2013上模糊数学教学课件.ppt

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1、1,模糊数学绪论,用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：1.确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律 性靠经典数学去刻画；2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律 性靠概率统计去刻画;3.模糊现象：如“今天天气很热”，“小伙子很帅”，等等。此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。,2,年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。,共同特点：模糊概念的外延不清楚。,模糊概念导致模糊现象,模糊数学研究和揭示模糊现象的定量处理方法。,模糊数学绪论,3,产生,1965年，L.A.Zadeh（扎德

2、）发表了文章模糊集(Fuzzy Sets，Information and Control,8,338-353),基本思想,用属于程度代替属于或不属于。,某个人属于秃子的程度为0.8,另一个人属于,秃子的程度为0.3等.,模糊数学绪论,4,模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析，模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支,涉及学科,分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；,模糊产品,洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯,人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、农业、气象、信息、经济、文学、音乐,模糊数学绪论,5,模糊数学绪论,课堂主要内容,一、基本概念,二、主要应用,1.模糊聚类分析

3、对所研究的事物按一定标准进行分类,模糊集，隶属函数，模糊关系与模糊矩阵,例如，给出不同地方的土壤，根据土壤中氮磷以及有机质含量，PH值，颜色，厚薄等不同的性状，对土壤进行分类。,6,2.模糊模式识别已知某类事物的若干标准模型，给出一个具体的对象，确定把它归于哪 一类模型。,模糊数学绪论,例如：苹果分级问题苹果，有I级，II级，III级，IV级四个等级。现有一个具体的苹果，如何判断它的级别。,7,3.模糊综合评判从某一事物的多个方面进行综合评价,模糊数学绪论,例如：某班学生对于对某一教师上课进行评价从清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书清晰四方面给出很好，较好，一般，不好四层次的评价最后问该班学生

4、对该教师的综合评价究竟如何。,4.模糊线性规划将线性规划的约束条件或目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，其最优解称为原问题的模糊最优解,8,模糊数学,9,一、经典集合与特征函数,论域U中的每个对象u称为U的元素。,模糊集合及其运算,10,.u,A,A,.u,模糊集合及其运算,11,其中,模糊集合及其运算,非此即彼,12,模糊集合及其运算,亦此亦彼,U,A,模糊集合,元素 x,若 x 位于 A 的内部，则用1来记录，若 x 位于 A 的外部，则用0来记录，若 x 一部分位于 A 的内部，一部分位于 A 的外部，,则用,x 位于 A 内部的长度来表示 x 对于 A 的隶属程

5、度。,13,0,1,0,1,特征函数,隶属函数,二、模糊子集,14,模糊集合及其运算,越接近于0,表示 x 隶属于A 的程度越小；,越接近于1,表示 x 隶属于A 的程度越大；,0.5,最具有模糊性，过渡点,15,模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：,（1）Zadeh表示法,这里 表示 对模糊集A的隶属度是。,如“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为,可省略,模糊集合及其运算,16,（3）向量表示法,（2）序偶表示法,若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：,模糊集合及其运算,17,例1.有100名消费者，对5种商品 评价，,结果为：,81人认为x1 质量好，53人认为x2 质量好，

6、,所有人认为x3 质量好，没有人认为x4 质量好，24人认为x5 质量好,则模糊集A（质量好）,18,例2：考虑年龄集U=0,100，O=“年老”，O也是一个年龄集，u=20 A，40 呢？札德给出了“年老”集函数刻画:,1,0,U,50,100,19,再如，Y=“年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样，札德给出它的隶属函数：,1,0,25,50,U,B（u）,20,则模糊集O（年老）,则模糊集Y（年轻）,21,2、模糊集的运算,定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义,相等：,包含：,并：,交：,余：,模糊集合及其运算,22,例3.,模糊集合及其运算,则：,0.

