D18闭区间上连续函数的性质.ppt

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1、,第八节,一、最值定理,二、介值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,闭区间上连续函数的性质,第一章,一.有界性及最值定理,1.最值的概念,设 f(x)定义在区间I上,若存在,使得对任意,有,则称,为 f(x)在区间 I 上的最小值,大,例如：,在区间,上的最大值为,最小值为,小结 目录 上页 下页 返回 结束,为最小值点.,大,在(0,1 上的最小值为 f(1)=1,无最大值,在,上的最大值为f(1)=1,无最小值,在,上既无最大值,也无最小值,在,上的最大值和最小值均为c,小结 目录 上页 下页 返回 结束,2.最值定理,定理1.在闭区间上连续的函数,即:设,则,使,值和最小值.,在该

2、区间上一定有最大,(证明略),机动 目录 上页 下页 返回 结束,或,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.,或在闭区间内有间断,点,设f(x)Ca,b，则,(i)f(x)在a,b上为单调函数时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此时，函数 f(x)恰好在 a,b的端点a和b取到最大值和最小值.,y=f(x)a,b,则,y=f(x)a,b,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(ii)y=f(x)为一般的连续函数时，如图中所示，,定理8.2.,由定理8.1 可知有,证:设,上有界.,机动 目录 上页

3、 下页 返回 结束,在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,二、零点定理与介值定理,定理8.3.(零点定理),至少有一点,且,使,(证明略),1.零点:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意：定理只表明的零点的存在性，而没有回答零点的个数 及求法。,证明的思想方法是等分区间法(区间套法)：将区间a,b等分为a,a1和a1,b,在这两个区间中选择与a,b性质相同的一个，例如，若f(a1)f(b)0,则选取a1,b,然后，对a1,b进行等分，并进行选择，又得一个新的小区间.如此下去，小区间的长度趋于零，并且总保持区间端点值反号，由函数的连续性，这些小区间的左端点或右端点构成的数列的极限值就是我们

4、要求的(a,b).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,且,则对 介于f(a)与f(b)B 之间的任一数 A,一点,证:作辅助函数,则,且,使,至少有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理8.4（介值定理）：,若,则必有,故由零点定理知,至少有一点,使,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若,则,或,即,或,此时取,或,即可.,综上可知结论成立.,推论1:,在闭区间上的连续函数,必取得介于最小值与最,大值之间的任何值.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推论2:,闭区间上不为常数的连续函数把该区间应为闭区间.,例1.证明方程,一个根.,证:显然,又,故据零点定理,至少存在一点,使

5、,即,说明:,内必有方程的根;,取,的中点,内必有方程的根;,可用此法求近似根.,二分法,在区间,内至少有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,则,例2：证明：方程 x=2 sinx+1 至少有一个不超过 3 的正根.,证：问题归结为在(0,3上求方程的根的问题.,而 f(0)=0 2 sin0 1=1 0,f(3)=3 2 sin3 1,设 f(x)=x 2 sinx1,x0,3,显然 f(x)C(0,3),机动 目录 上页 下页 返回 结束,=2(1sin3),0,1)如果 f(3)0，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则=3 就是方程的根.,2)如果 f(3)0,则f(0)f(3

6、)0，,由介值定理,至少存在一个(0,3)，,使得 f(3)=0.,综上所述，方程在(0,3上至少有一个根,即至少有一个不超过 3 的正根.,例3：设 f(x)Ca,b，a x1 x2 xn b,证明:至少存在一点x1,xn，使得,小结 目录 上页 下页 返回 结束,证：f(x)C(a,b).,有,从而,若m M,由介值定理，至少存在一点x1,xn，使,若m=M,f(x1)=f(x2)=f(xn),则可取xi,综上所述，命题获证.,mf(xi)M.,小结 目录 上页 下页 返回 结束,上连续,且恒为正,例4.设,在,对任意的,必存在一点,证:,使,令,则,使,故由零点定理知,存在,即,当,时,取,或,则有,证明:,小结 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,2.f(x)在a,b上达到最大值与最小值;,3.f(x)在a,b上可取最大与最小值之间的任何值;,1.f(x)在a,b上有界;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,提示:令,则,易证,作业P70 1,2,4,5,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,至少有一个不超过 4 的,证：,证明,令,且,根据零点定理,原命题得证.,内至少存在一点,在开区间,显然,正根.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,