CAD技术基础第三章产品造型参数曲线与曲面.ppt

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1、1,CAD技术基础,华中科技大学 材料学院廖敦明,2,第三章 产品造型,3.1 形体的机内表示(参见李建军的书)3.2 参数曲线与曲面(参见孙家广的图形学P286)3.3 基于线框、表面、实体和特征统一表示的造型(参见李建军的书 第5章 产品零件造型.doc),3,3.2 参数曲线和曲面,3.2.1 概述曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design,CAGD)和计算机图形学的一项重要内容，主要研究在计算机图象系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺，由Coons、

2、Bezier等大师于20世纪60年代奠定其理论基础。,4,1963年：美国波音（Boeing）飞机公司的佛格森（Ferguson）最早引入参数三次曲线（三次Hermite插值曲线），将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由四角点的位置矢量、两个方向的切矢定义的佛格森双三次曲面片，从此曲线曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形式。仅用端点的位置和切矢控制曲线形状是不够的，中间的形状不易控制，且切矢控制形状不直接。,5,1964年，美国麻省理工学院（MIT）的孔斯（Coons）用封闭曲线的四条边界定义一张曲面，Ferguson曲线曲面只是Coons曲线曲面的特例。而孔斯曲面的特点是插

3、值，即构造出来的曲面满足给定的边界条件，例如经过给定边界，具有给定跨界导矢等等。但这种方法存在形状控制与连接问题。同年，舍恩伯格(Schoenberg)提出了参数样条曲线、曲面的形式。,6,1971年，法国雷诺（Renault）汽车公司的贝塞尔（Bezier）发表了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法，这种方法不仅简单易用，而且漂亮地解决了整体形状控制问题，把曲线曲面的设计向前推进了一大步，为曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础。但当构造复杂曲面时，Bezier方法仍存在连接问题和局部修改问题。同期，法国雪铁龙（Citroen）汽车公司的德卡斯特里奥（de Castelijau）也独立地研究出

4、与Bezier类似的方法。,7,1972年，德布尔（de Boor）给出了B样条的标准计算方法。1974年，美国通用汽车公司的戈登（Gorden）和里森费尔德（Riesenfeld）将B样条理论用于形状描述，提出了B样条曲线和曲面。这种方法继承了Bezier方法的一切优点，克服了Bezier方法存在的缺点，较成功地解决了局部控制问题，又轻而易举地在参数连续性基础上解决了连接问题，从而使自由型曲线曲面形状的描述问题得到较好解决。但随着生产的发展，B样条方法显示出明显不足，不能精确表示圆锥截线及初等解析曲面，这就造成了产品几何定义的不唯一，使曲线曲面没有统一的数学描述形式，容易造成生产管理混乱。1

5、975年，美国锡拉丘兹（Syracuse）大学的佛斯普里尔（Versprill）提出了有理B样条方法。,8,80年代后期 皮格尔（Piegl）和蒂勒（Tiller）将有理B样条发展成非均匀有理B样条方法，并已成为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术。NURBS方法的突出优点是：可以精确地表示二次规则曲线曲面，从而能用统一的数学形式表示规则曲面与自由曲面，而其它非有理方法无法做到这一点；具有可影响曲线曲面形状的权因子，使形状更宜于控制和实现；NURBS方法是非有理B样条方法在四维空间的直接推广，多数非有理B样条曲线曲面的性质及其相应算法也适用于NURBS曲线曲面，便于继承和发展。由于NURB

6、S方法的这些突出优点，国际标准化组织(ISO)于1991年颁布了关于工业产品数据交换的STEP国际标准，将NURBS方法作为定义工业产品几何形状的唯一数学描述方法，从而使NURBS方法成为曲面造型技术发展趋势中最重要的基础。,9,3.2.2 曲线表示的基本知识 1.曲线和曲面的三种表示方法 1）显式 y=f（x）；z f（x，y）2）隐式 f（x，y，z）0 3）参数表示 x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)如平面曲线上任一点P可表示为：P(t)=x(t),y(t)如直线：P(t)=P1+(P2-P1)t t0,1 对P求导，可表示为：P(t)=x(t),y(t)由于参数表示的曲线、曲面具

