曲线和曲面.ppt

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1、第 4 章 曲线和曲面,4.1 曲线和曲面的基础知识 4.2 常用参数曲线 4.3 常用参数曲面 习题,4.1 曲线和曲面的基础知识,4.1.1 曲线及其参数表示 1.参数曲线的分类 曲线分为规则曲线和拟合曲线(不规则曲线)两大类。所谓规则曲线就是具有确定描述函数的曲线,如直线、圆锥曲线等。,2.参数曲线的定义 如图4.1所示,对于三维空间上连续的单值参数曲线可定义为,它是三维空间上的一个有界点集,t=0和t=1分别为参数曲线的两个端点参数。,图 4.1 参数曲线及其几何量,3.参数曲线的几何量 以下的几何量示意图参见图4.1。1)位置矢量 对于三维参数曲线,曲线上任一点的位置矢量(即其坐标)

2、,可用矢量P(t)表示 P(t)=x(t)y(t)z(t),2)切矢量 对于三维参数曲线,曲线上任一点的切矢量可用矢量P(t)表示,P(t)=x(t)y(t)z(t)。其大小反映了曲线关于参数t在该点处的变化速度,其方向趋于该点的切线方向。对于一般参数t,若|dP/dt|0,则有,对于弧长参数s,通常称矢量T为单位切矢量。,3)曲率 设以弧长s为参数,则参数曲线上任一点的曲率定义为k=|dT/ds|。因此,即,称=1/k为曲率半径。,4)法矢量 上述讨论中T是单位切矢量,dT/ds是一个与T垂直的矢量。将与dT/ds平行的单位矢量记作N。对于空间的参数曲线,所有垂直于切矢量T的矢量都是法矢量。

3、因此,曲线上某一点处就有一束法线,它们在一个平面上,我们称此平面为曲线在该点处的法平面,而把平行于矢量N的法线叫作曲线在该点的主法线,N称为单位主法线矢量。,矢量积B=TN,是一个与T和N垂直的矢量。把平行于矢量B的法线叫做曲线的副法线,B称为单位副法线矢量。T、N和B是三个互相垂直的单位矢量,构成了曲线在该点处的直角坐标系,它在曲线给定点上决定了三个基本方向。通过曲线上这个给定点,把由矢量T和N张成的平面称为密切平面,把由矢量N和B张成的平面称为法平面,把由矢量B和T张成的平面称为化直平面。,5)挠率 仍设以弧长s为参数,则参数曲线上任一点的挠率定义为=|dB/ds|,它反映了曲线在该点处扭

4、出其密切平面的速率。对于平面曲线,密切平面就是曲线所在的平面,其副法矢量是固定不变的,有dB/ds=0,因此,确定曲线为平面曲线的充要条件是,曲线上任意点处的挠率等于零。对于非平面曲线,矢量B不再是常数,它说明了曲线在该点处的扭挠性质。,4.参数曲线的代数形式和几何形式在以下的讨论中,以三次参数曲线为例。三次参数曲线的代数形式是,x(t)=a3xt3+a2xt2+a1xt+a0 xy(t)=a3yt3+a2yt2+a1yt+a0yz(t)=a3zt3+a2zt2+a1zt+a0z,t0,1,其矢量表示式为 P(t)=a3t3+a2t2+a1t+a0 t0,1(4-1)其中,a3、a2、a1、a

5、0是其代数系数矢量,它们惟一地确定了一条曲线的形状和位置。因而,只要a3、a2、a1、a0确定,该三次参数曲线也就惟一地确定了。,为了确定a3、a2、a1、a0,我们可以选择端点矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率等几何量作为条件。假设已知两个端点矢量分别为P(0)和P(1),端点切矢量分别为P(0)和P(1),下面我们来确定a3、a2、a1、a0。由式(4-1)得 P(t)=3a3t2+2a2t+a1(4-2),将上述的已知条件代入(4-1)式和(4-2)式得,P(0)=a0P(1)=a3+a2+a1+a0P(0)=a1P(1)=3a3+2a2+a1,由上述方程组可求得 a0=P(0)a1=P(

