曲线与方程ppt课件.ppt

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1、9.9 曲线与方程,基础知识 自主学习,要点梳理1.曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上 的点与一个二元方程f（x，y）=0的实数解建立了 如下关系：（1）曲线上点的坐标都是.（2）以这个方程的解为坐标的点都是.那么这个方程叫做，这条曲线叫做.,这个方程的解,曲线上的点,曲线的方程,方程的曲线,2.求动点的轨迹方程的一般步骤（1）建系建立适当的坐标系.（2）设点设轨迹上的任一点P（x，y）.（3）列式列出动点P所满足的关系式.（4）代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简.（5）证明证明所求方程即为符合条件的动 点轨迹方程.,3.两曲线的交

2、点（1）由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐 标应该是两个曲线方程的，即两个曲线方 程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几 组解，两条曲线就有几个交点，方程组，两 条曲线就没有交点.（2）两条曲线有交点的 条件是它们的方程所 组成的方程组有实数解.可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数 解问题.,公共解,无解,充要,基础自测1.f（x0，y0）=0是点P（x0，y0）在曲线f（x，y）=0上的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 利用曲线与方程定义的两条件来确定其关系，f（x0，y0）=0可知点P（x0,y0）在

3、曲线f（x,y）=0上，又P（x0，y0）在曲线f（x，y）=0上时，有f（x0，y0）=0，f（x0，y0）=0是P（x0，y0）在曲线f（x，y）=0 上的充要条件.,C,2.方程x2+xy=x的曲线是（）A.一个点 B.一条直线 C.两条直线 D.一个点和一条直线 解析 方程变为x（x+y-1）=0，x=0或x+y-1=0.故方程表示直线x=0或直线x+y-1=0.,C,3.已知点A（-2，0）、B（3，0），动点P（x,y）满足=x2-6，则点P的轨迹是（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析=（-2-x，-y），=（3-x，-y），则=（-2-x）（3-x）+（-y）2=x

4、2-6，化简得y2=x,轨迹为抛物线.,D,4.已知定点P（x0，y0）不在直线l:f(x,y)=0上，则 方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示一条（）A.过点P且垂直于l的直线 B.过点P且平行于l的直线 C.不过点P但垂直于l的直线 D.不过点P但平行于l的直线 解析 P（x0，y0）不在直线l上,f（x0，y0）0.方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示的直线与l平行.又f（x0，y0）-f（x0，y0）=0.点P（x0，y0）在方程f（x，y）-f（x0，y0）=0 表示的直线上，即直线过P点.,B,5.已知两定点A（-2，0），B（1，0）,如果动点 P满足|PA|=2|P

5、B|，则点P的轨迹所围成的图形 的面积等于（）A.B.4 C.8 D.9 解析 设P（x，y），则由|PA|=2|PB|得(x+2)2+y2=4(x-1)2+y2,即（x-2）2+y2=4，故P点的轨迹是以（2，0）为 圆心，以2为半径的圆.所围成的图形的面积等于 22=4.,B,题型一 直接法求轨迹方程【例1】如图所示，过点P（2，4）作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x 轴于A，l2交y轴于B，求线段AB 中点M的轨迹方程.设M（x，y），则A、B两点坐标可 用x,y表示，再利用=0,建立等式即可.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解 设点M的坐标为（x,y）,M是线段AB的中点，A点的坐

6、标为（2x,0），B点的坐标为（0，2y）.=（2x-2，-4），=（-2，2y-4）.由已知=0，-2（2x-2）-4（2y-4）=0，即x+2y-5=0.线段AB中点M的轨迹方程为x+2y-5=0.,探究提高（1）本题中的等量关系还有kPAkPB=-1，|AB|=2|PM|.但利用kPAkPB=-1时，应分直线l1斜率存在和不存在两种情况,应用|AB|=2|PM|时，运算较繁.（2）求轨迹方程时，最后要注意它的完备性与纯粹性，多余的点要去掉，遗漏的点要补上.,知能迁移1 已知动点M到定点 A(1,0)与定直线l:x=3的距离之 和等于4,求动点M的轨迹方程.解 如图所示,设M（x,y）是轨

7、迹上任意一点,作MNl于N.则|MA|+|MN|=4，即=4-|x-3|.当3x4时，=7-x.即y2=-12(x-4)(3x4).当0 x3时，=x+1,即y2=4x(0 x3).M的轨迹方程是y2=-12(x-4)(3x4)和y2=4x(0 x3).,题型二 利用定义法求轨迹方程【例2】一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆 x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线.利用两圆的位置关系相切这一性 质得到动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再 从关系分析满足何种曲线的定义.,思维启迪,解 方法一 如图所示，设动圆圆心为M（x，y），半径为R，设已知