7、有几何不变性等优点，计算机图形学中通常用参数形式描述曲线、曲面。,10,11,有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状 y=ax3+bx2+cx+d 二维三次曲线的参数表示为：x=at3+bt2+ct+d y=et3+ft2+gt+h(2)变换时，参数曲线可对方程进行变换，而非参数曲线要对每一个点进行变换(3)便于处理斜率为无穷大的问题。(4)便于把低维空间中的曲线、曲面扩展到高维空间。(5)规格化的参数变量 t0,1,是有界的，不必用另外的参数去表示边界(6)便于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。,12,2.位置矢量 P(t)=x(t),y(t),z(t)P(t)=dP/dtP(t)=d2P

8、/dt2,13,3.参数曲线的切矢量、法矢量、曲率、挠率,切矢量 dP/ds=P(t)/|P(t)|曲率 转角/s 或者 转角/c,14,15,法矢量 法平面 主法矢扰率,16,4.插值、逼近、拟合及光顺,插值与插值函数 给定一组有序的数据点Pi，i=0,1,n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。线性插值 y=(x)=ax+b抛物线插值 y=(x)=ax2+bx+c,17,4.插值、逼近、拟合及光顺,逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为对这些数据点进行逼近，所构造的曲线为逼近曲线。最小二乘法 n个点 构造一个m(mn-1)

9、次多项式 y=F(x)各点偏差的平方和最小 加权的方差最小,18,4.插值、逼近、拟合及光顺,拟合：插值和逼近则统称为拟合（fitting）光顺：通俗含义指曲线的拐点不能太多，曲线拐来拐去，就会不顺眼，对平面曲线而言，相对光顺的条件是：a）具有二阶几何连续性(G2)；b）不存在多余拐点和奇异点；c）曲率变化较小。,19,5.曲线段间C1 C2和G1 G2连续性定义,曲线间连接的光滑度的度量有两种：一种是函数的可微性，把组合参数曲线构造成在连接处具有直到n阶连续导矢，即n阶连续可微，这类光滑度称之为Cn或n阶参数连续性。另一种称为几何连续性，组合曲线在连接处满足不同于Cn的某一组约束条件，称为具

10、有n阶几何连续性，简记为Gn。曲线光滑度的两种度量方法并不矛盾，Cn连续包含在Gn连续之中。,20,几何连续性 零阶几何连续定义：Q1(1)=Q2(0)称C0和G0连续一阶几何连续定义：Q1(1)=Q2(0)，Q1(1)=Q2(0)称C1连续 Q1(1)=Q2(0)，Q1(1)=nQ2(0)称G1连续二阶几何连续定义：C1连续，Q1(1)=Q2(0)称C2连续 G1连续，Q1(1)=nQ2(0)称G2连续 Cn参数连续性比Gn几何连续性的条件要苛刻！,21,3.2.3 Bezier曲线,Pn,贝赛尔（1910-2000）23岁进巴黎郊区的雷诺汽车厂工作，从事刀具设计，零件生产线和数控钻床、铣床

11、的组装调试。他在50岁时开始研究几何化的曲面构造方法，独自开拓了一条全新的道路，用多边形的顶点来定义自由曲线（1962）。就像有些画家在素描人像时先用折线勾画脸部和身材的大致轮廓，再逐渐修正线条，贝赛尔完全用折线来精确定义一条曲线。,22,给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，n），则Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是：,其中，Pi构成该Bezier曲线的特征多边形，Bi,n(t)是n次Bernstein基函数：,注意：约定 0=1,0!=1,1定义,23,如图所示是一条三次Bezier曲线实例，即 n 3,对于三次Bezier曲线，其表达式为,24,伯恩斯坦（Bernst

12、ein）基函数,Bi,n(u)是函数逼近论中早已知名的伯恩斯坦（Bernstein）基函数，是0，1区间的n次多项式。Bernstein基函数的性质:（1）正性（2）端点性质,25,（3）权性 由二项式定理可知：（4）对称性 因为,26,（5）递推性 其计算过程表示为：即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的Bernstein调和函数线性组合而成。（6）导函数（7）最大值：在 处达到最大值。,27,n次伯恩斯坦基函数共有n+1个，与多边形的控制顶点数相等，所以每个基函数分别作用于一个顶点，在0，1区间内将各个顶点所连成的折线多边形调配成一条光滑曲线。贝赛尔曲线是一条整体曲线，它的次数

