Ch4分离变量法.ppt
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1、Autumn 2013Instructor:Y.Huang Room 721,Shangxian Building School of Mathematics&Statistics,NUIST,Partial Differential Equations,Ch4 分离变量法,正交函数系与广义Fourier级数施图姆-刘维尔特征值问题齐次方程与齐次边界条件的定解问题非齐次方程与齐次边界条件的定解问题非齐次边界条件的处理,第3章讨论了无界或半无界问题,介绍了波动方程初值问题的求解方法。本章讨论有界问题,介绍解决有界问题的有效方法分离变量法。,分离变量法来源于物理学中如下事实:,它是求解数学物理定解
2、问题的一种最普遍最基本的方法之一,适用于解一些常见区域(如有限区间、矩形域、圆域、长方体、球面、圆柱体等)上的混合问题和边值问题。,机械振动总可以分解为具有各种频率和振幅的简谐振动的叠加;而每个简谐振动常具有 的驻波形式,即可表示成只含变量 x 的函数与只含变量 t 的函数的乘积变量分离。,成为问题的解。因此,分离变量法又称为Fourier级数法,而在讨论波动方程时也被称为驻波法。,求 和 的问题归结为求解常微分方程的边值问题(即特征值问题),再利用初始条件确定各项中的任意常数 使 u(x,t)(比如傅里叶(Fourier)级数形式),由此得到启发,在解线性定解问题时可尝试满足齐次方程和齐次边
3、界条件的具有变量分离形式的解的叠加,1.正交函数系与广义Fourier级数,1.1 正交函数系,三角函数系,具有正交性,即其中任何两个不同函数的乘积在区间上的积分等于零.,Def 1.设有一族定义在a,b上的函数,若满足,则称该函数系是a,b上的正交函数系,简称正交系,常记为 或,例如,函数系,为-l,l上的正交函数系。,一个函数 若积分 存在,则称 平方可积,记为,数 称为 在 中的范数。,一个正交函数系 若满足,则称 为标准正交系。,例如,函数系,为 上的标准正交系。,Def 2.设 函数系 在a,b上满足,则称该函数系在a,b上关于权函数 正交。,一个函数 若积分 存在,则称 关于权函数
4、平方 可积。,1.2 广义Fourier级数,定理 1.设 f(x)是以 2l 为周期的函数,如在-l,l上满足,(1)连续或只有有限个第一类间断点;,(2)至多有有限个极值点,,则在-l,l上 f(x)可以展成傅里叶级数,并且当 x 是 f(x)的连续(或间断)点时,级数收敛 f(x)(或),其中,特别地,当 f 是偶函数时,,其中,当 f 是奇函数时,,其中,定理 2.设 为定义在a,b上的一个关于权函数 平方可积的正交函数系,f(x)是a,b上的给定函数且 f(x)可表示成如下一致收敛的级数形式,其中,按照(4.2)确定系数的方法得到的级数(4.1),称为 f(x)按关于权函数 正交的函
5、数系 展开的广义傅里叶级数;由(4.2)确定的系数 成为广义傅里叶系数。,类似,可定义双变量正交函数系 将 f(x,y)按 展开成广义傅里叶级数,其中,2 施图姆-刘维尔(Sturm-Liouville)问题,2.1 二阶线性齐次常微分方程的求解,求解特征值问题时,常遇到二阶线性齐次常微分方程的求解问题。,对二阶常系数线性齐次常微分方程的求解问题。,可利用特征根法求解。,设(4.3)对应的特征方程 的两个根为,根据 的不同情形,有下面的结论:,当 为相等实根时,,当 为共轭复根时,,对于二阶变系数欧拉(Euler)方程,若令 可将其化为关于 t 的常系数方程,再用特征根法求解,最后用 回代,得
6、到关于 x 的解。,当 为相异实根时,,2.2 二阶线性齐次偏微分方程问题的变量分离解,通过变量代换,二阶线性常系数齐次偏微分方程及一维情形下的线性齐次边界条件总可化为如下标准形式:,其中a,b,c,d,e,k,l都是常数,且a,b不全为零,k,l不全为零。,例如,当 a=-b 时为双曲型,a=0 或 b=0 时为抛物型,a=b 时为椭圆型;当 l=0 时为Dirichlet边界,k=0 时为Neumann边界,k,l 时为Robin边界。,下面求解其变量分离形式的非零解 u(x,y)=X(x)Y(y).,将 u 代入泛定方程,得,即,上式左端仅是 x 的函数,右端仅是 y 的函数。欲对所有变
7、量 x,y 均相等,两端必为常数,记作,于是,即化为了两个常微分方程。,将 u 代入边界条件,有,欲求非零解 u(x,y),应有 故需,因此,欲求解偏微分方程问题(1.4),只需:,先解常微分方程的边值问题,得到 及其对应的非零X(x);再将 代入,结合其他定解条件求解非零Y(y)。,2.3 Sturm-Liouville问题,(1)Sturm-Liouville方程,在分离变量法中,常遇到下面含参数 的二阶线性齐次常微分方程,其中 乘上适当的函数后,(4.5)可化为,事实上,将(4.5)式两端同乘以函数 有,(4.6)式可写成,比较两式,可得,从而,即,其中 是a,b中任一点。进而,方程(4
