ch4向量组的线性相关性和秩.ppt

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1、第四章 向量组,线性相关,矩阵的秩,一 向量组的线性相关性和秩,二 矩阵的秩,三 向量组的秩,线性方程组,齐次方程组,定理3-5:,定理3-6:,非齐次方程组,若系数行列式,则,Cramer法则,A为方阵,|A|不等于零,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组,例如,向量组称为矩阵的列向量组.,对于一个 矩阵有个维列向量.,记作：,一、向量组的线性相关性和秩,一、向量的线性相关性,也称为向量组的一个线性组合,定义设向量组,及向量有关系,1.称为向量组的一个线性组合，,2.称可由向量组线性表示.,定理4-1P65,设 是 型线性方程组,则:,若k，则称向量与成比例,零向量

2、是任一向量组的线性组合,此即：齐次线性方程组总有零解。,总有零解.,定义4-2 设维向量组,为零的数,，使得,则称向量组,，如果存在不全,线性相关 Linearly Dependent,(2)反之，若当且仅当,，才有,则称向量组,线性无关Linearly Independent,线性相关,线性无关,例,一向量组中存在一个向量，则一定线性相关,对于一个向量组，不是线性相关就是线性无关,注:,注1:,线性无关是说,只有零解.,线性相关是说,有非零解,注2:,线性相关是说,定义4-2 设维向量组,为零的数,，使得,则称向量组,，如果存在不全,线性相关,反之，若当且仅当,，才有,则称向量组,线性无关,

3、单位矩阵的向量组线性无关,例:,有无穷种可能，所以才相关,例 若向量组,无关，则向量组,无关,几种说法,对于Ax=0,我们研究它是否有非零解,例 设1=(1,1,1)，2=(1,2,3)，3=(1,3,6)讨论,解：,11+22+33=0,设有一组数 1，2，3 使,即：,(1+2+3,1+22+33,1+32+63),=(0,0,0),有:,1+2+3=0,1+22+33=0,1+32+63=0,因为系数行列式,所以方程组只有零解，1=2=3=0，故 1,2,3 线性无关。,注2:,线性无关是说,只有零解.,线性相关是说,有非零解,其线性相关性。,定理4-3,当 s 2 时，向量组 1,2,

4、s 线性相关的充分必要条件是 其中至少有一向量能由其余向量线性表出.,A的充分必要条件是B,充分性：,必要性：,A的充分条件是B,A的必要条件是B,有A一定有B,有B一定有A,A的充分必要条件是B,线性相关,至少有一向量能由其余向量线性表出,线性相关,至少有一向量能由其余向量线性表出,k1 1+k22+ks s=0.,证,定理4-3,当 s 2 时，向量组 1,2,s 线性相关的充分必要条件是 其中至少有一向量能由其余向量线性表出.,至少有一向量能由其余向量线性表出,不全为零的数,必要性,k1 1+k22+ks s=0,于是,即 可由 1,2,s1 线性表出.,设 1,2,s 线性相关，则有不

5、全为零的实数 k1,k2,ks，使,不妨设,k1 1+k22+ks s=0.,至少有一向量能由其余向量线性表出,线性相关,1=k2 2+k3 3+ks s,-1 1+k2 2+ks s=0,不全为零的数,若某个向量例如 可被其余向量线性表出，即有,于是,其系数 不全为零，故 1,2,s 线性相关.,充分性,向量组线性无关任何一个向量都不能由其向 量线性表示,推论,定理4-3,当 s 2 时，向量组 1,2,s 线性相关的充分必要条件是 其中至少有一向量能由其余向量线性表出.,向量组线性无关任何一个向量都不能由其向 量线性表示,推论,a1,a2,线性相关的几何解释,两向量线性相关两向量对应成比例

6、两向量共线,O,a1,a2,a3,a3=l1a1+l2a2,三向量线性相关三向量共面.,空间向量线性相关的几何意义,性质,如果可由向量组,线性表示,则 可由唯一线性表示 A线性无关.,证明,假设可由无穷种方法表示,两式相减有,系数不全为零，所以相关,设,反之：,A线性相关,是两种不同的线性表示,可由无穷种方法表示 A线性相关.,推论,A线性相关,A线性无关,则0由线性表示方法唯一,不全为零的数，则,若,如果可由向量组,线性表示,则可由用无穷种方法表示.,0可由A线性表示，则0由用无穷种方法表示,存在不全为零的数,使得,线性相关的几种等价说法：,1.如果存在不全为零的数,使得,有非零解,2.,3