13、等于控制顶点数减1。所以15个顶点产生一条14次贝赛尔曲线。次数越高，曲线越光滑，但是它离开控制多边形越远，越难从多边形的形状来预测曲线形状。,28,2.Bezier曲线的性质,（1）端点性质a)曲线端点位置矢量 当t=0时，P(0)=P0 当t=1时，P(1)=Pn由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。b)端点切矢量为,当t=0时，P(0)=n(P1-P0)，当t=1时，P(1)=n(Pn-Pn-1)这说明Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。c)端点二阶导矢,当t=0时，,当t=1时，,上式表明：2阶导矢只

14、与相邻的3个顶点有关，事实上，r阶导矢只与（r+1）个相邻点有关，与更远点无关。,29,(2)对称性,由控制顶点,构造出的新Bezier曲线，与原Bezier曲线形状相同，走向相反,30,(3)凸包性,由于，且，这一结果说明当t在0，1区间变化时，对某一个t值，P(t)是特征多边形各顶点 的加权平均，权因子依次是。在几何图形上，意味着Bezier曲线P(t)在 中各点是控制点Pi的凸线性组合，即曲线落在Pi构成的凸包之中，如图所示。,31,(4)几何不变性,是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。Bezier曲线的位置与形状与其特征多边形顶点的位置有关，它不依赖坐标系的选择。,（参变量u是t

15、的置换）,移动n次Bezier的第j个控制点，将对曲线上参数为t=j/n 的点 P(j/n)处发生最大的影响适合于形状设计,32,（6）变差缩减性若Bezier曲线的特征多边形 是一个平面图形，则平面内任意直线与C(t)的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。此性质反映了Bezier曲线比其特征多边形的波动还小，也就是说Bezier曲线比特征多边形的折线更光顺。,33,3.Bezier曲线的矩阵表示,34,(3)三次Beizer曲线,35,4.Bezier曲线的分割递推De Casteljau算法,抛物线的三切线定理,当P0，P2固定，引入参数t，令上述比值为t

16、:(1-t)，即有,这二次Bezier曲线P20可以定义为分别由前两个顶点（P0，P1）和后两个顶点（P1，P2）决定的一次Bezier曲线的线性组合。,36,n+1个控制点Pi(i=0,1,.,n)定义的n次Bezier曲线的Pn0可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合,由此得到Bezier曲线的递推计算公式：,37,n=3 时,38,这一算法可用简单的几何作图来实现。给定参数，就把定义域分成长度为 的两段。依次对原始控制多边形每一边执行同样的定比分割，所得分点就是第一级递推生成的中间顶点，对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同

17、样的定比分割，得第二级中间顶点。重复进行下去，直到n级递推得到一个中间顶点 即为所求曲线上的点。,几何作图法求Bezier曲线上一点（n=3，t=1/3）,39,另外，这一算法隐含说明任一Bezier曲线均可被分割为两段Bezier曲线。第一段由P0、P01、P02、P03确定，参数空间为0,1/3;第二段P03、P12、P21、P3确定，参数空间为1/3,1,分割后的曲线形状保持不变。如图所示。,40,5.Bezier曲线的拼接,对于Bezier曲线来说，很容易将几段曲线连接起来。考虑到实际工程应用中，很多情况下曲线均为光滑的，因而希望各段Bezier曲线间的拼接具有某阶连续性，通常要求是切

18、线方向连续(即一阶几何连续)和曲率向量连续(即二阶几何连续)。,41,5.Bezier曲线的拼接,设有三次Bezier曲线段P(u)、Q(v),42,5.Bezier曲线的拼接,1)0阶几何连续的拼接条件 只考虑位置连续，有 P(1)=Q(0)或 Q(1)=P(0)即 P3=Q0 或 Q3=P0,43,5.Bezier曲线的拼接,2)一阶几何连续的拼接条件 在满足位置连续的基础上，还应满足下述条件 式中 0。由此可得 利用P3Q0，则有,44,5.Bezier曲线的拼接,要满足一阶连续拼接条件，必须满足 P3Q0 以及P2、P3(Q0)、Q1 共线的条件。,45,G2连续的充要条件是：在G1连