6、0)a2=-3P(0)+3P(1)-2P(0)-P(1)a3=2P(0)-2P(1)+P(0)+P(1),令P0=P(0),P1=P(1),P0=P(0),P1=P(1),将a3、a2、a1、a0代入式(4-1)得 P(t)=(2t3-3t2+1)P0+(-2t3+3t2)P1+(t3-2t2+t)P0+(t3-t2)P1 t0,1(4-3)令F1=2t3-3t2+1,F2=-2t3+3t2,F3=t3-2t2+t,F4=t3-t2,则式(4-3)可写为 P(t)=F1P0+F2P1+F3P0+F4P1(4-4),由于F=F1 F2 F3 F4可以写成,则P=FB可表示为P=TMB，并且A=M

7、B,B=M-1A。,5.重新参数化 如图4.2所示,设曲线的原参数为t,其两个端点参数分别为ti和tj,几何系数矩阵为B1=Pi Pj Pi PjT,曲线的新参数为w,其两个端点参数分别为wi和wj,几何系数矩阵为B2=Ri Rj Ri RjT。由于端点位置矢量不变,因而有Ri=Pi,Rj=Pj。为了保证曲线切矢量的方向不变,且参数化的方程仍为三次,则w和t必存在线性关系,令w=at+b,于是有,图 4.2 曲线重新参数化,由此求得,因为,所以重新参数化后的曲线与原来曲线的几何系数之间的关系是,6.参数曲线的截断、分割、拼接 1)参数曲线的截断 如图4.3所示,一条参数曲线在ti和tj处被截断

8、,仅取从ti到tj的一段作为新的曲线。它相当于对该曲线重新参数化,使得ti对应于w0,tj对应于w1。由于w1-w0=1,因而截断后的参数曲线的几何系数矩阵B=R0 R1 R0 R1T，其中,R0=Pi,R1=PjR0=-(ti-tj)PiR1=-(ti-tj)Pj,图4.3 参数曲线的截断,2)参数曲线的分割 当一条参数曲线被分割成具有任意长度的n条新的参数曲线时,如果其中第i段曲线的边界条件和参数由Pi,Pi,ti给出,则第i段曲线重新参数化后的几何系数矩阵为,若一条参数曲线被等分成n段曲线,即参数变量的间隔是相等的,则第i段曲线的几何系数矩阵为,3)参数曲线的拼接 参数曲线的拼接是指把几

9、条参数曲线段连接在一起,形成一条新的参数曲线,如果已知两条参数曲线的几何系数为B1和B2,将B1,B2拼接成一条新的参数曲线,其几何系数为B3,令,由于B3的端点必须与B1和B2重合,因而有P3(0)=P1(0),P3(1)=P2(1)。再者,B3在端点的切矢量和B1、B2相同,即有,所以B3的几何系数矩阵是,其中,a、b0,通过a,b的变化来改变B3曲线的内部形状。,曲线在拼接时,为了达到整条光滑要求,在连接点处应满足拼接条件,我们称之为曲线段间的几何连续性,它常有如下几种:(1)位置连续,用G0表示。(2)斜率连续,用G1表示。(3)曲率连续,用G2表示。,7.有理参数曲线 有理参数曲线是

10、基于齐次坐标(参见5.1.1节)的参数曲线。在齐次坐标空间定义的参数曲线可写成 P(t)=X(t)Y(t)Z(t)W(t)T 该齐次坐标空间的点映射到三维空间,则有,由此可知,对于任何无理参数曲线均可通过增加W(t),使之变为有理参数曲线。例如,在齐次坐标空间中Hermite曲线的代数式为,xw=a3xt3+a2xt2+a1xt+a0 xyw=a3yt3+a2yt2+a1yt+a0yzw=a3zt3+a2zt2+a1zt+a0zw=a3wt3+a2wt2+a1wt+a0w,将其映射到三维空间,有,总的来说,采用有理多项式曲线有下列优点:(1)增加了控制曲线形状的自由度。(2)有理参数多项式具有

