CADCAM原理与应用.ppt

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1、CAD/CAM原理与应用,第4章 计算机绘图,计算机绘图是CAD/CAM的重要组成部分。它的发展有力地推动了CAD/CAM的研究和发展，为CAD/CAM提供了高效的工具和手段；而CAD/AM的发展又不断提出新的要求和设想，其中包括对计算机绘图的要求因此，CAD/CAM的发展与计算机绘图的发展有着密不可分的关系。随着三维几何建模系统的应用以及CAD/CAM逐步实现真正的集成化，用户可以随时形象地观察三维模型、并通过集成环境直接控制CAM加工设备完成制造过程。因此，计算机绘图的理论和方法具有基础性和普遍意义。,计算机绘图,4.1 概述,1950年，世界上第一台图形显示器“旋风一号”在美国问世；19

2、58年，美国CALCOMP公司制成滚筒式绘图仪；1958年，GERBER公司制成平板式绘图仪；1963年，MIT的I.E.Sutherland开发了人机交互图形系统；1966年，美国Lockheed公司与IBM公司联合开发并推出了著名的CAD/CAM系统“计算机图形增强设计与制造软件包”(CADAM)；20世纪70年代之后，图形辅入输出设备迅速发展；80年代，CAD/CAM系统硬件、软件更加成熟；90年代，光栅扫描式大屏幕彩色图象终端、工程扫描仪、静电绘图机；三维实体设计；目前，计算机图形在工程设计、NC编程、工况检测、仿真模拟、制导技术、临床医学、动画制作等领域得到广泛应用。,4.1.1 计

3、算机绘图的含义及作用,含义 利用计算机存贮、生产图形，并在计算机控制下，把过去由人工一笔一画完成的绘图工作由自动绘图机等图形输出设备来完成。特点 计算机绘图不仅可以形象地产生和复制各种类型的图形，还可方便地对图形进行存贮、调用、编辑和修改，并通过绘图机输出。计算机绘图可以大大提高绘图质量和效率，减少人工工作量。计算机绘图在改革传统的工程制图技术方面有其重要的作用。就机械CAD而言，计算机绘图是一个重要的、占据较多工作量的环节。,4.1.2 计算机绘图系统的类型和组成,一个完整的计算机图形系统应当具有由图变“数”和由“数”变图两种功能。由计算机控制绘图机输出图样，实际上是将其中的图形数据转化成几

4、何线条、填充区域、文本字符，这就是由“数”变图；由绘图机自动输出图样，就必须使计算机首先存有图形数据，这就需要向计算机输入图形，即由图变“数”。无形图样：技术人员以计算机为工具边设计、边构思、边绘图，产品结构及投影图隐含在头脑中，工作结束，设计结果就存贮在计算机中；已有图样：要将其输入计算机，或修改或保存管理。该项工作既可以通过人机交互或编程实现，也可以用扫描仪实现。,计算机绘图系统的类型和组成,1.计算机绘图系统的类型 静态自动绘图系统 把要绘制的图形编制成绘图程序，在绘图过程中不允许人工干预和修改，所绘图形若不符合要求，则需手工在图样上改动或修改绘图程序。动态交互式绘图系统 用户通过输入设

5、备实时动态地控制图形，需要在设计过程中进行反复修改、分析、计算，尤其是新产品的设计。,计算机绘图系统的类型和组成,硬件：计算机主机 外存贮器 输入设备 输出设备 软件：图形软件 应用数据库 图形库 应用程序,2计算机绘图系统的组成,轮廓线法、参数化法、图元拼合法、尺寸驱动法、三维实体投影法。1轮廓线法 就是将组成图形的线条逐一绘出，它只取决于线条的端点坐标，不分先后，没有约束。该绘图方法比较简单，适应面也广，但绘图工作量大、效率低，容易出错。工作方式：一是静态绘图 编制程序，成批绘制图线，程序一经确定，所绘图形也就确定了，如要修改图形，只能修改程序；二是交互式绘图 把计算机屏幕当作图板，通过鼠