8、圆的圆心分别为O1、O2，将圆的方程分别配方得：（x+3）2+y2=4,(x-3)2+y2=100,当动圆与圆O1相外切时，有|O1M|=R+2.当动圆与圆O2相内切时，有|O2M|=10-R.,将两式相加，得|O1M|+|O2M|=12|O1O2|，动圆圆心M（x,y）到点O1（-3,0）和O2（3,0）的距离和是常数12，所以点M的轨迹是焦点为O1（-3,0）、O2（3,0）,长轴长等于12的椭圆.2c=6，2a=12，c=3，a=6，b2=36-9=27，圆心轨迹方程为 轨迹为椭圆.,方法二 由方法一可得方程移项再两边分别平方得：两边再平方得3x2+4y2-108=0，整理得所以,动圆圆

9、心的轨迹方程是 轨迹是椭圆.,探究提高 在利用圆锥曲线定义求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程，若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定点的轨迹，则利用圆锥曲线的定义列出等式，化简求得方程.,知能迁移2 已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:（x-3）2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程.解 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得|MC1|-|AC1|=|MA|，|MC2|-|BC2|=|MB|.因为|MA|=|MB|，所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3

10、-1=2.,这表明动点M到两定点C2，C1的距离之差是常数2.根据双曲线的定义,动点M的轨迹为双曲线的左支（点M到C2的距离大，到C1的距离小），这里a=1,c=3,则b2=8,设点M的坐标为（x,y）,其轨迹方程为(x-1).,题型三 相关点法(代入法)求轨迹方程【例3】（12分）已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的 一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.连结QP交AB于R,则R是矩形APBQ 的中心.因而可选R的坐标为中间变量，先求R 的轨迹方程,再将Q的坐标代入R的坐标中即可.,思维启迪,解 如图所示，设AB的中点为R,坐标为（x1，y1），

11、Q点坐标为（x，y），2分则在RtABP中，|AR|=|PR|，又因为R是弦AB的中点，依垂径定理有RtOAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（x+y）.又|AR|=|PR|=所以有（x1-4）2+y=36-（x+y）.即x+y-4x1-10=0.8分,4分,因为R为PQ的中点，所以x1 10分代入方程x+y-4x1-10=0，得整理得x2+y2=56.这就是Q点的轨迹方程.12分,探究提高 相关点法也叫坐标转移（代入）法，是求轨迹方程常用的方法.其题目特征是：点A的运动与点B的运动相关,且点B的运动有规律（有方程），只需将A的坐标转移到B的坐标中,整理即可得A的轨迹方程.,知能

12、迁移3 已知长为1+的线段AB的两个端点 A、B分别在x轴、y轴上滑动,P是AB上一点,且=.求点P的轨迹C的方程.解 设A（x0，0），B（0，y0），P（x，y），又=（x-x0，y），=（-x，y0-y），所以x-x0=-，y=（y0-y）得x0=，y0=（1+）y.因为|AB|=1+，即x+y=（1+）2，,化简得 点P的轨迹方程为,方法与技巧1.弦长公式:直线y=kx+b与二次曲线C交于P1（x1,y1）与P2(x2,y2)得到的弦长为,思想方法 感悟提高,2.求轨迹的方法（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量（如距离与角）的等量关系，或这些几何条件简 单明了且易于表

13、达,我们只需把这种关系转化为 x、y的等式就得到曲线的轨迹方程.（2）定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹（如直线与圆 锥曲线）的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程.,在判断轨迹符合哪一个基本轨迹时，常常用几何 性质列出动点满足的距离关系后，可判断轨迹是 否满足圆锥曲线的定义.定义法与其它求轨迹方程的思维方法不同处在于：此方法通过曲线定义直接判断出所求曲线轨迹类 型，再利用待定系数法求轨迹方程.（3）代入法（相关点法）：当所求动点M是随着另一动点P（称之为相关点）而运动.如果相关点P所满足某一曲线方程，这时 我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关 点代入曲线方程，就

14、把相关点所满足的方程转化 为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关 点法或坐标代换法.,失误与防范1.求曲线方程时有已知曲线类型与未知曲线类型，一般当已知曲线类型时一般用待定系数法求方程；当未知曲线类型时常用求轨迹方程的方法求曲线 方程.2.求曲线轨迹方程时，常常要设曲线上任意一点 的坐标为（x,y）,然后求x与y的关系.,3.在求轨迹方程五种类型中，单从思维角度应该 分为两个方面：一是用定义法,（从已知曲线类 型、或从距离关系中）能判断到曲线类型时,再 用待定系数法求曲线方程；二是,当未知曲线类 型时用其它四种方法求曲线方程.4.仔细区分五种求轨迹方法，合理确定要选择的 求轨迹方法,哪些类

15、型、哪些已知条件适合哪一 种方法，要融会贯通，不可乱用方法！,一、选择题1.（2008北京理,4）若点P到直线x=-1的距离比 它到点（2,0）的距离小1,则点P的轨迹为（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析 由题意可知,点P到直线x=-2的距离等于它 到点(2,0)的距离,根据抛物线定义知,点P的轨迹 为抛物线.,定时检测,D,2.方程（x-y）2+(xy-1)2=0的曲线是（）A.一条直线和一条双曲线 B.两条双曲线 C.两个点 D.以上答案都不对 解析（x-y）2+(xy-1)2=0,C,3.已知定点A（1，1）和直线l:x+y-2=0，那么到定 点A的距离和到定直线l距离相

