2013金融数学第五讲期权定价：二叉树方法.ppt

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1、,期权定价：二叉树方法,浙江大学数学系李胜宏（）,一个简单的二叉树模型,股票的现价为$20三个月之后股票的价格或为$22 或为$18,Stock Price=$22,Stock Price=$18,Stock price=$20,Stock Price=$22Option Price=$1,Stock Price=$18Option Price=$0,Stock price=$20Option Price=?,一份看涨期权,一份基于该股票的三个月到期的看涨期权，其执行价格为$21.,一个简单的二叉树模型,股票的现价为$20三个月之后股票的价格或为$22 或为$18,Stock Price=$2

2、2,Stock Price=$18,Stock price=$20,考虑一个资产组合:持有 D 份股票 成为一份看涨期权的空头当 22D 1=18D or D=0.25，资产组合是无风险的,构造无风险资产组合,资产组合的估值(无风险利率为 12%),无风险组合为:持有 0.25份股票成为一份看涨期权的空头三个月后组合的价值为 220.25 1=4.50组合在时刻0的价值为 4.5e 0.120.25=4.3670,期权的估值,资产组合为 持有 0.25份股票 成为一份看涨期权的空头 组合在时刻0的价值为4.3670股票的价值是 5.000(=0.2520)从而，期权的价格为 0.633(=5.

3、000 4.367),推广到一般情形,一个依赖于股票的衍生证券，到期时间为 T,推广到一般情形(continued),考虑一个组合：持有D份股票，成为一份衍生证券的空头当 D满足下面的条件时，组合为无风险：SuD u=Sd D d or,SuD u,SdD d,推广到一般情形(continued),组合在时刻 T的价值为 Su D u组合在时刻0的价值为(Su D u)erT组合在时刻0 的价值又可以表达为 S D f从而=S D(Su D u)erT,推广到一般情形(continued),于是，我们得到=p u+(1 p)d erT其中,Risk-Neutral Valuation,=p u

4、+(1 p)d e-rT变量 p和(1 p)可以解释为股票价格上升和下降的风险中性概率衍生证券的价值就是它的到期时刻的期望收益的现值,p,(1 p),最初例子的修正,由于 p 是风险中性概率，所以 20e0.12 0.25=22p+18(1 p);p=0.6523或者，我们可以利用公式,Su=22 u=1,Sd=18 d=0,S,p,(1 p),期权的估值,期权的价值为 e0.120.25 0.65231+0.34770=0.633,两步二叉树模型,每步长为3个月,欧式看涨期权的估值,在节点 B的价值=e0.120.25(0.65233.2+0.34770)=2.0257在节点 A的价值=e0

5、.120.25(0.65232.0257+0.34770)=1.2823,201.2823,22,18,24.23.2,19.80.0,16.20.0,2.0257,0.0,A,B,C,D,E,F,一个看跌期权的例子：X52,美式期权该如何估值？,1 二叉树期权定价模型1.1 二叉树模型的基本方法 熟悉1.2 基本二叉树方法的扩展 熟悉1.3 构造树图的其他方法和思路 了解1.4 二叉树定价模型的深入理解 熟悉2 蒙特卡罗模拟2.1 蒙特卡罗模拟的基本过程 熟悉2.2 蒙特卡罗模拟的技术实现 熟悉2.3 减少方差的技巧 了解2.4 蒙特卡罗模拟的理解和应用 了解3 有限差分方法3.1 隐性有限

6、差分法 熟悉3.2 显性有限差分法 熟悉3.3 有限差分方法的比较分析和改进 了解3.4 有限差分方法的应用 了解,5.6 二叉树定价模型,1、从开始的 上升到原先的 倍，即到达；,2、下降到原先的 倍，即。,图5.1 时间内资产价格的变动,把期权的有效期分为很多很小的时间间隔，并假设在每一个时间间隔 内证券价格只有两种运动的可能：,其中.如图5.1所示。价格上升的概率假设为，下降的概率假设为。,相应地，期权价值也会有所不同，分别为 和。,1.二叉树期权定价模型,二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动,1.二叉树期权定价模型,二叉树模型可分为以下几种方法：（一）

7、单步二叉树模型 1.无套利定价法 2.风险中性定价法 3.风险中性定价法（二）证券价格的树型结构 4.证券价格的树型结构（三）倒推定价法 5.倒推定价法二叉树方法的一般定价过程以无收益证券的美式看跌期权为例 6.一般定价过程,1.1二叉树模型的基本方法,构造投资组合包括 份股票多头和1份看涨期权空头当 则组合为无风险组合,此时,因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得,将 代入上式就可得到：,其中,1.1二叉树模型的基本方法,无套利定价法：,在风险中性世界里：（1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；（2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下,参数值满足条件：,假设