6、标或键盘点取屏幕菜单，按照人机对话方式生成图形。,4.1.3 计算机绘图方法,计算机绘图方法,2参数化法 首先建立图形与尺寸参数的约束关系，每个可变的尺寸参数用待标变量表示，并赋予一个缺省值。绘图时，修改不同的尺寸参数即可得到不同规格的图样。特点及应用：简单、可靠、绘图速度快。用于建立标准件图库、已定型系列化产品的图形库，不适于约束关系不定、结构可能经常变化的新产品设计。工作方式：程序绘图需将参数代入程序或在程序运行初期输入其中；交互绘图则先将赋有缺省值的参数图以图形文件的形式存入系统，使用时调入，以人机对话的方式逐一改变参数。,计算机绘图方法,3.图元拼合法 将各种常用的、带有某种特定专业含

7、义的图形元素存贮建库，设计绘图时，根据需要调用合适的图形元素加以拼合。特点及应用：图形元素的定义和建库都是针对本单位产品形状特征的，很难建立一个包罗万象的、通用的图元库；可用于新产品的设计和绘制，其效率远远高于轮廓线法。必须以参数化法为基础，每一个图元实际上就是一个小的参数化图形。固定尺寸参数的图形元素在应用中几乎没有实用价值。工作方式：既可以交互方式通过屏幕菜单拾取选项加以拼合，也可以通过在总控程序中选择调用各图元子程序实现操作。,计算机绘图方法,计算机绘图方法,4尺寸驱动法 是一种交互式的变量设计方法。首先按设计者的意图，将草图快速勾画于屏幕之上，然后根据产品结构形状需要，为草图建立尺寸和

8、形位约束，草图受到这种约束的驱动而变得横平竖直起来，尺寸大小也一一对应。特点及应用：甩掉了繁琐的几何坐标点的提取和计算，保留了图形所需的矢量尺寸，绘图质量好、效率高，使设计者不再拘泥于一些绘图细节。先有草图，后加约束，约束可随时增删、修改，拓扑余地大，图形也随时被新的约束关系所驱动；不仅支持新产品的设计，而且支持快速的概念设计。不仅可用于计算机绘图，还可应用于产品的装配设计。,计算机绘图方法,5三维实体投影法 在计算机三维建模环境下进行设计和绘图工作，直接建立产品的三维模型，通过实体投影技术实现三维实体的二维投影，根据需要，作一些必要的修改，补充好尺寸标注、公差及技术要求，即可完成计算机绘图任

9、务。特点及应用：不仅能更直观、更全面地反映设计对象，还能减轻设计师的负担，提高设计质量和效率。由于二维图是三维实体投影而来，二者之间有着一对一的映射关系，因此，对二维图中尺寸变量的修改，能直接反馈到三维实体，使三维实体随之发生改变。,4.2 图形软件,4.2.1 图形软件的类型与功能 1图形软件的类型 根据图形软件的功能和使用情况分为：基本绘图指令软件、图形支撑软件、专用图形软件三类。(1)基本绘图指令软件 常用汇编语言甚至用机器语言编写。通常是一些最基本的绘图指令。如画点、线等。提供的绘图能力较差，必须进行改进和完善才能满足CAD/CAM系统的要求。(2)图形支撑软件 用汇编语言或高级语言编

10、写。除提供基本绘图指令外，还可对图形进行编辑、修改和控制等。功能较强，适用范围广。其工作方式有两种：子程序软件包和交互式绘图软件。,图形软件的类型与功能,2图形软件的功能 作为个图形支撑环境应具有如下基本功能：(1)定义窗口与视见区(2)图形描述(3)图形编辑与变换(4)图形控制(5)图形文件处理(6)交互处理功能,4.2.3 图形软件标准,图形软件标准：是一组通用的、独立于设备的、由标准化组织发布实施的图形系统软件包，它提供图形描述、应用程序和图形输入输出接口等功能。作用：使应用软件系统更易于移植、信息资源更易于共享、CAD/CAM集成更易于实现。,图形软件标准,1图形标准(1)GKS图形核

11、心系统 图形核心系统是国际标准化组织(ISO)于1985年采用，作为国际标准，它是一个为应用程序服务的基本图形系统。它提供了应用程序和一组图形输入、输出设备之间的功能性接口。这是一个二维图形软件标准。(2)PHIGS程序员层次交互图形系统 程序员层次交互图形系统PHIGS是美国计算机图形技术委员会于1986年推出的，后被接受为国际标准。它是为应用程序员提供的控制图形设备的图形软件系统接口及动态修改和绘制显示图形数据的手段。,图形软件标准,2图形和图像编码(1)CGM计算机图形元文件编码 它采用了高效率的图形编码方法，规定了存贮图形数据的格式，由一套与设备无关的用于定义图形的语法和词法元素组成，