11、几何和透视投影变换不变性。(3)用有理参数多项式可精确地表示圆锥曲线、二次曲面,进而统一几何造型算法。,8.构造曲线的方法 插值、逼近是构造拟合曲线的重要方法。1)插值 所谓插值是指给定函数f(x)在区间a,b中互异的n个点(xi,f(xi)(i=1,2,n),要求构造一个函数(x)去逼近f(x),且要求(xi)=f(xi)(i=1,2,n)。(x)称为插值函数,(xi,f(xi)(i=1,2,n)称为插值节点或型值点。,线性插值就是给定函数f(x)的两个不同的点(x1,y1)和(x2,y2),构造一个线性插值函数(x)=ax+b近似代替函数f(x)。根据插值的定义可以确定系数a和b,因而可得

12、线性插值函数为,抛物线插值是指给定函数f(x)的三个互异点(x1,y1)、(x2,y2)和(x3,y3),构造一个抛物线插值函数(x)=ax2+bx2+c。同样,根据插值的定义可以确定系数a、b和c,则抛物线插值函数为,2)逼近 插值方法构造的插值函数的次数与插值点的个数有关,当插值点太多时,构造插值函数是相当困难的,并且,过多的插值点也会带来一定的误差。而逼近方法构造的多项式函数与型值点的个数无关。逼近的方法很多,最常用的有最小二乘法。,4.1.2 曲面及其参数表示 1.曲面的分类 曲面也分为规则曲面和拟合曲面(不规则曲面)两大类。规则曲面就是具有确定描述函数的曲面,如圆柱、圆锥、圆球等回转

13、曲面、螺旋面等。由离散特征点构造函数来描述的曲面称为拟合曲面,也称自由曲面。如Coons曲面、Bzier曲面、B样条曲面等。,2.参数曲面的定义 和曲线一样,尽管曲面也有显式、隐式和参数表示,但是在计算机图形学上,参数曲面更便于用计算机表示和构造。如图4.4所示,一张矩形域上的由曲线边界包围具有一定连续性的、单值的曲面片的参数方程为,其中，u,w为参数。,图 4.4 参数曲面片及其几何量,3.描述参数曲面的几何量 以下的几何量示意图参见图4.4。1)位置矢量 曲面片上任一点的位置矢量可表示为 P(u,w)=x(u,w)y(u,w)z(u,w)。设曲面片上某一点的参数分别为ui和wj,则该点可表

14、示为P(ui,wj),简记为Pij。,2)角点 一张矩形域上的曲面片的四个角点分别是P(0,0)、P(0,1)、P(1,0)、P(1,1),分别简记为P00、P01、P10、P11。3)边界线 一张矩形域曲面片的四条边界线分别是P(u,0)、P(u,1)、P(0,w)、P(1,w),分别简记为Pu0、Pu1、P0w、P1w。4)切矢量 在曲面片上一点Pij处的u向切矢为Puij,w向切矢为Pwij。,5)法矢量 在曲面片上一Pij处的法矢量为N(ui,wj),简记为Nij。6)扭矢量 在曲面片上一点Pij处的扭矢量为Puwij。,4.参数曲面的代数形式和几何形式 在以下的讨论中,以双三次参数曲