7、3,0.9,1,0.8,0.6,0.2,0.1,0.8,0.3,0.5,23,模糊集合及其运算,并交余计算的性质,1.幂等律,2.交换律,3.结合律,4.吸收律,24,模糊集合及其运算,6.0-1律,7.还原律,8.对偶律,5.分配律,25,引入概率算子和有界算子：,26,引入概率算子和有界算子：,定义：设A,B F(U),则定义代数运算：,(1)A与B的代数积记作A B，运算规则由下式确定：,A B(u)=A(u)B(u)u U,27,a b=min(1,a+b),可以证明：a,b0,1,0 max(0,a+b-1)1、0 min(1,a+b)1,定义10:设A,B F(U),则定义有界运算

8、：,(2)A与B的有界和记作A B，运算规则由下式确定：,A B(u)=min(1,A(u)+B(u)u U,28,几个常用的算子：,（1）Zadeh算子,（2）取大、乘积算子,（3）环和、乘积算子,模糊集合及其运算,29,（4）有界和、取小算子,（5）有界和、乘积算子,（6）Einstain算子,模糊集合及其运算,30,三、隶属函数的确定,1、模糊统计法,模糊统计试验的四个要素：,模糊集合及其运算,31,特点：在各次试验中，是固定的，而 在随机变动。,模糊统计试验过程：,（1）做n次试验，计算出,模糊集合及其运算,32,模糊集合及其运算,对129人进行调查,让他们给出“青年人”的年龄区间，,

9、问年龄 27属于模糊集A（青年人）的隶属度。,33,对年龄27作出如下的统计处理：,A(27)=0.78,(变动的圈是否盖住不动的点),34,2、指派方法,模糊集合及其运算,一般会有一些大致的选择方向：偏大型，偏小型，中间型。,例如：在论域 中，确定A=“靠近5的数”的隶属函数,中间型,35,模糊集合及其运算,可以选取柯西分布中间类型的隶属函数,先确定一个简单的，比如,此时有,不太合理，故改变,36,模糊集合及其运算,取,此时有,有所改善。,37,常用的模糊分布,38,39,(1)偏大型(S 型)：这种类型的隶属函数随 x 的增大而增大，随所选函数的形式不同又分为：1）升半矩形分布（图3.7）

10、2）升半 分布（图3.8）3）升半正态分布（图3.9）4）升半柯西分布（图3.10）5）升半梯形分布（图3.11）6）升岭形分布（图3.12）,40,(2)偏小型(Z型)：这种类型的隶属函数随 x 的增大而减小，随所选函数的形式又可分为：1）降半矩形分布（图3.13）2）降半 分布（图3.14）3）降半正态分布（图3.15）4）降半柯西分布（图3.16）5）降半梯形分布（图3.17）6）降岭形分布（图3.18）,41,(3)中间型(型)：这种类型的隶属函数在(，a)上为偏大型，在(a，+)为偏小型，所以称为中间型，随所选函数的形式又可分为:1）矩形分布（图3.19）2）尖 分布（图3.20）3

11、）正态分布（图3.21）4）柯西分布（图3.22）5）梯形分布（图3.23）6）岭形分布（图3.24）,42,(1)偏大型（S 型）：这种类型的隶属函数随 x 的增大而增大，随所选函数的形式不同又分为：1）升半矩形分布（图3.7）,43,2）升半 分布（图3.8）,44,3）升半正态分布（图3.9）,45,4）升半柯西分布（图3.10）,46,5）升半梯形分布（图3.11）,47,6）升岭形分布（图3.12）,48,(2)偏小型(Z 型)：这种类型的隶属函数随 x 的增大而减小，又可分为：1）降半矩形分布（图3.13）,49,2）降半分布（图 3.14）,50,3）降半正态分布（图3.15）,

12、51,4）降半柯西分布（图3.16）,52,5）降半梯形分布（图3.17）,53,6）降岭形分布（图3.18）,54,(3)中间型（型）：这种类型的隶属函数在(，a)上为偏大型，在(a,+)为偏小型，所以称为中间型，又可分为:1）矩形分布（图 3.19）,55,2）尖分布（图3.20）,56,3）正态分布（图 3.21）,57,4）柯西分布（图 3.22）,返回,58,5）梯形分布（图3.23）,59,6）岭形分布（图 3.24）,60,3、其它方法,模糊集合及其运算,相对比较法：,论域U中元素v1,v2,vn，要对论域中的元素按某种特征进行排序，首先，在二元对比中建立比较等级，然后用一定的方

