D129常系数非齐次微分方程.ppt
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1、2023/7/5,阜师院数科院,常系数非齐次线性微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第九节,一、,二、,第十二章,2023/7/5,阜师院数科院,二阶常系数线性非齐次微分方程:,根据解的结构定理,其通解为,求特解的方法,根据 f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/7/5,阜师院数科院,一、,为实数,设特解为,其中 为待定多项式,代入原方程,得,(1)若 不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,为 m 次多项式.,Q(x)为 m 次待定系数多项式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,20
2、23/7/5,阜师院数科院,(2)若 是特征方程的单根,为m 次多项式,故特解形式为,(3)若 是特征方程的重根,是 m 次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,即,即,当 是特征方程的 k 重根 时,可设,特解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/7/5,阜师院数科院,例1.,的一个特解.,解:本题,而特征方程为,不是特征方程的根.,设所求特解为,代入方程:,比较系数,得,于是所求特解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/7/5,阜师院数科院,例2.,的通解.,解:本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,
3、比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/7/5,阜师院数科院,例3.求解定解问题,解:本题,特征方程为,其根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,故对应齐次方程通解为,原方程通解为,由初始条件得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/7/5,阜师院数科院,于是所求解为,解得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/7/5,阜师院数科院,二、,第二步 求出如下两个方程的特解,分析思路:,第一步 将 f(x)转化为,第三步 利用叠加原理求出原方程的特解,第四步 分析原方程特解的特点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023
4、/7/5,阜师院数科院,第一步,利用欧拉公式将 f(x)变形,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/7/5,阜师院数科院,第二步 求如下两方程的特解,是特征方程的 k 重根(k=0,1),故,等式两边取共轭:,为方程 的特解.,设,则 有,特解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/7/5,阜师院数科院,第三步 求原方程的特解,利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:,原方程,均为 m 次多项式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/7/5,阜师院数科院,第四步 分析,因,均为 m 次实,多项式.,本质上为实函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2023/
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