19、续的条件下，并满足方程 表明、和 五点共面，事实上，在接合点两条曲线段的曲率相等，主法线方向一致，我们还可以断定：和 位于直线 的同一侧。,46,3.2.4 Beizer曲面,定义 基于Bezier曲线的讨论，我们可以方便地可以给出Bezier曲面的定义和性质，Bezier曲线的一些算法也可以很容易扩展到Bezier曲面的情况。,(n+1)(m+1)个空间点列:,Bezier曲面定义为：,依次用线段连接点列中相邻两点所形成的空间网格，称之为特征网格。,47,Bezier曲面的矩阵表示式是：如图所示，为三次Bezier曲面,48,2 Beizer曲面的性质除变差减小性质外，Bezier曲线的其它

20、性质可推广到Bezier曲面：(1)Bezier曲面特征网格的四个角点正好是Bezier曲面的四个角点。(2)Bezier曲面特征网格最外一圈顶点定义Bezier曲面的四条边界；Bezier曲面边界的跨界切矢只与定义该边界的顶点及相邻一排顶点有关。(3）几何不变性。(4）对称性。（5）凸包性。,49,3.Bezier曲面的拼接,对于两张给定的双三次Bezier曲面片，有 式中,50,3.Bezier曲面的拼接,1)位置连续的拼接条件 二曲面片只需满足 P(1,v)=Q(0,v)即只需控制网格顶点满足 Pi,3=Qi,0(i=0,1,2,3)相邻两张Bezier曲面边界只要采用公共的控制顶点就能

21、保证曲面的边界位置连续条件。,51,3.Bezier曲面的拼接,2)一阶几何连续的拼接条件 除满足位置连续条件外，还应满足下列条件 式中 0。此时，满足一阶几何连续的充分条件(非必要条件)为,52,3.Bezier曲面的拼接,几何意义：Pi,2，Pi,3(Qi,0)Qi,1(i0，1，2，3)应位于同一直线上。,53,Bezier的商业应用,在Bezier指导下，1962至1968年底雷诺汽车厂研制成功了UNISURF曲面造型和SURFAPT数控加工原型系统，配置了一台数控绘图机和一台数控铣床，1972年起开始用于生产，两年内定义了四种车型的车身外形。从1977年起英国剑桥大学工程系用Bezi

22、er曲面研制了曲面设计加工系统DUCT。它的构形方法是先定义一条脊椎线（spine）。与脊椎线相垂直，定义各个剖面形状。灵活设计脊椎线布局，可以构造出很多复杂形状的汽车发动机排气管、涡轮泵壳体、香水瓶等。DUCT后来发展为商品系统，至今仍在CAD/CAM小型系统中占有一席之地。从1974年起，法国达索飞机公司研制三维造型CATIA系统和Euclid公司发展CAD/CAM系统，都是使用Bezier曲面作为基本造型方法。,54,3.2.5 B样条曲线,1为什么要B样条曲线 Bezier曲线的两点不足：1）特征多边形顶点的个数决定了曲线的阶数，当n较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲线

23、的形状控制减弱。2）由于 Bi,n(t)在0=t=1 的整个区域都不为0，曲线不能做局部修改，即改变某个控制点将影响整条曲线。,55,2定义 已知n+1个控制点Pi(i=0,1,.,n),也称为特征多边形，k阶B样条的表达式为：,其中 ti是节点值，T=t0,t1,tL+2k-1 构成了k阶B样条函数的节点矢量,L=n-k+1。节点矢量所含节点数目由控制顶点n和曲线次数k所确定。均匀B样条函数，其节点值ti1ti 常数；非均匀B样条函数，即节点值ti1ti 常数。,56,该定义说明：由空间n+1个控制点生成的k阶B样条曲线是由Ln-k+1段B样条曲线逼近而成的，每段曲线段的形状仅由点列中的k个

