平面向量全章1.ppt
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1、,平面向量一,已知两个力F1和F2同时作用在一个物体上,其中F1=40N,方向向东,F2=30N,方向向北,求它们的合力.,什么是向量?向量和数量有何不同?,向量:即有大小又有方向的量,(数量:只有大小,没有方向的量),在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中,哪些是数量?哪些是向量?,数量有:质量、身高、面积、体积,向量有:重力、速度、加速度,2.向量如何表示?,几何表示向量常用有向线段表示:有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向。,注:以A为起点,B为终点的有向线段记为 线段AB的长度记作(读为模);,也可以表示:,大小记作:,练习:1.温度有零上和零下之分
2、,温度是向量吗?为什么?,我们所说的向量,与起点无关,用有向线段表示向量时,起点可以取任意位置。所以数学中的向量也叫自由向量.,如图:他们都表示同一个向量。,不是,温度只有大小,没有方向。,不是,方向不同,说明1:,有向线段与向量的区别:,有向线段:有固定起点、大小、方向,向量:可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向。,说明2:,思考:,1、若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合吗?2、向量与是共线向量,则A、B、C、D四点必在一直线上吗?3、平行于同一个向量的两个向量平行吗?、若四边形ABCD是平行四边形,则有吗?,3.什么是零向量和单位向量?,零向量:长度为0的向量,记为;单位向量:
3、长度为1的向量.,注:零向量,单位向量都是只限制大小,不确定方向的.,4.什么是平行向量?,方向相同或相反的非零向量叫平行向量.,注:,1.若是两个平行向量,则记为,2.我们规定,零向量与任一向量平行,即对任意向量,,都有,三、向量之间的关系:,练习.判断下列各组向量是否平行?,向量的平行与线段的平行有什么区别?,B,例1.试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用 向量表示A地至B、C两地的位移,并求出A地至B、C两地的实际距离(精确到1km).,1:8000000,5.什么是相等向量和共线向量?,长度相等且方向相同的向量叫相等向量,注:1.若向量 相等,则记为;2.任意两个相等的非零向
4、量,都可用同一条有向线段来 表示,并且与有向线段的起点无关。,平行向量也叫共线向量,注:任一组平行向量都可以平移到同一直线上.,O,A,B,C,B,相等,B,5.如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中与 相等的向量。,O,A,B,C,D,E,F,6.如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中与 相等的向量。,O,7:如图,EF是ABC的中位线,AD是BC 边是的中 线,在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线 段表示的向量中请分别写出(1)与向量CD共线的向量有_个,分别是_;(2)与向量DF的模一定相等的向量有_个,分别是_;(3)与向量DE相等的向量有_个,分别是_
5、。,A,B,C,D,E,F,7,5,2,8:如图,D、E、F分别是ABC各边上的中点,四边形BCMF是平行四边形,请分别写出:(1)与ED共线的向量;(2)与ED相等的向量;(3)与FE相等的向量。,课本 P8687,嘉祥一中高一、一科数学组,向量加法、减法运算及其几何意义,知识回顾,1.向量与数量有何区别?,2.怎样来表示向量向量?,3.什么叫相等向量向量?,数量只有大小没有方向,如:长度,质量,面积等,向量既有大小又有方向,如位移,速度,力等,1)用有向线段来表示,线段的长度表示线段的大小,箭头所指方向表示向量的方向。,2)用字母来表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示.,长度相
6、等,方向相同的向量相等.,(正因为如此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向量可以在不改变它的大小和方向的前提下,移到任何位置.),上海,香港,台北,引入1:,向量加法的三角形法则:,C,A,B,首尾连首尾相接,尝试练习一:,A,B,C,D,E,(1)根据图示填空:,例1.如图,已知向量,求作向量。,则,三角形法则,作法1:在平面内任取一点O,,作,,例题讲解:,思考1:如图,当在数轴上两个向量共线时,加法的三角形法 则是否还适用?如何作出两个向量的和?,(1),(2),B,C,B,C,当向量 不共线时,和向量的长度 与向量 的长度和 之间的大小关系如何?,三角形的两边之和大于第三边