13、法进行总体排序，以获得各元素对于该特性的隶属函数。,61,相对比较法的具体步骤：,设论域U中的一对元素(v1,v2),在v1和v2的二元对比中,v1具有某特征的程度用gv2(v1)表示，v2具有某特征的程度用gv1(v2)表示。,且满足：0 gv2(v1)1、0 gv1(v2)1,令：,且定义g(vi/vj)=1，当i=j时。,62,以g(vi/vj)(i,j=1,2)为元素构造相及矩阵G:,推广：n个元素 的相及矩阵G:,63,对矩阵G的每一行取最小值，然后按大小排序，可得各元素对某特征的隶属函数。,例：设论域U=v1,v2,v3,v0,其中v1表示长子，v2表示次子，v3表示三子，v0表示

14、父亲。,长子和次子与父亲,次子和三子与父亲,长子和三子与父亲,长子：0.8次子：0.5,次子：0.4三子：0.7,长子：0.5次子：0.3,求与父亲相似的隶属度函数。,64,解：二元对比关系：(gv2(v1),gv1(v2)=(0.8,0.5)gv1(v1)=1,(gv3(v2),gv2(v3)=(0.4,0.7），gv2(v2)=1,(gv3(v1),gv1(v3)=(0.5,0.3），gv3(v3)=1,65,计算相及矩阵G,=,在相及矩阵中取每一行的最小值，按大小排列：13/54/7,结论：长子最象父亲(1)；三子次之(0.6)；次子最不象(0.57)。,由此确定出隶属度函数：,66,模

15、糊集合及其运算,四、模糊矩阵,例如：,67,（1）模糊矩阵间的关系及运算,定义：设 都是模糊矩阵，定义,相等：,包含：,模糊集合及其运算,并：,交：,余：,68,例4：,模糊集合及其运算,69,（2）模糊矩阵的合成,定义：设 称模糊矩阵,为A与B的合成，其中。,模糊集合及其运算,即：,定义：,设A为 阶，则模糊方阵的幂定义为,70,例5：,模糊集合及其运算,71,（3）模糊矩阵的转置,模糊集合及其运算,性质：,72,（4）模糊矩阵的 截矩阵,显然，截矩阵为Boole矩阵。,模糊集合及其运算,73,例6：,模糊集合及其运算,74,截矩阵的性质：,性质1.,性质2.,性质3.,性质4.,模糊集合及

16、其运算,75,（5）特殊的模糊矩阵,定义：若模糊方阵满足,则称A为自反矩阵。,例如,是模糊自反矩阵。,定义：若模糊方阵满足,则称A为对称矩阵。,例如,是模糊对称矩阵。,模糊集合及其运算,76,模糊集合及其运算,定义：若模糊方阵满足,则称A为模糊传递矩阵。,例如,是模糊传递矩阵。,77,模糊集合及其运算,定义：若模糊方阵Q，S，A满足,则称 S 为 A 的传递闭包，记为 t(A)。,78,79,模糊聚类分析,一、基本概念及定理,80,模糊聚类分析,定理：,R是n阶模糊等价矩阵,是等,价的Boole矩阵。,意义：将模糊等价矩阵转化为等价的Boole矩阵，可以得到有限论域上的普通等价关系，而等价关系

17、是可以分类的。因此，当在0,1上变动时，由 得到不同的分类。,81,模糊聚类分析,82,例6：设对于模糊等价矩阵,模糊聚类分析,83,模糊聚类分析,画出动态聚类图如下：,0.8,0.6,0.5,0.4,1,84,模糊聚类分析,85,例7：设有模糊相似矩阵,模糊聚类分析,86,二、模糊聚类的一般步骤,、建立数据矩阵,模糊聚类分析,87,（1）标准差标准化,模糊聚类分析,88,（2）极差正规化,（3）极差标准化,模糊聚类分析,89,、建立模糊相似矩阵（标定）,（1）相似系数法,夹角余弦法,相关系数法,模糊聚类分析,90,（2）距离法,Hamming距离,Euclid距离,Chebyshev距离,模

