Cauchy积分公式和高阶导数公式.ppt

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1、1,3-3 Cauchy积分公式和高阶导数公式,一、解析函数的Cauchy积分公式二、解析函数的高阶导数定理三、解析函数的实部和虚部与调和函数,2,1.问题的提出,根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变,求这个值.,3,4,2.Cauchy积分公式,Cauchy积分公式,5,证明：以 为心作一完全包含于 内的圆盘，并且记其边界为圆。在 上，挖去圆盘，余下的点集是一个闭区域。在 上 函数解析，由柯西定理有：在这里沿 的纠纷是按照 区域的正向取的，沿 的积分是按正向取的，即逆时针方向。以下我们证明：,6,记 由柯西定理知：是个不依赖于 的常数，从而我们证明由于和 在z0 是连续性

2、，所以对于任意的，可以找到,7,使得当，时，有从而当,从而,故,8,定理1 对于由 条围线所围成的复连通区域仍然有效（如教材66页定理1那样构成）,定理1从揭示解析函数的性质、表示解析函数及提供计算积分的方法等三方面给我们以启示定理1为我们提供了计算如（*）式左端的积分的方法,这类积分的特征是：积分路径是围线，被积函数为一分式，它在积分路径内部只含一个奇点，且该奇点是使分母 为零的点，而在积分路径上无被积函数的奇点,（*）,9,例 1,解,由Cauchy积分公式,10,例 2,解,由Cauchy积分公式,11,关于Cauchy积分公式的说明:,把函数在C内部任一点的值用它在边界上的 值表示.,

3、（这是解析函数的一个重要特征）,(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积 分的一种方法,而且给出了解析函数的一个 积分表达式.,(这是研究解析函数的有力工具),12,例计算积分,解 首先，识别积分的类型它是具有（*）式左端积分的特征的那类积分其次，将所求积分与（*）式左端的积分比较后，知道所求积分在形式上与（*）式左端的积分相同由此想到利用（*）式计算积分最后，经验证，所求积分满足定理1的条件，于是，由（*）式得,13,解 首先，识别积分类型它是具有（*）式左端积分的特征的那类积分其次，将所求积分与（*）式左端的积分比较，在形式上是不一样的但是，如果将它变形为,例计算积分,那么，在形式上与

4、（*）式左端的积分一样由此想到利用（*）式计算最后，经验证，所求积分满足定理4.5的条件，于是，由（*）式得,14,例计算积分,作,，有,计算上式右端两个积分,故,15,观察下列等式,问题：解析函数的导函数一定为解析函数？若是，则其导函数可否用一公式来表示呢？,16,亦即 抽象后有 上式是必然的吗？下面的定理给予了回答,17,高阶导数公式的作用:,不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.,二、解析函数的高阶导数定理,18,证 利用数学归纳法证明该定理,设，证上式成立，即证(1),欲证(1)式，只须证,19,于是,由此有,故,即,20,设 时，题设式子成立，证 时，题设式子成立，即证,21

5、,假设（3-3-3）当 时成立。,设以 为心，以 为半径的圆盘完全包含在 内，并且在这圆盘内取 使得，那么当 时，,22,那么,23,由此可以证明：当，的右边趋于零。于是（3-3-3）当 时成立。证毕。,由与证得定理,24,定理2 对于由 条围线所围成的复连通区域仍然有效（如教材68页定理2那样构成）,这类积分的特征是：积分路径是围线，被积函数为一分式，它在积分路径内部只含一个奇点，且该奇点是使分母 为零的点，而在积分路径上无被积函数的奇点,25,推论：若函数 在点 解析，则存在点 的一个邻域，使得在该邻域内 有任意阶导数，其各阶导数也解析；并且在该邻域内函数 和 的各阶偏导数不仅存在而且都连