15、面片为例。双三次参数曲面片是由两个三次参数变量u、w定义的曲面片,其边界线为三次参数曲线。其代数形式是,可用矩阵表示为P=UAWT,其中,图 4.5 由边界参数定义的双三次参数曲面,5.参数曲面的重新参数化 如图4.6所示,图4.6(a)所示曲面片的参数区间是从ui变到uj和从wk变到w l,其几何系 数矩阵是B1,图4.6(b)所示曲面片的参数区间是从ti变到tj和从vk变到vl,其几何系数矩阵是B2。,图 4.6 参数曲面的重新参数化,由于这两张曲面片的位置不变,因此角点位置应重合,即Qik=Pik,Qil=Pil,Qjk=Pjk,Qjl=Pjl。若要保证重新参数化后的曲面片的参数方程仍是

16、双三次方程,则要求u和t,w和v之间应是线性关系,即有,6.参数曲面的分割 如图4.7所示,设给一张参数曲面片,其几何系数矩阵为B1,若在其上分割出一张子曲面片,其几何系数矩阵为矩阵B2,它的边界是由ui、uj及wk、wl定义的参数曲线。子曲面片的四个角点:Q00=Pik,Q10=Pjk,Q01=Pil,Q11=Pjl。令t1-t0=1,v1-v0=1,则子曲面片的四个角点的切矢和扭矢分别为,图4.7 参数曲面的分割,7.曲面片间的连续性 构造曲面时,人们常常用若干张曲面片拼合成一张曲面。为了达到整张曲面光顺的要求,在连接点处应满足下面的连续性要求。(1)位置连续,用G0表示。即两曲面片在连接

17、处的边界应一致。(2)斜率连续,用G1表示。即两曲面片在连接处的切平面方向应保持一致。8.曲面的光顺 曲面通常用两簇相交的网格线来表示,只要空间网格线光顺就认为曲面是光顺的。,4.2 常用参数曲线,4.2.1 Bzier曲线 Bzier曲线是法国雷诺汽车公司的工程师Pierre Bzier于1962年提出的,它将函数逼近同几何表示结合起来,目的在于使设计师在计算机上能得心应手地绘图。Bzier曲线在各种CAD系统中有广泛的应用。,假设给出n+1个控制点的位置矢量Pi(i=0,1,2,n),则n次Bzier多项式函数为(4-5),由控制点Pi(i=0,1,2,n)中相邻两点的连线构成的折线集称为

18、Bzier特征多边形。Bzier曲线的形状逼近于特征多边形的形状,起点和终点与多边形的起点、终点重合，且多边形的第一条边和最后一条边表示了曲线在起点和终点处的切矢量方向。Bi,n(t)是Bernstein基函数,也是Bzier曲线的调和函数。Bzier曲线的性质由它的调和函数所决定。,如图4.8所示的是一条三次Bzier曲线。,图 4.8 三次Bzier曲线,1.Bernstein调和函数的性质1)正性,并且,2)权性,事实上,3)对称性 Bi,n(t)=Bn-i,n(1-t)i=0,1,2,n事实上 Bn-i,n(1-t)=Cn-in1-(1-t)n-(n-i)(1-t)n-i=Cinti(

19、1-t)n-i=Bi,n(t),4)递推性 Bi,n(t)=(1-t)Bi,n-1(t)+tBi-1,n-1(t)i=0,1,n事实上 Bi,n(t)=Cinti(1-t)n-i=(Cin-1+Ci-1n-1)ti(1-t)n-i=(1-t)Cin-1ti(1-t)(n-1)-i+tCi-1n-1(1-t)(n-1)-(i-1)ti-1=(1-t)Bi,n-1(t)+tBi-1,n-1(t),5)导函数 Bi,n(t)=nBi-1,n-1(t)-Bi,n-1(t)i=0,1,2,n事实上 Bi,n(t)=nCi-1n-1(1-t)n-iti-1-nCin-1(1-t)n-i-1ti=nBi-1