8、证券价格遵循几何布朗运动，则：,再设定：（第三个条件的设定则可以有所不同，这是Cox、Ross和Rubinstein所用的条件）,由以上三式可得，当 很小时：,从而,以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。,1.1二叉树模型的基本方法,一般而言，在 时刻，证券价格有 种可能，它们可用符号表示为：,其中,注意：由于，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。,1.1二叉树模型的基本方法,得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。如果是欧式期权，可通过将 时刻的期权价值的预期值在 时间长度内以无风险利率 贴现求出

9、每一结点上的期权价值；如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有 时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。,1.1二叉树模型的基本方法,假设把一期权有效期划分成N个长度为 的小区间，同时用 表示结点 处的证券价格可得：其中假定期权不被提前执行，后，则：（表示在时间 时第j个结点处的欧式看跌期权的价值）若有提前执行的可能性，则：,1.1二叉树模型的基本方法,1.2基本二叉树方法的扩展,支付连续红利率资产的期权定价,当标的资产支付连续收益率为 的红利时，在风险中性条件下，证券价格的增长率应该为，因此：,1.2基本二叉树方法的扩展,对

10、于股价指数期权来说，为股票组合的红利收益率；对于外汇期来说，为国外无风险利率，因此以上式子可用于股价指数和外汇的美式期权定价。,支付已知红利率资产的期权定价（支付已知收益资产的期权定价）可通过调整在各个结点上的证券价格，算出期权价格；如果时刻 在除权日之前，则结点处证券价格仍为：,如果时刻 在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：,若在期权有效期内有多个已知红利率，则 时刻结点的相应的证券价格为：,（为0时刻到 时刻之间所有除权日的总红利支付率）,1.2基本二叉树方法的扩展,将证券价格分为两个部分：一部分是不确定的；另一部分是期权有效期内所有未来红利的现值。,假设在期权有效期内只有一次红利，

11、除息日在到之间，则在时刻不确定部分的价值为：,当 时,当 时（表示红利）,在 时刻：当 时，这个树上每个结点对应的证券价格为：,当 时，这个树上每个结点对应的证券价格为：,（为零时刻的 值）,1.2基本二叉树方法的扩展,已知红利额,利率是时间依赖的情形 假设，即在时刻 的结点上，其应用的利率等于 到 时间内的远期利率，则：,这一假设并不会改变二叉树图的几何形状，改变的是上升和下降的概率，所以我们仍然可以象以前一样构造出二叉树图,1.2基本二叉树方法的扩展,的二叉树图,在确定参数、和 时，不再假设，而令，可得：,该方法优点在于无论 和 如何变化，概率总是不变的,1.3构造树图的其他方法和思路,三

12、叉树图 每一个时间间隔 内证券价格有三种运动的可能：1、从开始的 上升到原先的 倍，即到达；2、保持不变，仍为；3、下降到原先的 倍，即,1.3构造树图的其他方法和思路,一些相关参数：,1.3构造树图的其他方法和思路,控制方差技术 基本原理：期权A和期权B的性质相似，我们可以得到期权B的解析定价公式，而只能得到期权A的数值方法解。假设：（代表期权B的真实价值，表示关于期权A的较优估计值，和 表示用同一个二叉树、相同的蒙特卡罗模拟或是同样的有限差分过程得到的估计值）则期权A 的更优估计值为：,1.3构造树图的其他方法和思路,在使用三叉树图为美式期权定价时，当资产价格接近执行价格时和接近到期时，用

13、高密度的树图来取代原先低密度的树图。即在树图中那些提前执行可能性较大的部分，将一个时间步长 进一步细分，如分为，每个小步长仍然采用相同的三叉树定价过程,1.3构造树图的其他方法和思路,适应性网状模型,通过构建一个与目前市场上的期权价格信息相一致的资产价格树图，从而得到市场对标的资产价格未来概率分布的看法。其具体方法是在二叉树图中，通过前一时刻每个结点的期权价格向前推出（注意不是倒推）下一时刻每个结点的资产价格和相应概率 隐含树图的主要作用在于从交易活跃的常规期权中得到的关于波动率微笑和期限结构的信息，来为奇异期权定价,1.3构造树图的其他方法和思路,隐含树图,二叉树图模型的基本出发点：假设资产