6、续。证明：由函数在点 解析知：可作一圆盘使得 在该闭圆盘上解析。于是对该圆盘应用定理2。,26,例计算积分,解：由高阶导数公式,27,解 首先，识别积分的类型它是具有（*）式左端积分的特征的那类积分 其次，将所求积分与（*）式左端的积分比较后，知道所求积分在形式上与（*）式左端的积分相同由此想到用（*）式计算积分 最后，经验证，所求积分满足定理2的条件，由（*）式得,例计算积分,28,例2（1）（2）,解（1）函数 的奇点 在圆 的内部，而其它的两个奇点在左半平面，从而在该圆的外部。于是函数 在闭圆盘 上解析，由定理2 可得：,（2）同理 其中在闭圆盘 上解析，因此,29,例 3,解,30,3

7、1,4.典型例题,例 4,解,由Cauchy积分公式,32,例 5,解,根据Cauchy积分公式知,33,例 6,解,34,例 6,解,35,由复合闭路定理,得,例 6,解,36,例 7,解,37,根据复合闭路原理,38,于是,39,例 8,解,由Cauchy 积分定理得,由Cauchy积分公式得,40,41,例4,解,42,根据复合闭路原理和高阶导数公式,43,44,1.调和函数的概念,2.解析函数与调和函数的关系,3.计算实例,由定理2，在区域D内解析函数的实部函数和虚部函数在D内必有各阶连续偏导数。下面研究其实部函数和虚部函数的二阶偏导数之间的关系。,三、解析函数的实部和虚部与调和函数,

8、45,调和函数的概念,定义,工程中的许多问题，如平面上的稳定温度场、静电场和稳定流场等都满足Laplace方程.,46,下面简单推导平面稳定温度场中温度函数是一个调和函数.,设所考虑物质的导热性能在某一区域 内是均匀且各向同性的，导热系数是常数，且 内没有热源，这样，在 内就形成一个稳定的温度场.,设 表示其温度分布函数，在 内任取一条其内部属于 的简单闭曲线 C，以表示其内部.,47,其中 n 表示外法线方向.因此，通过整个曲线 C 流出的热量应是,根据物理学中的Fourier定律，在单位时间内,通过C上一个小弧段 自C的内部流出的热量是,48,即温度分布函数是一个调和函数.,因为内各点的温

9、度不随时间改变，并且没有热源存在，所以应有,由于C的任意性，有,49,2.解析函数与调和函数的关系,在不影响整体结构的前提下，本小节先引入解析函数区别于一般实函数的两个重要结论：,50,定理,任何在区域 D 内解析的函数,它的实部和虚部都是 D 内的调和函数.,证明,根据解析函数的导数仍是解析函数,因此,51,再由二阶导函数的连续性,52,即：区域 D 内解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.,人们常常要问：,共轭调和函数.,53,现在会提出如下问题：,或者已知调和函数 v(x,y)时，是否存在调和函数 u(x,y)，使得 f(z)=uiv 是D上的解析函数?,已知 u(x,y)是区域D上的调和

10、函数，是否存在u(x,y)的共轭调和函数 v(x,y)，使得函数 f(z)=uiv是D上的解析函数?,回答是肯定的，以下用举例的方法加以说明.,54,3.计算实例,解,例 1,55,得解析函数,这个函数可以化为,56,注：此处用到解析函数的唯一性定理。,另一方法,57,例 2,解,58,59,所求解析函数为,60,解,所求解析函数为,另一方法,61,例 3,解,62,解,例 4,两边同时求导数,上两式分别相加减可得,63,例1 已知 在右半平面 是调和函数，求在该半平面 解析的函数 使得 且,由 积分得,解：求偏导数得,解法1 由CR条件得：,64,两边对 求导，并且与上面所得的 比较有,于是