20、,n-1(t)-Bi,n-1(t),2.Bzier曲线的性质1)端点性质(1)端点位置矢量。Bzier曲线的两个端点分别为C(0)、C(1)。,根据Bernstein调和函数正性可知:C(0)=P0,同样可得:C(1)=Pn。,(2)切矢量。因为,所以,(3)曲率。因为,所以,C(0)=n(n-1)(P2-2P1+P0)C(1)=n(n-1)(Pn-2Pn-1+Pn-2),图 4.9 Bzier曲线的对称性,2)对称性 如图4.9所示,若保持原Bzier曲线的全部控制点Pi位置不变,把其次序颠倒得到新的特征多边形的顶点,即P*i=Pn-i,(i=0,1,n);则新Bzier曲线形状不变,只是走

21、向相反。,3)凸包性 由于 且0Bi,n(t)1,0t1,i=0,1,n;这表明,对某个确定的t值,C(t)是特征多边形各顶点Pi的加权平均,权因子依次是Bi,n(t)。反映在几何图形上,C(t)是Pi各点的凸线性组合,并且曲线上各点均落在特征多边形的凸包围之中。,4)几何不变性 0t1，参变量u是t的置换这表明Bzier曲线的位置与形状不依赖坐标系的选择。,5)变差缩减性 Bzier曲线的特征多边形P0P1Pn所在的平面内任意直线与曲线的交点个数不多于该直线和其特征多边形的交点个数。这表明Bzier曲线比特征多边形波动还小、更光顺。,3.Bzier曲线的矩阵表示 工程上比较常用一次、二次、三

22、次Bzier曲线,根据Bzier曲线的定义式(4-5)容易推出它们的矩阵表示。1)一次Bzier曲线 当n=1时,2)二次Bzier曲线当n=2时,矩阵表示是:,3)三次Bzier曲线当n=3时,矩阵表示是:,4.Bzier曲线的生成算法 对于n次Bzier曲线,可用de Casteljau算法生成曲线上的离散点集,再用线性插值或二次插值依次将各点连接起来,生成光滑的n次Bzier曲线。de Casteljau算法:给定空间n+1个点Pi(i=0,1,2,n)及参数t,则有,r=1,2,n;i=0,1,2,n-r;t0,1,图 4.10 Casteljau算法的递推过程,5.Bzier曲线的拼

23、接及连续性 设给定两条Bzier曲线P(t)、Q(t)的控制点列分别为Pi(i=0,1,n)和Qi(j=0,1,m),如果将P(t)的终点Pn和Q(t)的始点Q0重合,则它们在Pn、Q0处达到C0连续。要使它们达到C1连续,要求P(t)在Pn点的切矢量和Q(t)在Q0点的切矢量同方向且大小相等。在C1连续的前提下,满足在Pn、Q0处密切平面重合、副法线矢量同向且曲率相等,则它们在Pn、Q0处达到C2连续。,6.反算Bzier曲线控制点 若给定n+1个型值点Qi(i=0,1,n),要求构造一条Bzier曲线通过这些点。根据Bzier曲线的定义可知,构造一条Bzier曲线关键在于求Bzier曲线的

24、控制点 Pi(i=0,1,n)。我们可取参数t=i/n与点Qi相对应,从而求出Pi。,由这组方程可解出Pi(i=0,1,n)。,7.Bzier曲线的升阶 为了提高对曲线的灵活控制,而不改变原来曲线的形状,可以对原Bzier曲线进行升阶,也就是增加控制点。设原Bzier曲线的控制点为Pi(i=0,1,n),升阶后的Bzier曲线的控制点为Qi(i=0,1,n+1),则由Bzier曲线的定义得,对上式左乘以(t+(1-t)得,通过比较等式两边ti(1-t)n+1-i项的系数得,8.有理Bzier曲线有理Bzier曲线定义为,0t1,图 4.11 有理Bzier曲线,9.Bzier曲线的缺点 Bzi