14、价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动可能遵循的路径。模型中隐含导出的概率是风险中性世界中的概率，从而为期权定价,取当前时刻为，在给定参数、和 的条件下，当 时，二叉树公式：,可以在 进行泰勒展开，最终可以化简为：,在 时，二叉树模型收敛于布莱克斯科尔偏微分方程。,1.4二叉树定价模型的深入理解,Monte Carlo:Based On Probability&Chance,基本思路：由于大部分期权价值实际上都可以归结为期权到期回报(payoff)的期望值的贴现；因此，尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径，计算每种路径结果下的期权回报

15、均值，之后贴现就可以得到期权价值。,2.1 蒙特卡洛模拟的基本过程,随机路径：在风险中性世界中，为了模拟的路径，我们把期权的有效期分为N个长度为时间段，则上式的近似方程为,或,（是从标准正态分布中抽取的一个随机样本）,重复以上的模拟至足够大的次数，计算回报值的平均值，折现后就得到了期权的期望值,2.2 蒙特卡洛模拟的技术实现,单个变量和多个变量的蒙特卡罗模拟：1、当回报仅仅取决于到期时 的最终价值时 可直接用一个大步（）（假设初始时刻为零时刻）来多次模拟最终的资产价格，得到期权价值：,2、当回报依赖于多个市场变量时每次模拟运算中对每个变量的路径都必须进行抽样，从样本路径进行的每次模拟运算可以得

16、出期权的终值。的离散过程可以写为：,（期权依赖于 个变量，为 的波动率，为 在风险中性世界中的期望增长率，为 和 之间的瞬间相关系数）,2.2 蒙特卡洛模拟的技术实现,常数利率和随机利率的蒙特卡罗模拟 利率为常数时：期权价值为（初始时刻设为0）：.其中，表示风险中性世界中的期望。利率为变量时：期权价值为（初始时刻设为0）：为有效期内瞬间无风险利率的平均值。,2.2 蒙特卡洛模拟的技术实现,随机样本的产生和模拟运算次数的确定：1.的产生 是服从标准正态分布的一个随机数。如果只有一个单变量，则可以通过下式获得：其中 是0到1的相互独立的随机数。2.模拟运算次数的确定如果对估计值要求95的置信度，则

17、期权价值应满足（是进行运算的个数，为均值，是标准差）,2.2 蒙特卡洛模拟的技术实现,（一）对偶变量技术（二）控制方差技术（三）重点抽样法（四）间隔抽样法（五）样本矩匹配法（六）准随机序列抽样法（七）树图取样法,2.3 减少方差的技术,主要优点：1.在大多数情况下，人们可以很直接地应用蒙特卡罗模拟方法，而无需对期权定价模型有深刻的理解 2.蒙特卡罗模拟的适用情形相当广泛,主要缺点：1.只能为欧式期权定价，难以处理提前执行的情形。2.为了达到一定的精确度，一般需要大量的模拟运算。,2.4蒙特卡洛模拟的理解和应用,主要思想是：应用有限差分方法将衍生证券所满足的偏微分方程,转化为一系列近似的差分方程

18、，即用离散算子逼近、和 各项，之后用迭代法求解，得到期权价值。具体地说，有限差分方法就是用有限的离散区域来替代连续的时间和资产价格在坐标图上，有限差分方法则体现为格点（Grids）,3 有限差分方法,可以理解为从格点图内部向外推知外部格点的期权价值。如图所示：,下面介绍一下、和 的差分近似,3.1 隐形有限差分方法,1.的近似对于坐标方格内部的点，期权价值对资产价格的一阶导数可以用三种差分来表示：、和2.的近似对于 点处的，我们则采取前向差分近似以使 时刻的值和 时刻的值相关联：3.的近似 点 处的 的后向差分近似为，因此点处期权价值对标的资产价格的二阶差分为这个二阶差分也是中心差分，其误差为

19、。,3.1 隐形有限差分方法,差分方程把以上三个近似代入布莱克舒尔斯偏微分方程，整理得到：其中，,3.1 隐形有限差分方法,边界条件1.时刻看跌期权的价值为 其中 2.当股票价格为零时，下方边界上所有格点的期权价值：3.当股票价格趋于无穷时,3.1 隐形有限差分方法,求解期权价值：联立 个方程：和 时，时，解出每个 的期权价值最后可以计算出，当 等于初始资产价格时，该格点对应的 就是我们要求的期权价值。,3.1 隐形有限差分方法,页面呈现显性有限差分法：其中，即直接从 时刻的三个相邻格点的期权价值求出 时刻资产价格为 时的期权价值，可理解为从格点图外部推知内部格点期权价值的方法,3.2 显形有