7、.至少有一向量能由其余向量线性表出.,4.两向量线性相关两向量对应成比例两向量共线,三向量线性相关三向量共面.,5.如果可由向量组,线性表示,则可由用无穷种方法表示.,线性无关的几种等价说法：,1.,唯一的可能是,只有零解,2.,3.任何一向量不能由其余向量线性表出.,4.两向量线性无关两向量不共线,三向量线性相关三向量不共面.,5.如果可由向量组,线性表示,则只能由用一种方法表示.,都是0,定理4-4P67,如果向量组,线性相关，则可由唯一线性表示.,线性无关，而向量组,证,设,线性无关，而向量组线性相关，,，（否则与线性无关矛盾）,可由线性表示.,唯一性由上一性质知,即有,性质,如果可由向

8、量组,线性表示,则 可由唯一线性表示 A线性无关.,推论4-1P67,如果向量组,线性无关，而,不能由线性表示，则,线性无关,定理4-2P65,是线性方程组,设,定义4-2 设维向量组,为零的数,，使得,则称向量组,，如果存在不全,线性相关,反之，若当且仅当,，才有,则称向量组,无关,注1:一个常犯错误是:,使得,则,存在全为0的数,线性无关,使得,存在全为0的数,是一句永远对的话!,线性无关是说以上是唯一的可能,没有其他可能!,例如:,线性相关,使得,存在全为0的数,注2:另一个常犯错误是:,线性相关,这句话未必对!,线性相关是说存在不全为零的数:其中有一个不为0即可!,则存在全不为零的数,

9、使得,例如:,线性相关,所以,不可能全不为零!,例,向量组中若部分向量相关，则整个组相关.,线性相关,不全为零!,使得,所以存在,我们取,则 不全为零!,而且,所以,他们线性相关,证明:,一个向量组若无关，则它的任何一个部分组无关,例,定理4-5P 68,部分相关，则整体相关.,整体无关，则部分无关.,说明：,线性相关，无关的又一区别,向量组无关，则部分无关.,例:,向量组C 线性相关，则向量组A,B都线性无关；若:,则有:,则有:,长相关，则短相关.,短无关，则长无关.,方程组的说明,定理4-6P 68,设向量组,若向量组或B 线性无关，则向量组C 也线性无关；,反之，若向量组C 线性相关，

10、则,B 都线性相关.,其中,证明(略)参看教材 P68.,例:,向量组线性无关，则向量组C 也线性相关；,定理4-6P 68,设向量组,若向量组或B 线性无关，则向量组C 也线性无关；,反之，若向量组C 线性相关，则,B 都线性相关.,其中,注意：以上两个定理完全不同，千万不要混淆，第一个定理中是向量的个数变；第二个定理中是向量的维数变.,定理4-5P 68,设向量组,例,则（）,A、必可由线性表示；,B、必可由线性表示；,C、必可由线性表示；,D、必不可由线性表示.,向量组,线性无关，,线性无关，,线性相关，,所以必可由线性表示；,B、必可由线性表示,其它习题,二、向量组的秩,A任意r+1个

11、向量都线性相关.,若满足：,设 是一个向量组，它的某一个部分组,线性无关；,则称为的一个极大线性无关组.,例:,线性相关,但任两个都线性无关,a,b是它的极大线性无关组,a,c,b,c也是它的极大线性无关组,向量组A的秩是2.,定理4-7,向量组V中的每个向量都可以由其极大线性无关组唯一的线性表示.,一个向量组的极大无关组不是唯一的.,、向量组的秩,向量组的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩,记作：r()或,一个向量组的任两个极大无关组所含向量个数相同.,一个线性无关的向量组的极大无关组就是其自身.,定义2,将每一行看成一个向量,i=(ai1 ai2 ain)(i=1,2,m)称为 A 的行