12、作为图形数据的中性格式，能适用于不同的图形系统和图形设备。(2)CGI计算机图形接口编码 它描述了通用的抽象图形设备的软件接口，定义了一个虚拟的设备坐标空间、一组图形命令及其参数格式。采用CGI，无论是应用程序还是图形支撑软件均可实现在不同设备配置之间的可移植性。,图形软件标准,3数据交换标准(1)IGES初始图形交换规范 它建立了用于产品定义的数据表示方法与通信信息结构，作用是在不同的CAD/CAM系统间交换产品定义数据。IGES定义了文件结构格式、格式语言以及几何、拓扑及非几何产品定义数据在这些格式中的表示方法，其表示方法是可扩展的，并且独定于几何造型方法。(2)STEP产品模型数据交换标

13、准 它是一套系列标准，其目标是在产品生存周期内为产品数据的表示与通信提供一种中性数字形式，这种数字形式完整地表达产品信息并独立于应用软件，也就是建立统一的产品模型数据描述。包括为进行设计、制造、检验和产品支持等活动而全面定义的产品零部件及其与几何尺寸、性能参数及处理要求等相关的各种属性数据。该标准建立了一个为产品整个生存周期服务的统一的全局信息模型。,图形软件标准,标准数据交换文件工作原理,4.4 交互技术,任何一种计算机的应用过程都可抽象为输入、处理、输出三个逻辑部分，而在CAD/CAM中，这个过程不是单向的一个周期，却是输入、处理、输出，再输入、再处理、再输出这样的反复过程。技术人员将设计

14、构思输入系统，系统对构思加以描述、整理，输出给技术人员；技术人员进行修改、补充后再输入计算机，系统再进行分析、判断，将结果输出；如此循环往复，直到设计满意。这就是所谓人机交互设计的过程。用户界面的优劣常常影响软件的推广和使用效果。为此，软件行业越来越重视用户界面的研究与开发，不断推出一些优秀的交互式图形界面系统。CAD/CAM软件系统的开发也将友好的用户界作为基本需求和要达到的目标之一。,4.4.1 用户界面的类型与设计,用户界面不能简单地理解为人操作计算机时所面对的屏幕显示形式，它隐含着人机交互的状态、表达形式、操作方法等一系列内容。1.用户界面的类型(1)所见即所得型 荧光屏上的显示与最终

15、输出结果一致的界面类型。(2)直接操作型 操作动作与操作目的完全吻合的界面类型。如WINDOWS环境下，将要删除的文件直接拖入垃圾箱。这种情况下，功能命令已不是由通常的菜单选择或键盘输入来执行，而是隐含在对表示符号的直接操作中。,用户界面的类型与设计,(3)图标型 用图形代替文字或数值的界面类型。例如，打印机代表打印命令、问号代表帮助命令、文件箱代表文件管理命令等，这里，图标表示的是一个命令动作。图标型是目前最为流行的界面类型。,用户界面的类型与设计,(4)菜单型 将功能命令按类组织，列于屏幕上，供用户选择的界面类型。使用时，用户不必事先记住所有功能命令，只要掌握菜单结构就可以到相应的菜单相中

16、选取所需的命令，点取该命令，即执行操作。用户记忆负担轻，操作效率高，但当菜单层次过多的情况下，命令索取的效率要大大降低。(5)问答型 按进程进行人机对话应答的界面类型。通常是系统运行到某一阶段需要人干预输入信息或决策选择时在屏幕提示需输入的信息项目，等待用户输入；或显示预制选项，等待用户选择，用户一旦输入符号格式的信息，系统将继续运行，继续回答。这在交互式几何建模系统、CAD/CAM系统用的较多。,用户界面的类型与设计,(6)表格型 将多项问答集中为一个表格，由用户逐项回答、填写的界面类型。多项内容可参照填写，不必担心因忘记了前一项答案使后一项无从填写的尴尬。(7)命令键入型 通过键盘键入指令