25、er曲线的缺点有以下两点：(1)特征多边形顶点个数决定了Bzier曲线的阶次,并且当n较大时,特征多边形对曲线的控制将会减弱;(2)Bzier曲线不能作局部修改,即改变某一控制点的位置对整条曲线都有影响。,4.2.2 B样条曲线 1.B样条曲线的定义 已知n+1个控制点Pi(i=0,1,n),则k次(k+1阶)B样条曲线的表达式是,其中,Ni,k(u)是调和函数,也称之为基函数,由Schoenberg提出，其递归定义为,其它,(4-6),(tkutn+1)(4-7),定义说明:(1)由空间的n+1个控制点生成的k次B样条曲线是由L+1段B样条曲线逼近而成的,每个曲线段的形状仅由点列中的k+1个

26、顺序排列的点所控制;(2)参数u的取值范围由n+k+2个给定节点矢量值分成n+k+1个子区间;(3)节点值记为t0,t1,tn+k+1,所生成的B样条曲线仅定义在从节点值tk到节点值tn+1；(4)任一控制顶点可以影响最多k+1个曲线段的形状。,2.B样条曲线的性质1)局部性由于,因而k次B样条曲线在修改时只被相邻的k+1个顶点所控制,而与其它顶点无关。当移动一个顶点时,只对其中的一段曲线有影响,并不对整条曲线产生影响。如图4.12所示的是一条均匀B样条曲线。当移动顶点P4时只对其中一段曲线有影响。,图 4.12 B样条曲线的局部可控性,2)连续性 B样条曲线在ti(k+1in)处有L重节点的

27、连续性不低于(k-L)次。3)几何不变性 B样条曲线的形状和位置与坐标系的选择无关。4)变差缩减性 在B样条曲线的特征多边形所在平面内的任意一条直线与B样条曲线的交点个数不多于该直线和特征多边形的交点个数。,5)几何造型的灵活性 用B样条曲线可构造直线段、尖点、切线等特殊情况。,3.B样条曲线的矩阵表示对于k次B样条曲线,第i段曲线可定义为,其中,1)一次B样条曲线因为,0u1,所以,设空间有n+1个顶点Pi(i=0,1,n),则每相邻两个顶点可构造出一段一次B样条曲线,其中第i段可表示成,i=1,2,n;0u1,2)二次B样条曲线由于,0u1,因而,设空间有n+1个顶点Pi(i=0,1,n)

28、,则相邻的每三个顶点可构造出一段二次B样条曲线,如图4.13所示,其中第i段可表示成,0u1；i=1,2,n-1,图 4.13 二次B样条曲线,其端点的几何性质有以下三点:(1)端点位置矢量：Ci,2(0)=0.5(Pi-1+Pi)，Ci,2(1)=0.5(Pi+Pi+1)(2)端点一阶导数矢量：,且,(3)端点二阶导数矢量：,即曲线段的二阶矢量等于该曲线的两条边矢量Pi-1-Pi和Pi+1-Pi所成的对角线矢量。,3)三次B样条曲线由于,因而,若从空间n+1个顶点Pi(i=0,1,n)中每次取相邻的四个顶点,可构造出一段三次B样条曲线,如图4.14所示,其中第i段可表示成,u0,1;i=1,

29、2,n-2,图 4.14 三次B样条曲线,其端点的几何性质有以下三点:(1)端点位置矢量:,(2)端点切矢量:,(3)端点的二阶导矢量:,4.B样条曲线的生成算法 给定空间有n+1个控制顶点Pi(i=0,1,n),k次B样条曲线上的点可用de Boor算法求得。若utj,tj+1,kjn,则,这个递推过程可用如下的递推公式描述:,r=1,2,k i=j-k+r,j,deBoor算法的伪C语言描述如下:int Bspline-to-points(k,l,controls,t,dense,points)/*Input:k:polynomial degree of each piece of cur

30、ve l:number of active intervals controls:control points t:nodal point sequence:t0tl+2*degree+1 dense:how many points per segment Output:points:coordinates of points on curve,return:number of points are generated.*/float controls,t,points;int k,l,dense;int i,j,point-num;float u;float deboor();point-n