11、得 即,从而,于是,进一步由条件 可得,最后结果有,65,解法2 在该右半平面 内取点，由式（3.1）得,66,某区域内的调和函数是否必是该区域某个解析函数的实部或虚部？,当区域是连通时，回答是肯定的。,注意：当 在 D内是 的共轭调和函数时，在D内 不一定是 的共轭调和函数。,67,讨论下面定理4的反问题，即已知 是区域内的调和函数，利用函数在 内解析的充分必要条件，求出解析函数，使得其实部或者虚部在 内为。由于多连通区域用割线可以分成一个或者几个单连通区域，因此我们只讨论 为单连通区域情形。讨论在单连通区域 内已知解析函数的实部，求其虚部调和函数。由由于 在单连通区域 内调和，可得,68,

12、因此由本章命题2 可以直接求出 为其中 为任意实常数，该积分在 内与积分路径无关。可在 内取定点 和平行于坐标轴的路径来计算。如取从点 到点 再到点 的折线段可得 同理在单连通区域 内已知解析函数的虚部，可求其实部调和函数,69,本章主要内容,有向曲线,复积分,积分存在的条件及计算,积分的性质,Cauchy积分定理,原函数的概念,复合闭路定理,Cauchy积分公式,高阶导数公式,积分公式及计算,70,注意,1.复积分的基本定理；,2.柯西积分公式与高阶导数公式;,3.复合闭路定理与复积分的计算.,71,第三章 完,72,生于伍尔索普，,I.Newton 简介,1661年进入剑桥大学三一学院，自

13、己研究Descartes,Copernicus,Kepler,Galileo,Barrow 等的著作。,1665年剑桥闹鼠疫回乡两年，微积分、万有引力、光谱分析等发明都萌芽于此。1667年获硕士学位，1669年接替Barrow担任教授。,1671年发布“流数术”小册子，1687年出版自然哲学的数学原理等著作，1703年皇家学会会长，17 05 年授予爵士称号；晚年研究神学，去世。,73,生于莱比锡；,G.W.Leibniz 简介,1661年入莱比锡大学学法律；1663年论个体原则方面的形而上学争论获学士学位；1664年论法学之艰难获哲学硕士；1665年提交博士论文论身份，1667年获阿尔特多夫

14、大学博士学位。1671年开始外交官生涯；1672年出使法国、英国等。,结识了惠更斯、巴罗等，对数学、力学等产生兴趣；1684年发表了第一篇“微积分”方面的论文；在1714年微分学的历史与起源中给出了关于他自己思想的记载；去世。,74,P.S.Laplace(拉普拉斯)简介,生于法国、诺曼底1827.3.5卒于法国、巴黎,在球状物体的引力理论与行星形状中得到位势方程。,与Lagrange、Legendre并称为巴黎“3L”。,我们知道的，是很微小的；我们不知道的，是无限的。,75,生于法国、巴黎卒于法国、斯科,A.L.Cauchy(柯西)简介,数学分析严格化的开拓者,复变函数论的奠基人,弹性力学

15、理论的建立者,在方程、群论、数论、几何、光学、天体力学等也有出色贡献。,多产的科学家(800多篇论文)，分析大师。,76,Riemann(黎曼)简介,生于德国、汉诺威卒于意大利,除博士论文外，生前发表10篇论文，遗作10多篇，对现代数学影响最大的数学家之一。,开创了复变函数论、代数函数论、常微分方程解析理论、解析数论。,实分析、级数理论、几何学、数学物理等重大突破。,77,生于诺丁汉，卒于剑 桥,G.Green(格林)简介,童年在父亲的磨坊干活；同时自修数学、物理；32岁，出版了小册子数学分析在电磁学中的应用，其中有著名的Green公式。,父亲去世后，1833年以自费生的身份进入剑桥大学科尼斯学院学习，1837年获学士学位，1839年聘为剑桥大学教授。在数学物理方面有出色成就。,他是第一个沿欧洲大陆的研究方法前进英国数学家，其工作开创了庞大的剑桥物理学派。Stokes,Thomson,Maxwell等,78,练习：,79,解,当 时,解答,80,利用柯西积分公式,81,因此由柯西积分公式得,82,