17、控制系统工作的界面类型。需要用户记忆大量功能命令及其操作格式，不便掌握，易于出错。但对有经验的用户来讲，由于直接键入命令，免去了菜单的层次选择、查找而使效率更高。(8)语音型 用自然语音与计算机对话的界面类型。不再需要键盘、鼠标等输入设备，只要将需的操作口述出来，计算机就能进行相应操作。已开发出自然语音控制WINDOWS工作的系统，但仅限于格式化的工作命令语音，还不能识别人们日常的自然语言。,用户界面的类型与设计,2.用户界面设计(1)屏幕划分 针对显示屏幕的大小、格式和分辨率，合理、充分地利用屏幕，将屏幕作适当划分，以便于不同的显示用途。通常，CAD/CAM系统总是需要开辟图形区、菜单区、显

18、示提示区等至少三个区域。屏幕的划分有对称型和非对称型等不同形式。(2)字型选用 无论是菜单还是系统运行中的显示信息，若字符选用得当可以给屏幕带来生气和好的效果。(3)颜色、灰度选择 用不同颜色和灰度来标志信息、设置背景、分离不同形体，这对于用户在操作过程中集中注意力、减少错误是非常有效的，同时对操作者的情绪、心情等均会产生影响。,用户界面的类型与设计,(4)菜单设计 菜单是一组功能、对象、数据或其他用户可选择实体的列表，是目前CAD/CAM系统中最常用交互功能方法。1)菜单的结构 可以按字母顺序安排，也可以按功能分组。按功能大类划分为第一级菜单，称为主菜单；每一个主菜单又由若干二级菜单项组成，

19、称为子菜单；如果需要，子菜单项还可由三级菜单项组成。但最好层次不要太多，以小于四级为宜。2)菜单的类型 静态的固定式菜单和动态的各种菜单。固定式菜单始终显示在屏幕的某一固定区域。由于屏幕有限，菜单占据面积应尽量小，所以，大多数菜单项需采取动态形式，需要时出现，点过之后消失，不占用屏幕空间。主要形式：拉出式、弹出式、翻页式、增大式。3)菜单的标识 有文本和图标两种形式，通常结合起来使用。,用户界面的类型与设计,4)菜单的形状 一般为矩形。文本菜单呈扁矩形，图标菜单呈正方形，也有类似按钮样的圆形。5)菜单的选择 目前，多用鼠标这种指点式输入设备选取。就文本菜单而言，还应设置相应热键操作方式。为便于

20、用户判断是否选中菜单项，应设置选中的菜单项反向显示，或带亮色，或带阴影边框，使得选中菜单就像真的按动按键那样栩栩如生。,4.4.2 交互技术,人机交互的过程可分解为一系列基本操作，每种操作都是为完成某个特定的交互任务，归纳起来主要是定位、定量、定向、选择、拾取、文本六项交互任务。交互技术是完成交互任务的手段，在很大程度上依赖于交互设备。1定位技术 移动光标到满意位置，指定一个坐标。定位技术主要有：(a)用数字化仪或鼠标控制光标定位；(b)用键盘输入定位坐标值；(c)用定向键控制光标定位。2定量技术 交互过程中，输入某个数值代表某个特定量的关系。最基本的方法就是直接键入数值。还有通过两次定位转换

21、出所需量的技术。,4.4.2 交互技术,3定向技术 为坐标系中图形确定某个方向。4选择技术 主要指命令和选项的选择。有四种方式：鼠标移动光标选取选项；键入选项命令全称或助记符形式执行命令；按动功能热键执行热键驱动的命令程序；语音控制选择选项。5.拾取技术 图形、字符等的拾取。6文本技术 主要是确定字符串的内容和长度。7橡皮筋技术 针对变形类图形要求，动态、连续地表现变形过程。8拖动技术 将形体在空间的移动过程动态、连续地表示出来。9草图技术 又称徒手画技术。,4.4.3 交互设计原则,1一致性与规格化设计2反馈信息3防错和改错功能4提示和帮助信息5用户记忆量最小,4.3 图形变换,对于一个绘图

22、系统来说，不仅能用图形基本元素的集合构成复杂的二维静态图形而且可以通过三维的几何体来定义零件的空间模型，还可以令该模型围绕任一指定的轴旋转，以利于从某一最有利的角度去观察它，对它进行修改。软件的这些功能是基于图形变换的原理实现的。图形变换是计算机绘图的基础内容之一。,1窗口 用户可以在输入的图形上选定一个观察区域。这个观察区域被称为窗口(window)。2视区 在显示窗口内图形时，可能占用整个屏幕，也可能设想屏上有一个方框，要显示的图形只出现在这个方框内。那么，在图形输出设备上用来复制窗口内容的矩形区域被称为视区(View port)。视区也可以嵌套，还可以在同一物理设备上定义多个视区，分别作