12、向量，行向量组的秩称为A的行秩。,对于矩阵,将A的每一列也可看成一个向量,(j=1,2,n),称为 A 的列向量，列向量组的秩称为A的列秩,3 矩阵的秩,位于这些行与列交叉处的,个元素，依照它们在,中的位置次序不变而得的,阶行列式，称为矩阵,的一个,定义4-5,阶子式.,最低阶为 阶，,最高阶为 阶.,取第1行、第3行和第1列、第4列交叉处的元素，,二阶子式是,组成的,2、矩阵的秩,定义4-6,（1）,（2）,则 称为矩阵 的最高阶非零子式.,记为 或.,最高阶非零子式,的阶数称为矩阵的秩，,例:,行阶梯形矩阵的秩=阶梯数,例,解,计算A的3阶子式，,（1）,性质：,（2）,（3）,阶方阵，,

13、（4）,其中,（5）,性质4-1,性质4-2(三秩相等),证明方法:,Step 1.行初等变换不改变这三种秩.,Step 2.列初等变换不改变这三种秩.,Step 3.利用初等行,列变换可把矩阵A化为标准形矩阵A.,而对于标准形矩阵,初等变换不改变这三种秩.,Step 1 引理A,行初等变换不降低矩阵的秩.,证明,只需对三种行初等变换分别证明.,（1）互换两行：,（2）数乘某行：,（3）倍加某行：,（1）互换两行：,（2）数乘某行：,情形3:倍加行变换改变,所以,中至少有一个不等于0,引理B,行初等变换不降低矩阵的行秩.,例,列初等变换改变矩阵列向量的线性关系,行初等变换不改变列向量的线性关系

14、.,定理4-8 P72,证明,即,行初等变换不改变列向量的线性关系.,相同的线性关系说明：,线性表示，且表达式的系数对应相同.,引理C,行初等变换不改变列秩.,推论2,列变换不改变行向量的线性关系,和行秩.,性质4-2(三秩相等),性质4-3,推论4-4,初等变换不改变矩阵的秩.,利用倍加行变换可把矩阵 化为行阶梯形矩阵.,利用初等行变换可把矩阵化为行最简形矩阵.,定理,利用初等行,列变换，可把矩阵化为标准形矩阵.,结论,矩阵的秩,最高阶非零子式的阶数,行阶梯形矩阵非零行的行数,标准形矩阵中单位阵的阶,设A为n阶方阵,x,b为列向量,则下列命题等价.,定理4-9 P77,1.A为满秩阵,2.A

15、为非奇异阵,3.A为可逆阵,4.Ax=0只有零解,5.Ax=b有唯一解,6.A的列向量线性无关,7.A的行向量线性无关,秩=n的方阵又叫满秩阵;秩n的方阵又叫降秩阵.,例1 设向量组:a1=-1,-1,0,0,a2=1,2,1,-1,a3=0,1,1,-1,a4=1,3,2,1,a5=2,6,4,-1.试求向量组的秩及其一个极大线性无关组,并将其余向量用这个极大线性无关组线性表示.解 作矩阵A=a1T,a2T,a3T,a4T,a5T,对A作初等行变换将其化为行最简形:,注:1.把所给向量写成矩阵的列向量,只能用行初等变换,易见z1,z2,z4是U的一个极大无关组,所以a1,a2,a4也是A的列

16、向量组的一个极大无关组,故秩a1,a2,a3,a4,a5=3,又有:,a3=a1+a2,a5=a1+2a2+a4.,行初等变换不改变矩阵列向量的线性关系,所以有:,2.若不求列向量的线性关系,可只化为阶梯阵,不必化为行最简形.阶梯阵的台阶处对应极大线性无关组.,3.若只需求向量组的秩,可用行列所有初等变换,注:1.把所给向量写成矩阵的列向量,只能用行初等变换,小结:求向量组秩的方法,1.定义:求极大线性无关组,3.利用初等行变换，秩=阶梯阵非零行的行数,2.性质4-2(三秩相等),4.对于方阵,行列式非0,等价于 秩=n,性质4-5,所以,所以,所以,所以,性质4-5,性质4-6,性质4-3,