24、顺序排列的点所控制；由不同节点矢量构成的均匀B样条函数所描述的形状相同，可看成是函数的简单平移。,57,三次B样条曲线,58,三次均匀B样条曲线的基函数为：上述基函数图形如下图所示：,59,在每两相邻曲线段的连接点上，左右两边函数的函数值、一阶导数和二阶导数都是相等的，所以三次B样条整体上构成C2连续。基于样条函数的这一特点，用它构造样条曲线，曲线的次数和连续阶只与所选用的基函数次数有关，而与所拟合的数据点点数无关。这就使得用它来构造复杂形状的曲线和曲面就很省力，不必再去操心各段曲线和各个曲面片之间的边界拼合问题，B样条基函数自动保证了中间节点上的光滑连接。,60,3.B样条曲线的性质,1)局

25、部性 局部性是B样条曲线最重要的性质之一，这是Bezier曲线所不具备的。2)凸包性 B样条曲线的凸包区域比同一组顶点定义的Bezier曲线凸包区域要小，具有比Bezier曲线更强的凸包性。B样条恒位于它的凸包内；3)几何不变性 B样条曲线的几何特征不随坐标变换而变化。4)变差缩减性 与Bezier曲线性质相同。5)造型的灵活性 由于其良好的局部特性，可以方便构造低次的复杂曲线，且编辑顶点对曲线形状的改变是局部的.,61,均匀B样条和非均匀B样条曲线一般不通过控制多边形首末两点。若需B样条曲线具有较好的端点性质（即通过端点），实际应用中常引入准均匀B样条，即在节点矢量中两端节点具有k1个重复度

26、：t0 t1=t k,t n+1=t n+2=t n+k+1。这样构造的准均匀B样条曲线将通过控制多边形首末两点。,62,4B样条曲线的矩阵表示一次均匀B样条曲线的矩阵表示,二次均匀B样条曲线的矩阵表示,三次均匀B样条曲线的矩阵表示,63,5.B样条曲线控制顶点的反算,无论是均匀三次B样条曲线，还是均匀双三次B样条曲面，由控制顶点所构造的曲线或曲面并不经过这些控制点，这样使得设计曲线和曲面并不直观。在工程实际中，设计人员往往不可能事先知道控制多边形顶点的位置。而只知道曲线、曲面上某些型值点的位置。为了构造B样条曲线或曲面，就必须利用已知的型值点反算出控制多边形的顶点。,64,5.B样条曲线控制

27、顶点的反算,已知曲线上的一组型值点Qi(i=1,2,n)，要求出一条均匀三次B样条曲线过Qi，也就是求对应曲线的控制多边形顶点Pj(j=0,1,n+1)。由B样条曲线的表达式有 注意到上式有n个方程，但有n十2个未知数，因此需补充两个边界条件。,65,5.B样条曲线控制顶点的反算,首末两点经过Q0、Qn的B样条曲线 将P1=Q1，Pn=Qn与上式联立得线性方程组,66,5.B样条曲线控制顶点的反算,采用追赶法求出Pj(j=l，2，n)。为了使曲线首末两点过Q0、Qn，需要二个附加顶点且满足条件：P0=2P1-P2，Pn+1=2Pn-Pn-1 这样B样条在两端点处的曲率为零，即曲线首末两端分别与

28、P0P1和PnPn-1相切。,67,5.B样条曲线控制顶点的反算,B样条曲线为闭曲线 边界条件 P0=Pn，Pn+1=P1,68,5.B样条曲线控制顶点的反算,解此方程即得到均匀三次B样条闭曲线。边界条件还有：端点有二重控制点即P0=P1，Pn+1=Pn；给定首末两点的切矢Q1、Qn；给定首末两点的二阶导数矢量Q1、Q”n等。,69,3.2.6 B样条曲面,基于B样条曲线的定义和性质，可以得到B样条曲面的定义。给定 个空间点列 则 定义了 次（k1）x（l1）阶）B样条曲面，和 是k次（k1阶）和l次（l1阶）的B样条基函数，u和w为B样条基函数 和 的节点参数，由组成的空间网格称为B样条曲面