7、,综合以上探究我们可得结论:,图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下,沿MC方向伸长了EO;图2表示橡皮条在一个力F的作用下,沿相同方向伸长了相同长度EO。从力学的观点分析,力F与F1、F2之间的关系如何?,F=F1+F2,引入2:,起点相同,向量加法的平行四边形法则:,起点相同,向量加法的平行四边形法则:,文字表述为:以同一起点的两个向量为邻边作平行四边形,则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是和向量。,例1.如图,已知向量,求作向量。,例题讲解:,作法2:在平面内任取一点O,,作,,以 为邻边作 OACB,,连结OC,则,平行四边形法则,尝试练习二:,(3)已知向量,用向量加法的三角形
8、法则和平行四边形法则作出,例2.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮船进行运输,如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h.(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度;(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度的夹 角来表示)。,A,D,B,C,例2.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮船进行运输,如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h.(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度;(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速
9、度的夹 角来表示)。,答:船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60。,A,D,B,C,(1)你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗?,(2)两个实数的减法运算可以看成加法运算吗?,思考:,如设,实数 的相反数记作。,向量的减法运算及其几何意义,回顾:,一、相反向量:,规定:,(1),(3)设 互为相反向量,那么,2.2.2 向量的减法运算及其几何意义,记作:,的相反向量仍是。,二、向量的减法:,(2),设,D,E,又,所以,你能利用我们学过的向量的加法法则作出 吗?,不借助向量的加法法则你能直接作出 吗?,三、几何意义:,可以表示为从向量 的终点指向向量 的终点的向量,(1)如
10、果从 的终点指向 终点作向量,所得向量是什么呢?,(2)当,共线时,怎样作 呢?,A,B,O,A,B,O,一般地,B,A,O,(三角形法则),练习:,三、几何意义,一般地,B,A,O,可以表示为从向量 的终点指向向量 的终点的向量,练习:,已知向量,求作向量,。,例3,O,B,A,C,D,作法:,在平面内任取一点O,,则,作,注意:,起点相同,连接终点,指向被减向量的终点。,练习:,已知向量,求作向量。,(1),(2),(3),(4),例4,在 ABCD 中,,你能用 表示 吗?,D,B,A,C,变式二 本例中,当 满足什么条件时,,巩固练习:,1、在 中,则,2、如图,用 表示下列向量:,D
11、,B,A,C,E,B,A,C,小结,1.向量加法的三角形法则,(要点:两向量起点重合组成平行四边形两邻边),2.向量加法的平行四边形法则,(要点:两向量首尾连接),3.向量加法满足交换律及结合律,向量的减法,一、定义(利用向量的加法定义)。,二、几何意义(起点相同,由减向量的终点 指向被减向量的终点)。,复习,(1)两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同.(2)(3)若非零向量 共线,则(4)四边形ABCD是平行四边形,则必有=(5)向量 平行,则 的方向相同或相反,判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.,(6)共线的向量,若起点不同,则终点一定不同。,1、位移,F为F1与F2的合力
12、,它们之间有什么关系,2、力的合成,F1+F2=F,向量的加法,作法(1)在平面内任取一点O,A,B,这种作法叫做向量加法的三角形法则,还有没有其他的做法?,向量加法的三角形法则,位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型,C,作法(1)在平面内任取一点O,还有没有其他的做法?,向量加法的平行四边形法则,这种作法叫做向量加法的平行四边形法则,力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型,已知向量a,b,分别用向量加法的三角形法则与向量加法的四边形法则作出a+b,规定:,判断 的大小,1、不共线,o,A,B,2、共线,(1)同向,(2)反向,判断 的大小,结论,数的加法满足交换律与结合