23、不同的应用或分别显示不同角度、不同对象的图形。,4.3.1 窗、视变换,窗、视变换,3.窗、视变换 只有当定义的视区大小与窗口大小相同，而且设备坐标的度量单位与用户坐标的度量单位也相同时，二者的关系才是1：1的对应关系，而在绝大多数情况下，窗口与视口无论是单位还是大小都不相同。为了把选定的窗口内容在希望的视区上表现出来，即将窗口内某一点(XR，YR)画在视区的指定位置时，必须进行坐标变换。,要将窗口内的图形正确无误地从整体图形中出来，需应用图形的“裁剪”技术。即对落在窗口边框上的图形进行剪裁，仅保留窗口部分，从下图可以看出，不同位置的线段被窗口边界分成一段或几段，但其中只有一段落在窗口内，裁剪

24、算法就是要找出落在窗口内线段的起点和终点坐标。,图形裁剪,4.3 图形变换,4.3.2 二维图形的几何变换 1基本原理 在二维平面中，任何一个图形都可以认为是点之间的连线构成的，对一个图形作变换，实际上就是对一系列点进行变换。(1)点的表示 在二维平面内，一个点通常用它的两个坐标(x,y)来表示，写成矩阵形式则为：或 表示点的矩阵通常被称为点的位置向量。以下将采用行向量来表示一个点。如有三角形的三个顶点坐标a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，用矩阵表示则记为：,二维图形的几何变换,(2)变换矩阵 若A、B和M都是矩阵，且AMB，这种一个矩阵A对另一个矩阵M施行乘法运算而得出一

25、个新矩阵B的方法，可被用来完成一个点或一组点的几何变换。这里的M被称为变换矩阵。(3)点的变换 将点的坐标(x,y)与变换矩阵M相乘，变换后点的坐标记作(x,y)则：可见，新点的位置取决于变量A、B、C、D的值。,二维图形的几何变换,2变换类型(1)比例变换 当B=C=0；A、D0时，即 时，产生比例变换。,二维图形的几何变换,二维图形的几何变换,(2)对称变换（反射变换、镜像变换）当B=C=0；A、D不全为正时，产生对称变换。,二维图形的几何变换,(3)错切变换 当A=D=1时，B、C不全为0时，产生错切变换。,二维图形的几何变换,(4)旋转变换 绕原点(0，0)旋转角度的变换可用下图表示。

26、,A(x,y),A(x,y),(0,0),(1),(2),(3),二维图形的几何变换,用矩阵形式表示：,其中，为绕原点旋转的角度，逆时针为正。,二维图形的几何变换,(5)平移变换 由于22阶变换矩阵不能实现平移，而平移变换又是计算机绘图中非常需要的一种变换，为此，引入齐次坐标的概念。齐次坐标就是将一个n维分向量用n十1维的分向量来表示。如把二维平面一个点P的直角坐标表示成齐次坐标时，则为：其中，h及W是不为零的一个全比例因子。由于采用齐次坐标表示点，相应的变换矩阵M也要变为33阶矩阵：,二维图形的几何变换,当A=D=S=1，B=C=P=Q=0，M、N不全为0时，即：产生平移变换。其中，M为X方

27、向平移因子；N为Y方向平移因子。,二维图形的几何变换,3复合变换 不难发现，上述介绍的诸种变换类型的变换矩阵都是有一定条件的，如旋转、比例、错切、平移等都是相对于原点的变换矩阵，对称则是相对于某个特定的轴或原点的对称变换矩阵。而实际图形变换常常是相对于任意点或线变换。解决这个问题的思路是这样的：先将任意点移向坐标原点(任意线则移向与X或Y轴重合的位置)，再用前述变换矩阵加以变换，最后反向移回任意点(任意线移回原位)。可见，这是经过平移、某种变换、再平移的多次变换过程，而不仅仅是一种独立的变换，故而称为复合变换。,二维图形的几何变换,(1)图形相对于任意点作旋转变换 用三种变换复合而成1)将旋转