20、限差分方法,有限差分方法,树图方法,VS,相同点：两种方法都用离散的模型模拟资产价格的连续运动不同点：树图方法中包含了资产价格的扩散和波动率情形；有限差分方法中的格点则是固定均匀的，只是参数进行了相应的变化，以反映改变了的扩散情形。,3.3有限差分方法的比较和改进,VS,隐性有限差分方法,显性有限差分方法,显性方法计算比较直接方便，无需象隐性方法那样需要求解大量的联立方程，工作量小，易于应用。但是，显性方法存在一个缺陷：它的三个“概率”可能小于零，这导致了这种方法的不稳定，它的解有可能不收敛于偏微分方程的解。而隐性方法则不存在这个问题，它始终是有效的。变量置换：在使用有限差分方法时，人们常常把

21、标的变量 置换为。这样偏微分方程改为,3.3有限差分方法的比较和改进,有限差分方法还可以进一步推广到多个标的变量的情形；在标的变量小于三个的时候，这一方法是相当有效率的；但是超过三个变量时蒙特卡罗模拟方法就更有效了。同时有限差分方法也不善于处理期权价值取决于标的变量历史路径的情况。,3.4有限差分方法的应用,假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为50元,波动率为每年40%，无风险连续复利年利率为10%，该股票5个月期的美式看跌期权协议价格为50元，求该期权的价值。,答案：为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，每段一个月（等于0.0833年）。根据式（8.4）到（8.6），可以算出：,（

22、结点处上面一个表示股票价格，下面一个表示期权价值）,假设无红利的股票价格运动服从式（8.12），年预期收益率为14，收益波动率为每年20，时间步长为0.01年，则根据式（8.12）有 通过不断从标准正态分布样本中抽取 的值，代入上式，我们可以得到股票价格运动的一条路径,第五章,期权定价的离散模型二叉树模型,1.CRR模型,Cox,Ross,Rubinstein,风险中性概率,同S0无关,V0=erT(q U+(1 q)D),看涨期权执行价为K：假设Sd K Su,U=Su K=u S0 KD=0,C0=erT(q u S0 K q),如果 K Su?,看跌期权执行价为K：假设Sd K Su,U

23、=0D=K Su=K d S0,P0=erT(K(1 q)(1 q)d S0),因此C0 P0=S0 K erT,q u+(1 q)d=erT,2.看涨看跌期权平价公式,看涨看跌期权平价公式(call-put parity)Ct+K er(Tt)=Pt+St,证明：在t=0建立两个投资组合F1=C0+K erTF2=P0+S0,这代表什么意思？,对欧式期权都满足,在到期t=T 如果S(T)KF1(T)=S(T)K+K=S(T)F2(T)=0+S(T)=S(T)如果S(T)KF1(T)=0+K=KF2(T)=K S(T)+S(T)=K,因此F1(T)=F2(T)所以F1(t)=F2(t),如果C

24、t+K er(Tt)Pt+St怎样套利？,如果Ct+K er(Tt)Pt+St怎样套利？,3.后向推导法,股票价格二叉树模型,这里p是实际股票上升的概率,因此(q=1 p)ES1=p uS0+q dS0=(pu+qd)S0,多时期,概率,因此,一般,简化股票二叉树,p3,3p2q,3pq2,q3,概率,n期价格是ukdnk S0的概率=Cnk pkqnk,欧式看涨期权的二叉树定价,假设 S0=10 K=10.5 u=1.1 d=0.9 r=0.05,期权在t=3 年到期,10.0,11.0,13.31,10.89,8.91,7.29,8.1,9.9,12.1,9.0,u=1.1,d=0.9,股

25、票价格二叉树,t=1,t=2,t=3,在一个典型的分叉,q,1 q,我们有,风险中性概率,q=0.7564,2.81,0.39,0,0,0,2.112,0.281,1.585,0.202,1.187,期权价格二叉树,另一种计算方法,期望值 EVT=1.37914,V0=erT EVT=1.1869,r=0.05,T=3,美式看跌期权的二叉树定价,假设 S0=10 K=10 u=1.1 d=0.9 r=0.05,期权在t=3 年到期,股票数据同上例一样风险中性概率 q=0.7564,10.0,11.0,13.31,10.89,8.91,7.29,8.1,9.9,12.1,9.0,u=1.1,d=