31、um=0;for(j=k-1;jtj)/*skip zero length intervals*/for(i=0;idense;i+),u=tj+i*(tj+1-tj)/dense;pointspoint-num+=deboor(k,controls,t,u,j)return point-num;float deboor(k,controls,t,u,j)/*Input:k:polynomial degree of each piece of curve controls:control points,t:nodal point sequence u:evaluation abscissa j

32、:us interval:tjutj+1 Output:Coordinate value*/float controls,t;float u;int k,j;int i,r;float t1,t2;float controlsa30;,for(i=j-k;i=j;i+)controlsai=controlsi;for(r=1;r=k;r+)for(i=j-k+r;i=j;i+)t1=(ti+k-r+1-u)/(ti+k-r+1-ti);t2=1.0-t1;controlsai=t1*controlsai-1+t2*controlsai;return controlsai;,5.反求B样条曲线的

33、控制点 已知型值点列Ci(i=1,2,n-1),要求一条三次B样条曲线L,该曲线通过各Ci点。现在要求曲线L的控制多边形的控制顶点Pi(i=0,1,2,n)。由曲线的端点性质可得下列线性方程组:Pi-1+4Pi+Pi+1=6Ci i=1,2,n-1 在此方程中再补充两个边界条件,即可得惟一解,例如已知曲线始、终点的切向量C1和Cn-1,则有,把它们写成矩阵式为,求出B样条特征多边形的控制顶点Pi,即可生成相应的B样条曲线。,4.2.3 其它曲线 1.四点式曲线 如图4.15所示,已知空间不同的四个点P1、P2、P3、P4,它们具有连续的t值,且满足t1t2t3t4,要求构造一条过这四个点的参数

34、曲线,这便是四点式曲线。,图4.15 四点式曲线,由Hermite曲线的几何形式的矩阵表示P=TMB得，B=M-1T-1P=KP,显然K=M-1T-1,K-1=TM,若采用等距的t值分布,即t1=0,t2=1/3，t3=2/3,t4=1,则有,令四点式曲线表示为Q(t)=TMB=TMKP,若令,则四点式曲线的几何表达式为Q(t)=TNP,其中P=P1 P2 P3 P4。令A=NP,则四点式曲线的代数表达式为Q(t)=TA。,2.有理B样条曲线与NURBS曲线 已知n+1个控制点Pi,其权因子为i(i=0,1,n),则k次(k+1阶)有理B样条曲线的表达式是,其中,Ni,k(u)是调和函数,同式

35、(4-7),其节点矢量为,若对于全部kjn,存在tj+1-tj=d(d是一个正实数),则称该有理B样条曲线为均匀有理B样条曲线,否则为非均匀有理B样条曲线。,4.3 常用参数曲面,4.3.1 Coons曲面 Coons曲面是由四条边界曲线定义的插值曲面片,曲面片通过四条边界线。常用的Coons曲面为双三次Coons曲面,它是三次参数样条曲线的拓广。双三次Coons曲面由四个角点的位置矢量、两个方向切矢以及扭矢来定义,如图4.16所示。,图 4.16 Coons曲面片,4.3.2 Bzier曲面 Bzier曲面是Bzier曲线的拓广。设Pij(i=0,1,m;j=0,1,n)为(m+1)(n+1

36、)个空间点列,则mn次Bzier曲面定义为,Bzier曲面的矩阵表达式是,当m=n=3时,上述曲面片称为双三次Bzier曲面。即,其矩阵表示为,其中,如图4.17所示,Bz阵是该曲面特征网格16个控制顶点的几何位置矩阵,其中p00,p03,p30,p33在曲面片的角点处,Bz阵四周的12个控制顶点定义了四条Bzier曲线,即为曲面片的边界曲线;Bz阵中央的四个控制点p11,p12,p21,p22与边界曲线无关,但也影响曲面的形状。,图 4.17 双三次Bzier曲面,4.3.3 B样条曲面 基于均匀B样条曲线的定义,我们定义B样条曲面。给定(m+1)(n+1)个空间点列Pij(i=0,1,m;