13、律,即对任意a,bR,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)任意向量a,b的加法是否也满足交换律与结合律?,是否成立?,根据图示填空:(1)a+d=_(2)c+b=_,根据图示填空:(1)a+b=_(2)c+d=_(3)a+b+d=_(4)c+d+e=_,c,f,f,g,例2 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h.(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字),解:(1),C,(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示
14、,精确到度).,在RtABC中,船实际航行速度大小约为5.4km/h,方向与水的流速间的夹角为70,小结,1.向量加法的三角形法则,(要点:两向量首尾连接),2.向量加法的平行四边形法则,(要点:两向量起点重合组成平行四边形两邻边),3.向量加法满足交换律及结合律,学习目标:,1、向量的加法运算,及其几何意义,2、向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量 的和向量,A,B,C,1、位移,2、力的合成,一、引入,二、向量的加法,求两个向量和的运算,叫做向量的加法.,1、向量加法的三角形法则,作法(1)在平面内任取一点O,o,A,B,还有没有其他的做法?,首尾相接,首尾连,2、向量加法的平行
15、四边形法则,o,A,B,C,作法(1)在平面内任取一点O,起点相同,连对角,规定:,o,A,B,数的加法满足交换律与结合律,即对任意a,bR,有a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+a)任意向量 的加法是否也满足交换律与结合律?,结论,练习:,方法与技巧:,5化简下列各式:,D,小结,1.向量加法的三角形法则,(要点:两向量起点相同,连对角),2.向量加法的平行四边形法则,(要点:两向量首尾连接),3.向量加法满足交换律及结合律,1、下列说法正确的是()A、数量可以比较大小,向量也可以比较大小.B、方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小.C、向量的大小与方向有关.D、向量的模可以比
16、较大小.D,D,C,C,练习:2,3、判断下列命题是否正确,若不正确,说明理由,3、相反向量就是方向相反的量,4、若,则A、B、C三点是一个三角形的定点,(),(),(),(),(),6、两个向量是互为相反向量,则两个向量共线,(),例3:化简,练习,1化简:,练习,O,O,2.2.3 向量数乘运算及其几何意义,1.向量加法三角形法则,特点:首尾相接,特点:共起点,特点:共起点,连终点,方向指向被减向量,2.向量加法平行四边形法则,3.向量减法三角形法则,复习回顾:,实际背景,思考:已知非零向量,作出 和,你能说明它们的几何意义吗?,B,A,C,O,N,M,Q,P,一般地,我们规定实数与向量
17、的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,,(1),(2)当 时,的方向与 的方向相同;当 时,的方向与 的方向相反。,特别的,当 时,,一.向量数乘的定义,它的长度和方向规定如下:,=,探究,设 为实数,那么,特别的,我们有,向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,以及任意实数,恒有,2、实数与向量积的运算律,结合律,分配律,分配律,例1.计算:,解:,二.例题讲解,练习:,思考:,向量共线定理(重点),A,B,C,解:,解:,练习:,A,D,C,B,A,课堂小结:,练习:,C,A,B,4.已知四边形ABCD中,E、F分别是AD和BC的中点,求证:,名师一号P 79,练
18、习:,A,P91 A组 9 11,作业:,思考题:,例1计算:,(1),(2),(3),注:向量与实数之间可以象多项式一 样进行运算.,例:已知向量,试判断,,,,,是否共线。,A,B,C,D,E,与 共线,解:,练习强化,如图,在任意四边形ABCD中,E为AD的中点,F为BC的中点,则,2.3.1平面向量基本定理,2.3.2平面向量正交分解及坐标表示,一般地,实数 与向量 的积是一个向量,记作:,(1)(2)当 时,的方向与 的方向相同;当 时,的方向与 的方向相同;(3)当 时,或 时,复习提问,一、数乘的定义:,它的长度和方向规定如下:,二、数乘的运算律:,1.定理:向量 与非零向量 共
19、线的充要条件是有且只有一个实数,使得.,三、向量共线的充要条件:,2).证明 三点共线:,直线AB直线CD,利用向量共线定理,能方便地证明几何中的三点共线和两直线平行问题.但要注意的是:向量平行和直线平行在重合概念上有区别.一般说两直线平行不包含两直线重合,而两向量平行则含两向量重合.,2.定理的应用:,1).证明 向量共线,3).证明 两直线平行:,AB与CD不在同一直线上,研究,N,M,平面向量基本定理,a=+,(1)一组平面向量的基底有多少对?,(有无数对),思考,E,F,思考,(2)若基底选取不同,则表示同一 向量的实数、是否相同?,(可以不同,也可以相同),(1)不共线的向量 叫做这
