,（2）分段函数：讨论分段点,(1)(x)在x0 是否处有定义？,逐步研究：,注意：1、初等函数在其定义区间内连续；2、分段函数在其定义域内不一定连续。,是可去间断点,是无穷远间断点,是可去间断

3、点,一、最值定理,二、介值定理,闭区间上连续函数的性质,注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.,一、最值定理,定理1.在闭区间上连续的函数,即:设,则,使,值和最小值.,或在闭区间内有间断,在该区间上一定有最大,点,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,二、介值定理,由定理 1 可知有,证:设,上有界.,定理2.(零点定理),至少有一点,且,使,推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,定理3.(介值定理),设,且,则对 A 与 B 之间的任一数 C,一点,证:作辅助函数,则,且,故由零点定理知,至少有一点,使,即,推论:在闭区间上的连续函数,使,至少有,必取得介于最小值与

4、,最大值之间的任何值.,例1.证明方程,一个根.,证:显然,又,故据零点定理,至少存在一点,使,即,说明:,内必有方程的根;,取,的中点,内必有方程的根;,可用此法求近似根.,二分法,在区间,内至少有,则,则,内容小结,例2,证,由零点定理,内容小结,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数的四则运算结果仍连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.,内容小结,在,上达到最大值与最小值;,上可取最大与最小值之间的任何值;,4.当,时,使,必存在,上有界;,在,在,证明至少存在,使,提示:令,则,易证,1.设,一点,习题课,思考与练习,2、,至少有一个不超过 4 的,证：,证明,令,且,根据零点定理,原命题得证.,内至少存在一点,在开区间,显然,正根.,