8、.6)称为施图姆-刘维尔(Sturm-Liouville)方程,简记S-L方程,其中 为实函数。,注1.在分量变量法中遇到的常微分方程都是(4.6)(或(4.5)的特例。,例如:当 时,(4.6)变为,为保证解的存在性,假定 连续,而k(x)连续可微。,即,当 时,(4.6)变为勒让德(Legendre)方程,即,当 时,(4.6)变为n阶贝塞尔(Bessel)方程。,(2)正则与奇异,S-L方程(4.6)常分为正则和奇异两种类型。若在a,b上,则称(4.6)在(a,b)上是正则的;,当区间是无穷或半无穷时,或者当 k(x)或 在有限区间a,b的一个或两个端点处为零时,(4.6)称为在(a,b
9、)上是奇异的。,(3)S-L特征值问题,根据 k(x)在端点 a,b 处的不同取值可给予S-L方程(4.6)相应的边界条件。,当 k(a),k(b)0 时,给予边界条件,例如勒让德方程在(0,1)上是奇异的。,其中 为实数,且 与 不同时为零,与 不同时为零.,如果还有k(a)=k(b),则可给予周期性边界条件,当 时,对端点 a 处给予自然边界条件(有界性条件),对于 的情况,或者k(a)=k(b)=0的情况,可类似地提边界条件。,S-L方程(4.6)若带上上述边界条件之一,就得到一个二阶线性常微分方程的两点边值问题,称该问题为施图姆-刘维尔问题,简称为S-L问题。,一定是它的解(平凡解)。
10、现在要问:是否存在参数 的一些值,使得该问题有非零解?,这样的一类问题称为特征值问题(或固有值问题),而使得S-L问题有非零解的参数 的值称为此问题的特征值(或固有值),相应的非零解 y(x)称为是与特征值 相对应的特征函数(或固有函数)。,例1.求解特征值问题,解.对 取值的三种情形加以讨论。,(1)当 时,方程的通解是,由边界条件得,由此解得,从而 不符合非零解的要求。因此 不能小于零。,(2)当 时,方程的通解是,由边界条件得,由此解得,从而 同样,它也不是所需要的解。,(3)当 时,方程的通解是,为求非零解,设 故,从而,因此所求的特征值为,对应于 的特征函数为,其中 为任意非零常数。
11、,注2.本例中,且,例2.求解特征值问题,解.对 取值的三种情形加以讨论。,(1)当 时,方程的通解满足,由边界条件得,由此解得 从而 不符合非零解的要求。,(2)当 时,方程的通解满足,由边界条件得 从而可得非零常数解,(3)当 时,方程的通解满足,由边界条件,得,故 且,为求非零解,设 故 从而,因此,综合情况(2)和(3),所求的特征值为,对应于 的特征函数为,其中 为任意非零常数。,注3.本例中,且,例3.求解特征值问题,解.易知,当 时,没有非零解.,当 时,方程的通解为,由边界条件得,为求非零解,设 故,记 则上式为 其中,此方程的根(取正根)是正切曲线 与直线 的交点的横坐标,有
12、无穷多个,依次设为,其中,对应于 的特征函数为,其中 为任意非零常数。,例4.求解特征值问题,解.易知,当 时,没有非零解.,当 时,有非零常数解,当 时,方程的通解为,由周期性边界条件,得,所以特征值和对应的特征函数为,例5.求解特征值问题,解.这是欧拉方程,可通过变换 来求解。,易知,当 时,没有非零解.,当 时,方程的通解为,原方程可化为:,由 y(1)=0,得 由 y(e)=0,得,所以特征值和对应的特征函数为,关于特征值和特征函数,有一些基本结论,是分离变量法能够进行的关键所在。,定理2.设S-L问题中对应于不同特征值 和 的特征函数 和 在a,b上连续可微,则 和 在a,b上关于权
13、函数 正交。,推论1.区间a,b上的周期S-L问题,属于不同特征值的特征函数在a,b上关于权函数 正交。,定理3.若 则S-L问题的所有特征值都是实的,且相应的特征函数也可以取成实的。,定理4.正则但非周期的S-L问题的所有特征值都是单重的,即在允许相差一个常数因子的定义下是唯一的。,定理5.若 则S-L问题存在可列无穷多个实的特征值,按大小排列为其中 且 对应的特征函数在区间(a,b)内恰好有n个零点。特征函数的全体 构成一个完备正交系。,进一步地,若函数 f(x)在a,b上满足狄利克雷条件和S-L问题的边界条件,则 f(x)可按特征函数系 展开为广义傅里叶级数,即,其中,且等式在积分平均,
14、如果 f(x)在a,b上有一阶连续导数和分段连续的二阶导数,则级数(4.9)a,b上绝对且一致收敛于 f(x)。,的意义下成立,其中,3 齐次方程和齐次边界条件的定解问题,3.1 波动方程的初边值问题,(1)两端固定的有界弦的自由振动,例1.考虑长为 l 的两端固定的弦,由初始位移问题 和初始速度 引起的振动问题,分析:此定解问题中泛定方程和边界条件都是线性和齐次的,可利用叠加原理。,思路:分离变量法求解:通过初值问题找出奇次方程的无穷多个变量分离形式的特解,并做这些特解的叠加(线性组合),再利用初始条件确定叠加系数,得到原问题的解。,解:Step 1.分离变量,设定解问题有非零的变量分离形式
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- Ch4 分离 变量
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