20、一平面内所有向量 的一组基底;,平面向量基本定理:,(4)基底给定时,分解形式唯一.,(2)基底不唯一;,如果 是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,使,(3)任一向量 都可以沿两个不共线的方向(的 方向)分解成两个向量()和的形式;,说明:,已知向量 求做向量-2.5+3,例1:,O,A,B,C,例2:凸四边形ABCD的边AD,BC的中点分别为E,F,用 表示,例3.如图,不共线,用 表示,O,P,B,A,变式:不共线,点P在O、A、B所在的平面内,且 求证:A、B、P三点共线,例4、如图,已知梯形ABCD,AB/CD,且AB=2DC,M,N分别是DC,
21、AB的中点.,请大家动手,在图中确定一组基底,将其他向量用这组基底表示出来。,解析:,评析,能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量能够用基底来表示,再利用有关知识解决问题。,向量的夹角,两个非零向量 和,作,,与 反向,则 叫做向量 和 的夹角,记作,与 垂直,,注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的,与 同向,向量的正交分解,在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便,平面向量的坐标表示,平面内的任一向量,有且只有一对实数x,y,使 成立,则称(x,y)是向量 的坐标,如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴正方向同向的两个单位向量 作基底.,记作
22、:,(1)与 相等的向量的坐标均为(x,y),注意:,(4)如图以原点O为起点作,点A的位置 被 唯一确定.,平面向量的坐标表示,(x,y),A,此时点A的坐标即为 的坐标,(5)区别点的坐标和向量坐标,相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同,(1)与 相等的向量的坐标均为(x,y),注意:,(3)两个向量 相等的充要条件:,(6),例1如图,用基底,分别表示向量 并求它们的坐标,解:由图可知,同理,,平面向量的坐标表示,A1,A,A2,小结回顾,一、对 平面向量基本定理 的理解:e1,e2是平面向量内两个不共线的固定向量,则任意向量a可以在这两个向量的方向上进行分解。当|e1|=
23、|e2|=1且e1与e2垂直时,就可以建立直角坐标系,这为下一节学习向量的坐标表示奠定了基础。,二、两类问题:1.用一组基底表示任一向量 2.由一组基底的线性组合求作向量,作业:习题5.3 P110-6,7,O,问题1:,问:能否作出向量 使 成立?这样的 有几个?,问题2:,问:能否找出实数对1与2 使 成立?而这样的1与2有多少对?,平面向量基本定理:,有且只有一对实数、使,向量,那么对于这一平面内的任一向量,如果、是同一平面内的两个不共线,这一平面内所有向量的一组基底。,我们把不共线的向量、叫做表示,(4)基底 给定时,分解形式唯一.,平面向量基本定理:,探究:,(1)我们把不共线向量、
24、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;,(2)基底不唯一,关键是不共线;,(3)由定理可将任一向量 在给出基底、的条件下进行分解;,是由、唯一确定的数量,平面向量基本定理,探究:,(5)一组平面向量的基底有多少对?,(有无数对),(6)若基底选取不同,则表示同一向量的实数、是否相同?,(可以不同,也可以相同),=,=0,(8)特别的,若 与 共线,则有,,使得:,例1.已知向量e1,e2,求作向量-2.5e1+3e2,作法:1、任取一点O,作,B,C,3、就是求作的向量,例2 如图,、不共线,用、,表示.,O,A,B,P,解:,例3 ABCD中,E、F分别是DC和AB的中点,试判断AE,CF是
25、否平行?,解:,取基底,则有,共线,又无公共点,我们学过功的概念,即一个物体在力F的作用下产生位移s(如图),思考:,平面向量的正交分解,把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫作把向量正交分解,探索1:,以O为起点,P 为终点的向量能否用坐标表示?如何表示?,向量的坐标表示,在平面直角坐标系内,起点不在坐标原点O的向量如何用坐标来表示?,探索2:,A,o,x,y,可通过向量的平移,将向量的起点移到坐标的原点O处.,解决方案:,O,x,y,A,平面向量的坐标表示,这里,我们把(x,y)叫做向量的(直角)坐标,记作,其中,x叫做 在x轴上的坐标,y叫做 在y轴上的坐标,式叫做向量的坐标表示。,如图
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