17、证明:,性质4-7,8,证明:,性质4-3,所以,所以,例 设A是mn矩阵,mn,证明:|ATA|=0.证,由于r(A)=r(AT)min(m,n)n,有,r(ATA)min(r(AT),r(A)n,所以|ATA|=0.,例 P79.8,9,10,一般的，r(ATA)=r(A).,定义 4-2设两向量组,若向量组中每一个向量皆可由向量组线性表示，,则称向量组可以由向量组线性表示.,若两个向量组可以互相线性表示，则称这两向量组等价.,向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性.,（1）反身性：,（2）对称性：,（3）传递性：,回忆:,就称矩阵,，记作,相抵是等价关系.,向量组A与它的任一极大

18、无关组B 等价.,一个向量组的任意两个极大无关组都等价.,定理4-11 P83若列向量组可以由列向量组线性表示.则,推论4-5 P83 若列向量组A,B等价.则,定理4-10 P82列向量组可由向量组线性表示,充要条件是存在矩阵,使得,例 设向量组a1,a2,a3线性无关,又b1=a1+a2+2a3,b2=a1-a2,b3=a1+a3,证明b1,b2,b3线性相关.证法1.设 x1b1+x2b2+x3b3=0,此方程有非零解,因此b1,b2,b3线性相关.,即 x1(a1+a2+2a3)+x2(a1-a2)+x3(a1+a3)=0,(x1+x2+x3)a1+(x1-x2)a2+(2x1+x3)

19、a3=0 由于a1,a2,a3线性无关,必有,证法2.,由b1=a1+a2+2a3,b2=a1-a2,b3=a1+a3,知:,因此b1,b2,b3线性相关.,例.,若b1=a1+a2+2a3,b2=a1-a2,b3=a1+2a3,则:,因此b1,b2,b3线性无关.,再解:,若b1=a1+a2+2a3,b2=a1-a2,b3=a1+a3,则:,因此b1,b2,b3线性相关.,列变换不改变秩,例.,若b1=a1+a2+2a3,b2=a1-a2,b3=a1+2a3,则:,书上思考题7,8,9，作业n,涉及秩的证明方法,2.转化为标准形矩阵,1.转化为向量组的秩,性质 r(A+B)r(A,B)r(A

20、)+r(B)证,设A,B均是mn矩阵,r(A)=p,r(B)=q,将A,B按列分块为A=a1,a2,.,an,B=b1,b2,.,bn,A+B=a1+b1,a2+b2,.,an+bn.(A,B)=a1,a2,.,an,b1,b2,.,bn,A+B的列向量组可由(A,B)的列向量组线性表示,因此,r(A+B)r(A,B),2：构造矩阵,3：列向量组,例：r(AB)r(A)证 设A,B分别是mn,ns矩阵,将A按列分块,C的列向量组可由A的列向量组a1,.,an线性表示,故 r(AB)=AB的列秩A的列秩=r(A).,类似地,将B按行分块可得r(AB)r(B).,性质 r(AB)min(r(A),

21、r(B),证明:,存在可逆矩阵P,Q使得PAQ为标准形,其中r=r(A),P80提高题4-2:1.A的秩为r.证明存在秩为r的阵B,C,使得A=BC.,证明:,存在可逆矩阵P,Q使得PAQ为标准形,则阵B,C的秩为r,涉及秩的证明方法:转化为标准形矩阵,F可写成秩为r的阵的积.,P80提高题4-2:2.方阵A的秩为r.证明存在秩为r的阵B,C,使得A=BC.且B可逆,证明:,存在可逆矩阵P,Q使得PAQ为标准形,则B可逆,则,定理4-12P83 极大线性无关组的等价定义,A任意r+1个向量都线性相关.,若满足：,设 是一个向量组，它的某一个部分组,线性无关；,则称为的一个极大线性无关组.,若满足：,设 是一个向量组，它的某一个部分组,A任意向量都可由线性 表示.,线性无关；,则 为的一个极大线性无关组.,回忆,证明,A任取r+1个向量组成向量组B,则B,可由线性 表示,所以向量组B的向量线性相关,即:,A任意r+1个向量都线性相关,定理4-13P83设两向量组,向量组可线性表示向量组的充要条件是:,证明必要性:,若向量组可线性表示向量组,则通过列变换,充分性:若,取A的极大线性无关组为,所以向量组B可由向量组 或A线性表示,则它也是,的极大线性无关组,推论4-6 P84,向量组可由向量组等价的充要条件是:,例：P85.11,等,