28、中心移到原点(平移)；2)按要求的角度方向旋转(旋转)；3)将旋转后的图形平移到原来的旋转中心(平移)。设相对于 点作旋转变换，则上述过程由以下三个矩阵相乘来实现：T称为复合变换矩阵。,二维图形的几何变换,(2)图形相对于任意点作比例变换 同理，用三种变换复合而成 1)将比例中心移到原点(平移)；2)按要求进行缩放(比例)；3)将缩放后的图形平移回原来的比例中心(平移)。设相对于 点作比例变换，则上述过程由以下三个矩阵相乘来实现：T为复合变换矩阵。,4.3.3 三维图形的几何变换,对三维空间的点如（x,y,z）,可用齐次坐标表示为(x,y,z,1)，或(X,Y,Z,H)，因此，三维空间里的点的

29、变换可写为：其中，M是一 44阶变换矩阵，即：其中,左上角部分产生比例、对称、错切和旋转变换；左下角部分产生平移变换；右上角部分产生透视变换；右下角部分产生全比例变换。,三维比例变换,1三维比例变换 变换矩阵为：A，E，J分别控制X、Y、Z方向的比例变换：若A=EJl，S1则元素S可使整个图形按同一比例放大或缩小。即：若S1，则整个图形变换后缩小；若S1，则整个图形变换后放大,三维比例变换,图为对一三棱锥分别施行局部比例变换(X方向放大、l倍；Y方向缩小1倍；Z方向比例不变)和全比例放大1倍变换。,三维对称变换,2三维对称变换标准的三维空间对称变换是相对于坐标平面进行的。(1)对XOY平面的对

30、称变换,三维对称变换,(2)对YOZ平面的对称变换(3)对XOZ平面的对称变换,三维对称几何变换,四棱锥S-ABCD对XOZ平面对称变换的结果：,Z,三维错切变换,3.三维错切变换 指图形沿X、Y、Z三个方向的错切变换。可见，主对角线各元素均为1，第4行和第4列其它元素均为0。,三维平移变换,4三维平移变换与二维平移变换类似，三维平移变换矩阵为：其中，L，M，N分别为X，Y，Z方向的平移量。,三维旋转变换,5三维旋转变换 三维旋转变换应按不同轴线旋转分别处理。同样地，旋转角逆时针时为正，顺时针为负。注意，变换顺序不同，最后结果也不同。对于三维变换来说，同样要注意矩阵乘法不满足交换律的问题。1)

31、Z轴旋转的变换矩阵,三维旋转变换,2)X轴旋转的变换矩阵3)Y轴旋转的变换矩阵,三面投影变换,6.三面投影变换 机械设计通常都是采用国家标准规定的三视图来表达零件的形状。将空间三维实体通过矩阵变换而获得三视图(即主视图、俯视图和左视图)的绘图信息，这种变换称之为三面投影变换(或正投影变换)。,主视图变换矩阵,(1)主视图变换矩阵 取XOY平面上的投影为主视图，只须将立体的全部Z坐标变为零，变换矩阵为：则x y z 1x y 0 1,俯视图变换矩阵,(2)俯视图变换矩阵 取XOZ平面上的投影并展开与XOY平面为同一平面。为使俯视图与主视图间保持一定距离，还应使其下移一个d值。因此，俯视图的变换矩

32、阵实际上是一投影，绕X轴按左手系旋转90度、沿Y向平移的复合变换矩阵。x y z 1x-(z+d)0 1,透视变换,7透视变换 透视投影从一个视点透过一个平面(画面)观察物体，其视线(投影线)是从视点(观察点)出发视线是不平行的。视线与画面相交得到的图形就是透视图。任何一束不平行于投影平面的平行线的透视投影将汇聚成一点，称之为灭点。透视投影按照主灭点的个数分为一点透视、二点透视和三点透视。a）单位立方体 b）一点透视 c）二点透视,透视变换,当44阶变换矩阵最后一列不为零时，在进行正常化之后，即可产生透视的效果。,作业,已知三角形各顶点坐标为(10,10)、(10,30)，(30,15)，对其分别进行下列变换：(1)沿X正向平移20，沿Y负向平移15，再绕原点逆时针旋转90。(2)对三角形进行比例变换，沿X轴方向缩小一半，沿Y轴方向放大一倍。(3)先以X轴为对称轴，再以Y=X为对称轴作对称变换。分别写出变换矩阵，并给出变换过程。,题2,题1,复习思考题,1.常见的计算机绘图方法有哪些？2.根据图形软件的功能和使用情况，可以将图形软件分为哪几个类型？3.常用的交互技术有哪些？4.图形软件的数据交换标准。5.掌握二维图形变换的方法，包括变换矩阵及计算过程。,