D11集合与函数.ppt

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1、贵州航天职业技术学院,第一章,二、函数,一、集合、符号,第一节,函数,贵州航天职业技术学院,元素 a 属于集合 M,记作,元素 a 不属于集合 M,记作,一、集合,1.定义、性质及表示法,定义 1.,具有某种特定性质的事物的全体称为集合.,组成集合的事物称为元素.,简称集,简称元,我们通常用大写字母如A,B,C等表示集合，而用小写字母如：a，b，c，等表示集合的元素.,把含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集,全体自然数集：N；全体整数集：Z;全体有理数集：Q；全体实数集：R;全体复数集：C,贵州航天职业技术学院,表示法：,(1)列举法：,按某种方式列出集合中的全体元素

2、.,例:,有限集合,自然数集,(2)描述法：若集合M是由具有某种性质P的元素 x的全体所组成就表示为：,x 所具有的特征P,例:整数集合,或,有理数集,p 与 q 互质,实数集合,x 为有理数或无理数,贵州航天职业技术学院,集合的性质：,1.确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。2.互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成1，1，2，等同于1，2。互异性使集合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。3.无序性：a,b,c

3、c,b,a是同一个集合。4.纯粹性：所谓集合的纯粹性，用个例子来表示。集合A=x|x2，集合A 中所有的元素都要符合x2，这就是集合纯粹性。5.完备性：仍用上面的例子，所有符合x2的数都在集合A中，这就是集合完备性。完备性与纯粹性是遥相呼应的。,贵州航天职业技术学院,是 B 的子集,或称 B 包含 A,2.集合及集合之间的关系和运算,定义2.,则称 A,若,且,则称 A 与 B 相等,例如：,显然有下列关系:,若A的所有元素都属于B,设有集合,记作,记作,如果,不含任何元素的集合称为空集记为我们规定空集是任何集合的子集,贵州航天职业技术学院,定义 3.给定两个集合 A,B,并集,交集,且,差集

4、,且,定义下列运算:,余集,或,易知集合补与差运算满足,贵州航天职业技术学院,其运算律：,（1）交换律 A B=BA,AB=BA AB=BA,（2）集合律（AB)C=A(B C),=(A B C),（3）分配律（AB)C=(A C)(B C),（A B)C=(A C)(B C),(AB)C=A(BC)=ABC,贵州航天职业技术学院,绝对值：对于任何一个实数x，它的绝对值为：,贵州航天职业技术学院,区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,贵州航天职业技术学院,称为半开区间,称为半开区间,以上都是有限区间，以下是无限区间：,区间长度的定义:,两

5、端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,贵州航天职业技术学院,邻域:,注意：邻域总是开集。,记作,贵州航天职业技术学院,1.我们用符号“”表示“任取”,或“对于任意的”,或“对于所有的”,符号“”称为全称量词.,二、符号,贵州航天职业技术学院,2.我们用符号“”表示“存在”.,例：命题“对任意的实数x,都存在实数y,使得x+y=1”可表示为“xR,yR,使x+y=1”,符号“”称,为存在量词.,贵州航天职业技术学院,3.我们用符号“”表示“充分条件”,比如,若用p,q分别表示两个命题或陈述句.,或“推出”这一意思.,则“p q”表示“若p成立,则q也成立”.即p是q成立的充分条件.,贵州航

6、天职业技术学院,4.我们用符号“”表示“当且仅当”,比如“p q”表示“p成立当且仅当q成立”或者说p成立的充要条件是q成立.,或“充要条件”这一意思.,贵州航天职业技术学院,常量与变量:,在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意,常量与变量是相对于“自变量变化过程”而言的.,通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.,常量与变量的表示方法：,用字母x,y,t等表示变量.,二、函数的概念,贵州航天职业技术学院,例3 自由落体的运动规律为：,1.引例,贵州航天职业技术学院,例4 圆内接正多边形的周长,贵州航天职业技术学院,2、函数的定义,定义：,设x和y是两个变量，,D是一给定的非

7、空数集。,如果对于每个数x,D,按照某种对应法则f，y都有唯一确定,的数值与之对应，,则称y是x的函数，,记着y=f(x).x,数集D叫做这个函数的定义域，,X叫做自变量，,y叫做因变量。,D,贵州航天职业技术学院,函数的三要素,自变量x,因变量y,对应法则f,1.函数的定义域D,2.函数的对应法则 y=f(x),3.函数的值域f(D)=y|y=f(x),xD,贵州航天职业技术学院,注意：,如,就不是同一个函数，为什么？,2求定义域的方法：,应用题由实际意义确定；,取使函数的表达式有意义的一切实数所构成的集合作为函数的定义域,1.当两个函数的定义域和对应法则都相等时，两者才是同一个函数。,贵州