26、0.9,股票价格二叉树,t=1,t=2,t=3,期权价格二叉树,0,0,1.09=10 8.91,2.71=10 7.29,q,1 q,在一个典型的分叉,q=0.7564,1 q=0.2436,x=e 0.05(0.75641.09+0.24362.71)=1.412,执行期权能得到的收益收益=10 8.1=1.9,期权价格二叉树,0,0,1.09,2.71,x=e 0.05(0.75640+0.24361.09)=0.253,提前执行=10 9.9=0.1,x=e 0.05(0.75640+0.24360)=0,提前执行=0,期权价格二叉树,0,0,1.09,2.71,q,1-q,0.253

27、,0,x=e 0.05(0.75640+0.24360.253)=0.059,提前执行=0,x=e 0.05(0.75640.253+0.24361.9)=0.622,提前执行=1,期权价格二叉树,0,0,1.09,2.71,回望期权的二叉树定价回望期权：到期日可以得到整个时期最高的股票价格。,假设 S0=10 u=1.2 d=0.9 r=0.05,期权在t=3 月到期,风险中性概率,q=(e0.05/12 0.9)/(1.2 0.9)=0.34725,10,12,17.28,12.96,9.72,7.29,8.1,10.8,14.4,9,uuu17.28,股票价格二叉树,10,12,17.2

28、8,12.96,9.72,7.29,8.1,10.8,14.4,9,uuu17.28,uud14.4,股票价格二叉树,10,12,17.28,12.96,9.72,7.29,8.1,10.8,14.4,9,uuu17.28,uud14.4,udu12.96,股票价格二叉树,10,12,17.28,12.96,9.72,7.29,8.1,10.8,14.4,9,uuu17.28,uud14.4,udu12.96,duu12.96,股票价格二叉树,10,12,17.28,12.96,9.72,7.29,8.1,10.8,14.4,9,uuu17.28,uud14.4,udu12.96,duu12.

29、96,udd12.0,股票价格二叉树,10,12,17.28,12.96,9.72,72.9,8.1,10.8,14.4,9,uuu17.28,uud14.4,udu12.96,duu12.96,udd12.0,dud10.8,股票价格二叉树,10,12,17.28,12.96,9.72,7.29,8.1,10.8,14.4,9,uuu17.28,uud14.4,udu12.96,duu12.96,udd12.0,dud10.8,ddu10.0,股票价格二叉树,10,12,17.28,12.96,9.72,7.29,8.1,10.8,14.4,9,uuu17.28,uud14.4,udu12.

30、96,duu12.96,udd12.0,dud10.8,ddu10.0,ddd10.0,股票价格二叉树,回望期权在t=3时的期望值EV3=11.53.,因此V0=e0.053/1211.53=11.39,这种计算有什么不足？当n很大时，需要计算2n条路径。,怎样从股票实际数据中得到二叉树的信息？,股票价格是一个随机变量。在时间段t内，股票的相对收益率(S S0)/S0,股票的漂移系数m:m t=ES/S0 1,因此1+m t=ES/S0,波动率系数s:s2 t=D(S/S0 1)=D(S/S0),因此ES/S0=pu+(1 p)dDS/S0=p(1 p)(u d)2所以1+m Dt=pu+(1

31、 p)ds2 Dt=p(1 p)(u d)2,Hull-White 算法1.从实际股票的m和s计算 u,d,p:取 p=,所以因此,2.从实际股票价格估计m和s,如果每隔时间段Dt的股票价格分别为S0,S1,Sn则Xk=Sk/Sk1,k=1,n是S/S0在时间段Dt的独立样本,因此,均值,方差,例：某股票五月的价格,如果二叉树时间段Dt=1天，那么,从现在股票价格S0=27.25就可以构建股票二叉树,因为时间段Dt=1天，所以m=0.992 1=0.008,s=0.033,如果二叉树时间段Dt=7天，则,如果二叉树时间段是两周？一个月？,CIR 算法,计算m和s:m Dt=Eln(S/S0)s2 Dt=Dln(S/S0),取上涨与下跌比例分别为,讨论问题要求制作PPT讲解 选择一段时间实际股票价格计算m和s Hull-White、CIR 选择期权的到期时间，对应的利率 选择阶段数，用二叉树计算各种期权价格欧式、美式、看涨、看跌分析结果是否合理,至少三个月,一个月、三个月、六个月？,存款、国债？,六个阶段以上,查找它们的关系,信计091：股票：工商银行，执行价：4.50元信计092:股票：中国石油，执行价：9.75元信计093：股票：中国银行，执行价：3.00元信计094：股票：中国石化，执行价：7.25元,