理论力学第五章.ppt

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1、第五章：刚体力学,5.1 刚体的运动,刚体、刚体运动及自由度,任何物体都可以看成是质点组，如果其中任何两个质点之间的距离始终保持不变，这样的物体（质点组）称作刚体,对于大多数固态物体来说，如果在运动过程中，其大小和形变很小，即使受到拉伸或挤压，变形也很小，则都可以近似为刚体,刚体的平动,在刚体中任意选定一条直线，如果刚体运动时此直线始终保持平行，则这种运动称为刚体的平动,刚体平动时，刚体上各点的运动情况相同，具有相同的速度和加速度，因此刚体上任何一个质点的运动都可以代表刚体的运动，故刚体平动的自由度为3（等价于质点运动，3个坐标描述质心位置）,平动既可以是直线运动，也可以是曲线运动,刚体的定轴

2、转动,刚体绕一固定轴线转动，称为刚体的定轴转动，刚体在运动过程中如果有两点固定不动，那么刚体的运动必然是定轴转动，两固定点的连线就是转动轴（转轴上的点都是固定不动的，其他的点则围绕转轴做圆周运动）,刚体做定轴转动时，刚体中的点（除转轴上的点外）绕转轴做圆周运动，此时描述刚体的运动只需要一个坐标变量，故刚体绕定轴转动的自由度为1（描述刚体的转动）,刚体的平面平行运动,若刚体内任意一点都平行于一固定平面而运动，则此刚体做平面平行运动，刚体中垂直于固定平面的直线上各点，其运动状态完全相同，任何一个与固定平面平行的刚体截面，其运动都可用来恰当地代表刚体的运动,刚体做平面平行运动时，刚体中不在同一直线上

3、的任意三点到平面的距离相等，存在三个约束条件，故刚体平面平行运动的自由度为3,刚体的定点转动,若刚体上只有一个点固定不动，整个刚体围绕此点转动，则此刚体做定点转动,刚体定点转动时，由于固定点的3个坐标已经固定，只剩下三个可以独立变化的坐标变量，刚体定点转动的故自由度为3,刚体的一般运动,刚体的一般运动自由度为6，刚体的一般运动总是可以分解成刚体平动和刚体转动的合成,Earth motion?,刚体内任意点的速度和加速度,在刚体内取任意点P,它的位置矢量是r,如果再在刚体上取一点A作为基点，则P点的位矢可以表达为：,对此式求时间的导数，得P点速度为：,为基点 A 的速度,矢量 是刚体上A、P两点

4、间的相对位矢，对于刚体而言，其长度大小不变，但其绕基点A以角速度 作转动，则其随时间的变化率有：,于是，刚体内任意点的速度为：,上式表明刚体内任意点的速度等于随基点的平动速度和绕基点的转动速度的合成,基点A的加速度,沿瞬时转轴方向，其量值和方向均是时间t的函数,P点相对于基点A的位置矢量,刚体运动学的基础方程：,平动,定轴转动,取基点A位于转轴，则,平面平行运动,定点运动，则以定点为基点，并取作坐标原点，则与定轴转动类似,瞬时转动中心(瞬心),刚体做转动运动的时候，任一瞬间，刚体上各点具有不同的速度和加速度，但总能在刚体上或与刚体刚性联系的地方找到一点，其速度为零，则此点称为刚体的瞬时转动中心

5、（简称为瞬心）,5.2 刚体的动量、角动量和动能,（一）刚体的动量,刚体是众多质点组的集合，则定义刚体的动量为：,即刚体的动量表示为刚体随质心一起整体运动的动量,（二）刚体的角动量和惯量张量,质点组对一固定点的角动量为,刚体绕固定点以角速度转动时，刚体上任意点的速度为,代入上面的式子，得角动量为,将上述两式代入角动量的表达式可得,对于一固定坐标系有,其分量表达式为：,引入记号,则角动量表达式可以写为,采用矩阵表示，则角动量可以写为,矩阵的每个分量均构成一个二阶张量，称为刚体的惯量张量，矩阵称为惯量矩阵,惯量矩阵的对角元素,对应于刚体对x轴，y轴，z轴的转动惯量,非对角元素称为惯量积,惯量张量与

