D118常系数非齐次.ppt

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1、,常系数非齐次线性微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第八节,一、,二、,第十一章,三、欧拉方程,二阶常系数非齐次线性微分方程:,根据解的结构定理,其通解为,求特解的方法,根据 f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、,为实数,设特解为,其中 为待定多项式,代入原方程,得,(1)若 不是特征方程的根,可设,为 m 次多项式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)若 是特征方程的单根,即,可设,(3)若 是特征方程的重根,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,即,机动 目录 上页 下页 返回

2、结束,可设,综上讨论,例1.,的一个特解.,解:,特征方程为,不是特征方程的根.,设所求特解为,代入方程:,比较系数,得,于是所求特解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其根为,解：,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程,得,原方程通解为,例2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,的通解.,解:本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,的通解.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求

3、通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设 的特解为,设 的特解为,则所求特解为,特征根,（重根）,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用欧拉公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、,欧拉公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上述结论也可推广到高阶方程的情形.,例6.,的一个特解.,解:本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数,得,于是求得一个特解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其根为,例7.,的通解.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为

4、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8.,解:(1)特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2)特征方程,有根,利用叠加原理,可设非齐次方程特解为,求下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同,三、欧拉方程,形如,的方程，,叫做欧拉方程.,求解基本思想,欧拉方程,常系数线性微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,欧拉方程的解法:,则,计算繁!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则由上述计算可知:,用归纳法可证,于是欧拉方程,转化为常系数线性方程:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例

5、9.,解:,则原方程化为,亦即,其根,则对应的齐次方程的通解为,特征方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的通解为,换回原变量,得原方程通解为,设特解:,代入确定系数,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10.,解:,将方程化为,(欧拉方程),则方程化为,即,特征根:,设特解:,代入 解得 A=1,所求通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11.,解:由题设得定解问题,则化为,特征根:,设特解:,代入得 A1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,得通解为,利用初始条件得,故所求特解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,则设特解为,则设特解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.欧拉方程,思考与练习,时可设特解为,时可设特解为,提示:,1.(填空)设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.求微分方程,的通解(其中,为实数).,解:特征方程,特征根:,对应齐次方程通解:,时,代入原方程得,故原方程通解为,时,代入原方程得,故原方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程的通解.,解:将特解代入方程得恒等式,比较系数得,故原方程为,对应齐次方程通解:,原方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,