16、等的点的轨迹为（）A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线 解析 由于点A在直线x+y-2=0上.因此选D.,D,4.已知点A（-2,0）、B（3,0）,动点P（x，y）满 足=x2，则点P的轨迹是（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析 由条件知，=（-2-x，-y），=（3-x，-y）.=（-2-x）（3-x）+y2=x2，整理得：x2-x-6+y2=x2，即y2=x+6，点P的轨迹为抛物线.,D,5.如图所示,一圆形纸片的圆心为 O，F是圆内一定点，M是圆周 上一动点，把纸片折叠使M与F 重合,然后抹平纸片,折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的 轨迹是（）A.椭圆 B.

17、双曲线 C.抛物线 D.圆 解析 由条件知|PM|=|PF|.|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=R|OF|.P点的轨迹是以O、F为焦点的椭圆.,A,6.有一动圆P恒过定点F(a,0)（a0）且与y轴相 交于点A、B，若ABP为正三角形，则点P的轨 迹为（）A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 解析 设P（x，y），动圆P的半径为R，由于ABP为正三角形，P到y轴的距离d=，即|x|=.而R=|PF|=|x|=整理得:(x+3a)2-3y2=12a2，即 点P的轨迹为双曲线.,D,二、填空题7.平面上有三个点A（-2，y），B，C（x，y），若 则动点C的轨迹方程是.解析 动点

18、C的轨迹方程为y2=8x.,y2=8x,，,8.ABC中，A为动点，B、C为定点，且满足条件 sinC-sin B=sin A,则动点A的轨迹方程是.解析 由正弦定理：|AB|-|AC|=|BC|，且为双曲线右支.,9.已知ABC的顶点B（0，0），C（5，0），AB 边上的中线长|CD|=3，则顶点A的轨迹方程为.解析 方法一 直接法.设A（x,y）,y0,则 化简得：（x-10）2+y2=36,由于A、B、C三点 构成三角形，所以A不能落在x轴上，即y0.,方法二 定义法.如图所示，设A（x,y）,D为AB的中点，过A作AECD交x轴于E，|CD|=3，|AE|=6，则E（10，0）A到E

19、的距离为常数6，A的轨迹为以E为圆心，6为半径的圆，即(x-10)2+y2=36,又A、B、C不共线，故A点纵坐标y0,故A点轨迹方程为（x-10）2+y2=36(y0).答案(x-10)2+y2=36(y0),三、解答题10.A、B分别是直线y=x和y=-x上的动点.O是 坐标原点，且|OA|OB|=a2+b2（a，b为常数 值，b0）.求线段AB的中点P的轨迹方程.解 设P、A、B三点的坐标分别为（x，y）、（x1，y1）、（x2，y2）.,又|OA|OB|=且|OA|OB|=a2+b2，|x1x2|=a2.将代入得y=(x1-x2),即 2-2得x2-即x2-=a2.所求轨迹方程为=1.

20、,11.已知抛物线y2=2x,O为顶点，A、B为抛物线上 两动点，且满足OAOB，如果OMAB，垂足 为M，求M点的轨迹.解 方法一 设直线OA的方程为y=kx,则直线OB的方程为y=-x.由 得k2x2=2x,则x=0或x=A点坐标为,将A点坐标中的k换为-，可得B点坐标（2k2,-2k），则直线AB的方程为y+2k=(x-2k2),即y=(x-2).又直线OM的方程为y=整理得(x-1)2+y2=1(x0)所求轨迹为以（1，0）为圆心，半径为1的圆（去掉原点）.方法二 由方法一知，直线AB过N（2，0）点，因此OMN为直角三角形，点M在以ON为直径的圆上运动，点M的轨迹方程为（x-1）2+

21、y2=1(x0).,12.如图所示，已知点C的坐标是（2，2），过点 C的直线CA与x 轴交于点A,过点C且与直线CA 垂直的直线CB与y轴交于点B.设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程.解 方法一（参数法）设M的坐标为（x,y）.若直线CA与x轴垂直,则可得到M的坐标为(1,1).若直线CA不与x轴垂直,设直线CA的斜率为k,则 直线CB的斜率为-,故直线CA方程为y=k(x-2)+2,令y=0得x=2-,则A点坐标为 CB的方程为y=-(x-2)+2,令x=0,得y=2+，则B点坐标为,由中点坐标公式得M点 的坐标为,消去参数k得到x+y-2=0(x1),点M（1，1）在直线x+y-2=0上，综上所述，所求轨迹方程为x+y-2=0.方法二（直接法）设M（x，y），依题意A点坐标为（2x,0）,B点坐标为（0，2y）.|MA|=|MC|，化简得x+y-2=0.方法三（定义法）依题意|MA|=|MC|=|MO|,即:|MC|=|MO|,所以动点M是线段OC的中垂线，故由点斜式方程得到：x+y-2=0.,返回,