6、质量的联系与区别,物体的质量 m 反映物体平动时的惯性，物体的惯量张量 J 反映物体转动时的惯量特征，物体的质量与惯量张量均为物体本身的内在特性，与物体做什么类型的运动无关,物体的惯量张量 J与刚体中相对于定点的质量分布有关，选定基点以后，刚体围绕此基点的转动惯量张量随之确定，因而惯量张量是刚体对某一固定点转动惯性的量度,刚体绕 l 轴转动的角动量(选l 轴作为坐标 z 轴),转动惯量 I,刚体定点转动时的惯性是以张量 J 来度量，刚体绕轴转动时的惯性则以转动惯量 I 来度量，前者是张量，后者是标量,r 代表 距离转轴的垂直距离,常见几何体的转动惯量,在刚体中各质点与质心之间的距离恒定不变，则

7、刚体相对于质心的运动只可能是围绕质点的转动，由此柯尼希定理变为：,刚体的动能=刚体随质心运动的平动动能+刚体绕质心转动的转动动能,（三）刚体的动能,刚体绕O点转动的动能,刚体平动时的动能,刚体做定轴转动：设转轴为z轴，则,其中,刚体平面平行运动,通过质心的转轴的转动动量,5.3 刚体的动力学方程,刚体运动的动量定理,动量定理：,质心定理：,冲量定理：,刚体运动的角动量定理,对某一固定点的角动量定理：,对质心的角动量定理：,刚体运动的动能定理,刚体内任意两点间无相对位移，内力不做功，外力对刚体所做的功等于刚体动能的变化,三个定理所对应的守恒,动量守恒定律：刚体不受外力作用，或外力相互抵消时，刚体

8、的总动量守恒。在某一方向力的分量为零，则在该方向的动量分量守恒。,角动量守恒定律：刚体不受外力矩作用，或外力矩相互抵消时，刚体的总角动量动量守恒。在某一方向力矩的分量为零，则在该方向的角动量分量守恒。,机械能守恒定律：作用于刚体的外力为保守力时，刚体的总机械能守恒。刚体只发生动能和势能的相互转换。,5.4 刚体的定轴转动,刚体定轴转动的自由度为1,设刚体绕转轴（z轴）转动的角度变量为，则角速度为：,刚体定轴转动的基本方程质心定理：,角动量定理：,角动量方程的 z 分量方程为,例题：一个质量m,长度L的细棒，绕着O点在竖直平面内转动。棒的一端固定着质量为M的质点。求：棒从水平位置静止下落到最低点

9、时候的角速度。,5.5 刚体的平面平行运动,刚体的平面平行运动自由度为3,刚体的平面平行运动可以看成为两种运动的合成，即随刚体（或与之刚性联结）的基点的平动，和绕通过基点并与运动平面垂直的轴的转动！（通常取质心作为基点）,三个坐标参量：,质心的运动由质心定理确定；转动则由转轴方向的角动量定理求解！,设质心的运动平面为 xy 平面，过质心的转轴沿 z 方向，则由质心定理可得,或,在质心坐标系中，刚体对过质心的轴做定轴转动的角动量为,则对质心轴的角动量定理的方程为：,记,则,为刚体对过质心的转轴的转动惯量为刚体转动时的角加速度为诸外力对质心的力矩之和的z分量,刚体的内力不做功，当作用在刚体上的外力是保守力时，刚体的总机械能守恒,讲解例题5.8,例题：质量m，半径R的匀质实心圆柱体在倾角为 的斜面上作纯滚动。其所受到的摩擦力大小为多少？圆柱体从静止开始沿斜面滚下，其质心下降的垂直距离为h时，这时质心的速度为多大？,例题：质量为M，半径为r的均质圆柱体放在粗糙水平面上，柱的外端绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一个质量m的物体。圆柱体做纯滚动，并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的。求绳子的张力T。,作业题,课后习题第五章 10，17，21,