D13连续性间断点.ppt

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1、,二、函数的间断点,一、函数连续性的定义,第三节,函数的连续性,三、初等函数的连续性,四、闭区间上连续函数的性质,1:增量:自变量的增量,函数的增量,2:一点连续的定义:,一、函数连续性的定义,若,在,则称函数在该点连续。,的某一邻域内有定义，,设,注 1、函数,在点,(1),在点,即,(2)极限,(3),连续必须具备下列条件:,存在;,有定义,存在;,2、由函数在一点有极限的充要条件有:一点连续的充要条件:,在,在,二、函数的间断点,(1)函数,(2)函数,不存在;,(3)函数,存在,但,不连续:,设,在点,的某去心邻域内有定义,则下列情形,这样的点,之一函数 f(x)在点,虽有定义,但,虽

2、有定义,且,称为间断点.,在,无定义;,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在,若,若,第二类间断点:,及,中至少一个不存在,称,若其中有一个为振荡,称,若其中有一个为,则 为可去间断点.,则 为跳跃间断点.,为无穷间断点.,为振荡间断点.,为其无穷间断点.,为其振荡间断点.,为可去间断点.,例如:,显然,为其可去间断点.,(4),(5),为其跳跃间断点.,、连续函数的运算法则,三、初等函数的连续性,、初等函数的连续性,定理3：连续单调递增 函数的反函数,、连续函数的运算法则,定理2：在某点连续的有限个函数经有限次和 差、积、,商(分母不为 0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.,(递减)

3、.,递增,(递减),也连续单调,定理4：连续函数的复合函数是连续的.,定理1：基本初等函数在其定义区间上连续。,例1.求,解:,原式,例2.求,解:令,则,原式,说明:当,时,有,、初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,四、闭区间上连续函数的性质,1、最值定理,2、零点定理（根的存在定理）,推论:,2、零点定理,定理2(零点定理),至少有一点,且,使,在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,1、最值定理,定理1:在闭区间上连续的函数,在该区间上一定有最大,值和最小值.,例1.证明方程,一个根.,证:显然,又

4、,故据零点定理,至少存在一点,使,即,在区间,内至少有,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数的四则运算的结果连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明:分段函数在界点处是否连续需讨论 其左、右连续性.,、初等函数的连续性,思考与练习,1.讨论函数,x=2 是第二类无穷间断点.,间断点的类型.,2.设,时,为,连续函数.,答案:x=1 是第一类可去间断点,至少有一个不超过 4 的,证：,3、证明,令,且,根据零点定理,原命题得证.,内至少存在一点,在开区间,显然,正根.,