8、航天职业技术学院,这种函数称单值函数，否则称多值函数。,为单值函数，,凡未作特别说明，本教材提到的“函数”都是指单值函数,例如，,3.,贵州航天职业技术学院,4、函数的常用表示法,（1）表格法：自变量的值与对应的函数值列成表格的方法。（2）图像法：在坐标系中用图形来表示函数关系的方法。（3）公式法：自变量和因变量之间的关系用数学表达式（又称为解析表达式）来表示的方法，根据函数的解析表达式的形式不同，函数又可分为和分段函数、隐函数、显函数。,贵州航天职业技术学院,分段函数的图形分段作。,3.分段函数,例7,注：分段函数的定义域是各段自变量取值区间（也称为分段区间）的并集，分段区间的公共点称为分界

9、点,贵州航天职业技术学院,4.隐函数,相对而言函数,可以称为显函数。,贵州航天职业技术学院,例5、已知函数,解:,f(x)的定义域,值域,贵州航天职业技术学院,2.函数的几种特性,设函数,且有区间,(1)有界性,使,称,使,称,说明:还可定义有上界、有下界、无界.,(2)单调性,为有界函数.,在 I 上有界.,使,若对任意正数 M,均存在,则称 f(x)无界.,称 为有上界,称 为有下界,当,称,为 I 上的,称,为 I 上的,单调增函数;,单调减函数.,贵州航天职业技术学院,(3)奇偶性,且有,若,则称 f(x)为偶函数;,若,则称 f(x)为奇函数.,说明:若,在 x=0 有定义,为奇函数

10、时,则当,必有,例如,偶函数,双曲余弦,记,贵州航天职业技术学院,又如,奇函数,双曲正弦,记,再如,奇函数,双曲正切,记,说明:给定,则,偶函数,奇函数,贵州航天职业技术学院,(4)周期性,且,则称,为周期函数,若,称 l 为周期,(一般指最小正周期).,周期为,周期为,注:周期函数不一定存在最小正周期.,例如,常量函数,狄利克雷函数,x 为有理数,x 为无理数,贵州航天职业技术学院,3、反函数与复合函数,贵州航天职业技术学院,直接函数与反函数的图形关于直线 对称.,贵州航天职业技术学院,注意：,1.直接函数的定义域（或值域）是其反函数的值域（或定义域）;,2.单值函数的反函数不一定是单值函数

11、。,如y=a+bx 的反函数为y=(x-a)/b。,贵州航天职业技术学院,贵州航天职业技术学院,贵州航天职业技术学院,复合函数,设有函数 y=u2 和函数 u=1-sinx,则 y=(1-sinx)2,是两者的复合函数。,一般地:,若函数y=f(u)的定义域为D1,U=(x)的定义域为D2,值域w2=uu=(x)xD2,且W2D1,这样得到的,以x为自变量,y为因变量的函数,称为由函数,y=f(u),和u=(x),复合而成的复合函数,其中u称为中间变量。,函数还可进行三重，四重和多重复合。,y=f(x),XW2D1,贵州航天职业技术学院,注意：,条件W2D1必不可少，,否则两个函数就不一定能构

12、成一个,复合函数。,和u=2+x2,就不能构成一个复合函数。,(值域w2为2,)，定义域 D1为-1，1),如y=arcsinu,贵州航天职业技术学院,例2将下列各函数表示成x的复合函数：(1)(2)解(1)(2)例3指出下列函数的复合过程：(1)(2)解(1)y=cos u，u=v2，v=tanx(2),复合过程,分解过程,贵州航天职业技术学院,4、初等函数,基本初等函数,贵州航天职业技术学院,1、幂函数,贵州航天职业技术学院,2、指数函数,贵州航天职业技术学院,3、对数函数,贵州航天职业技术学院,4、三角函数,正弦函数,贵州航天职业技术学院,余弦函数,贵州航天职业技术学院,正切函数,贵州航

13、天职业技术学院,余切函数,贵州航天职业技术学院,正割函数,贵州航天职业技术学院,余割函数,贵州航天职业技术学院,5、反三角函数,贵州航天职业技术学院,贵州航天职业技术学院,贵州航天职业技术学院,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,贵州航天职业技术学院,5、双曲函数,贵州航天职业技术学院,思考题：双曲函数是不是初等函数？,双曲函数常用公式,贵州航天职业技术学院,奇函数.,偶函数.,贵州航天职业技术学院,奇函数,有界函数,贵州航天职业技术学院,非初等函数举例:,1、符号函数,当 x 0,当 x=0,当 x 0,2、取整函数,当,贵州航天职业技术学院,(3)狄利克雷函数,(4)取最值函数,贵州航天职业技术学院,内容小结,1.集合及符号,定义域对应规律,3.函数的特性,有界性,单调性,奇偶性,周期性,4.初等函数的结构,2.函数的定义及函数的二要素,第二节,贵州航天职业技术学院,且,备用题,证明,证:令,则,由,消去,得,时,其中,a,b,c 为常数,且,为奇函数.,为奇函数.,设,