37、j=0,1,n),则,定义了kl次B样条曲面的特征网络。上式也可写成如下的矩阵式:,上式中有y,z分别表示在u,w参数方向上曲面片的个数。,Pkl是某一个B样条面片的控制点编号。,4.3.4 非均匀有理B样条(NURBS)曲面 1.NURBS曲面的定义 给定(m+1)(n+1)个空间点列Pij,其权因子为ij(i=0,1,m;j=0,1,n),则kl次有理B样条曲面片的表达式是:,其中,Ni,k(u)和Nj,l(w)分别是k次和l次调和函数,同式(4-7),其节点矢量S、T分别为,NURBS曲面还可以用有理基函数表示,也可以表示成齐次坐标的形式。它的有理基函数表示为,其中Ri,k;j,l(u,

38、w)是双变量有理基函数,NURBS曲面的齐次坐标表示为,其中,Dij=ijPij,ij称为控制顶点Pij的带权控制顶点或齐次坐标。,2.NURBS曲面的性质与设计 有理B样条曲面具有与非有理B样条曲面相类似的几何性质。从另一个角度看,NURBS曲线的大多数性质都可以直接推广到NURBS曲面。NURBS曲面的主要性质如下:(1)局部性,这是NURBS曲线的局部性的推广;(2)凸包性,与非有理B样条曲面同样的凸包性质;(3)仿射与透视变换下的不变性;,(4)沿u向在重复度为r重的u节点处是Ck-r参数连续的,沿v向在重复度为r的w节点处是Cl-r参数连续的;(5)NURBS曲面是非有理与有理贝齐尔

39、曲面及非有理B样条曲面的合适推广。(6)NURBS曲面不具有变差缩减性质。,由NURBS曲面的定义可知,欲给出一张曲面的NURBS表示,需要确定的定义数据包括如下内容:(1)控制顶点Pi,j(i=0,1,m;j=0,1,n);(2)相应的权因子ij(i=0,1,m;j=0,1,n);(3)u参数的次数k,w参数的次数l;(4)u向节点矢量U与w向节点矢量V(次数k与l也分别隐含于节点矢量U与V中)。,习 题,1.对于三次参数曲线,如果已知两个端点的位置矢量及二阶导数矢量,试求出相应的调和函数和系数矩阵M。2.已知一条曲线的几何系数矩阵为B=P0 P1 P0 P1T,t0,1,若将参数t重新参数

40、化为参数u,且u1,3,试求在参数u下的几何系数矩阵。,3.证明两条参数曲线r(t)=(t2-2t,t)和(t)=(t2+1,t+1)达到C1和G1连续,并求出它们达C1和G1连续的连接点。4.给定四点P1(0,0,0),P2(1,2,1),P3(2,-3,-1),P4(3,0,2),用其作为特征多边形来构造一条三次Bzier曲线,并计算曲线上参数为1/3的点。5.对于第4题中给出的控制点,分别用deBoor算法和三次B样条曲线的矩阵式来生成三次B样条曲线上的点。,6.编写程序完成下列功能。在屏幕上生成一个键控游标,用此游标可连续确定Bzier曲线的控制顶点(把游标移到在屏幕上某一位置,当用户按下回车键时,游标所在的位置为一个控制顶点的位置),直到按Esc键结束确定控制顶点的过程,随后在屏幕上生成相应的Bzier曲线。7.采用第6题的键控游标确定控制顶点,编写程序在屏幕上生成相应的三次B样条曲线。,8.结合图形变换的有关知识,编制程序在屏幕上生成双三次Bzier曲面。9.结合图形变换的有关知识,编制程序在屏幕上生成双三次B样条曲面。,