29、的特征网格。,70,性质,（1）K x L次B样条曲面片的四个角点不经过任何特征网格顶点，且仅与该角点对应的K x L个特征网格顶点有关，如均匀双三次B样条曲面与对应的9个顶点有关。（2）B样条曲面的边界曲线仍为B样条曲线，该边界B样条曲线由对应的K条（或L条）边界特征网格顶点确定。如均匀双三次B样条曲面边界曲线仅与三排顶点有关。推广：沿B样条曲面任何等参数的截线均为一B样条曲线。（3）B样条曲面边界的跨界导数只与定义该边界的顶点及相邻K1排（或L1排）顶点有关，具有（K1）x（L1）阶函数连续性。（4）几何不变性。（5）对称性。（6）凸包性。,71,3.2.7 NURBS曲线与曲面,1NUR

30、BS方法的提出及优缺点 NURBS非均匀有理B样条(Non-Uniform Rational B-Spline)，这种方法的提出是为了找到与描述自由型曲线曲面的B样条方法相统一的又能精确表示二次曲线弧与二次曲面的数学方法。NURBS方法主要有以下四个特点：NURBS不仅可以表示自由曲线曲面，它还可以精确地表示圆锥曲线和规则曲线，所以NURBS为计算机辅助几何设计(CAGD)提供了统一的数学描述方法；NURBS具有影响曲线、曲面形状的权因子，故可以设计相当复杂的曲线曲面形状。若运用恰当，将更便于设计者实现自己的设计意图；NURBS方法是非有理B样条方法在四维空间的直接推广，多数非有理B样条曲线曲

31、面的性质及其相应的计算方法可直接推广到NURBS曲线曲面；计算稳定且快速。,72,然而，NURBS也还存在一些缺点：需要额外的存储以定义传统的曲线和曲面；权因子的不合适应用可能导致很坏的参数化，甚至毁掉随后的曲面结构。虽然NURBS存在这样一些缺点，但其强大的优点使其已成为自由型曲线曲面的唯一表示。,73,2NURBS曲线的定义,一条 次NURBS曲线定义为：其中 称为权,与控制顶点相联，其作用类似基函数，但更直接。,，可防止分母为零、保留凸包性质及曲线不致退化。为控制顶点。是由节点 决定的 次（k1阶）B样条基函数。,74,对于非周期NURBS曲线，两端点的重复度可取为，即,，且在大多数实际

32、应用里，节点值分别取为0与1，因此，有曲线定义域。由于NURBS曲线与B样条曲线采用相同的基函数，因此NURBS曲线具有和B样条曲线相同的性质，除此之外，由与权因子的作用，使NURBS曲线具有更大的灵活性，且表达能力大大增强，NURBS曲线能统一表达圆锥曲线，B样条曲线和Bezier曲线。,75,3权因子对NURBS曲线形状的影响,若固定所有控制顶点及除 外的所有其它权因子不变，当 变化时，点随之移动，它在空间扫描出一条过控制顶点 的一条直线。当 时，趋近与控制顶点 重合。若 增加，则曲线被拉向控制顶点；若 减小，则曲线被推离控制顶点。若 增加，则一般地曲线在受影响的范围内被推离除顶点 外的其

33、它相应控制顶点；若 减小，则相反。,76,左图给出了权因子对NURBS曲线的影响示意图。右图给出了二次NURBS曲线表达圆的一种方法，图中各顶点V i的权因子Wi的取值分别为（1，0.7071，1，0.7071，1，0.7071，1，0.7071，1），其节点矢量T（0，0，0，1，1，2，2，3，3，4，4，4）。,77,4NURBS曲面的定义,由双参数变量分段有理多项式定义的NURBS曲面是：这里控制顶点 呈拓扑矩形阵列，形成一个控制网格。是与顶点 联系的权因子，规定四角顶点处用正权因子即,其余；和 分别为u向k次和v向l次的规范B样条基。它们分别由u向与v向的节点矢量 决定。,78,由于NURBS曲面与B样条曲面采用相同的基函数，因此NURBS曲面具有和B样条曲面相同的性质。除此之外，由于权因子的作用，使NURBS曲面具有更大的灵活性，且表达能力大大增强，NURBS曲面能统一表达二次曲面（如球面，柱面，圆环面等），B样条曲面和Bezier曲面等。,79,谢谢！,