18、糊聚类分析,91,（3）贴近度法,最大最小法,算术平均最小法,几何平均最小法,模糊聚类分析,92,3、聚类并画出动态聚类图,（1）模糊传递闭包法,步骤：,模糊聚类分析,（2）boole矩阵法（略）,93,（3）直接聚类法,模糊聚类分析,当不同相似类出现公共元素时，将公共元素所在类合并。,将对应于 的等价分类中 所在类与 所在类合并，所有情况合并后得到相应于 的等价分类。,依次类推，直到合并到U成为一类为止。,（4）最大树法,（5）编网法,94,模糊聚类分析,95,解：,由题设知特性指标矩阵为,采用最大值规格化法将数据规格化为,模糊聚类分析,96,用最大最小法构造模糊相似矩阵得到,模糊聚类分析,

19、97,用平方法合成传递闭包,98,取，得,模糊聚类分析,99,取，得,取，得,模糊聚类分析,100,取，得,取，得,模糊聚类分析,101,画出动态聚类图如下：,模糊聚类分析,102,若利用直接聚类法,模糊相似矩阵,取1,此时 为单位矩阵，故分类自然为,x1，x2，x3，x4，x5。,取0.70,此时,103,故分类应为x1，x3，x2,x4，x5。,x2,x4为相似类,取0.63,此时,x2,x4，x1,x4为相似类，,有公共元素x4的相似类为 x1,x2,x4,故分类应为x1,x2,x4，x3，x5。,104,取0.62,此时,x2,x4,x1,x4,x1,x3为相似类，,有公共元素x4的相

20、似类为 x1,x2,x3,x4,故分类应为x1,x2,x3,x4，x5。,105,取0.53,此时,故分类应为x1,x2,x3,x4,x5。,106,模糊聚类分析的简要流程:,107,4、最佳阈值的确定,模糊聚类分析,（1）按实际需要，调整 的值，或者是专家给值。,（2）用 F-统计量确定最佳值。,针对原始矩阵 X，得到,其中，,设对应于 的分类数为 r,第 j 类的样本数为 nj,第 j 类的样本记为：,108,则第j类的聚类中心为向量：,其中，为第k个特征的平均值,作F-统计量,模糊聚类分析,109,模糊聚类分析,若是,则由数理统计理论知道类与类之间的差异显著,若满足不等式的 F 值不止一

21、个，则可进一步考察,差值 的大小，从较大者中选择一个即可。,其中,110,111,模糊模式识别,112,模式识别是科学、工程、经济、社会以至生活中经常遇到并要处理的基本问题。这一问题的数学模式就是在已知各种标准类型(数学形式化了的类型)的前提下，判断识别对象属于哪个类型？对象也要数学形式化，有时数学形式化不能做到完整，或者形式化带有模糊性质，此时识别就要运用模糊数学方法。,模糊模式识别,113,在科学分析与决策中，我们往往需要将搜集到的历史资料归纳整理，分成若干类型，以便使用管理。当我们取到一个新的样本时，把它归于哪一类呢？或者它是不是一个新的类型呢？这就是所谓的模式识别问题。在经济分析，预测

22、与决策中，在知识工程与人工智能领域中，也常常遇到这类问题。本节介绍两类模式识别的模糊方法。一类是元素对标准模糊集的识别问题 点对集；另一类是模糊集对标准模糊集的识别问题 集对集。,模糊模式识别,114,例1.苹果的分级问题 设论域 X=若干苹果。苹果被摘下来后要分级。一般按照苹果的大小、色泽、有无损伤等特征来分级。于是可以将苹果分级的标准模型库规定为=级，级，级，级，显然，模型级，级，级，级是模糊的。当果农拿到一个苹果 x0 后，到底应将它放到哪个等级的筐里，这就是一个元素（点）对标准模糊集的识别问题。,模糊模式识别,115,例2.医生给病人的诊断过程实际上是模糊模型识别过程。设论域 X=各种

23、疾病的症候(称为症候群空间)。各种疾病都有典型的症状，由长期临床积累的经验可得标准模型库=心脏病，胃溃疡，感冒，显然，这些模型(疾病)都是模糊的。病人向医生诉说症状(也是模糊的)，由医生将病人的症状与标准模型库的模型作比较后下诊断。这是一个模糊识别过程，也是一个模糊集对标准模糊集的识别问题.,模糊模式识别,116,点对集,1.问题的数学模型(1)第一类模型：设在论域 X 上有若干模糊集：A1，A2，AnF(X)，将这些模糊集视为 n 个标准模式，x0 X 是待识别的对象，问 x0 应属于哪个标准模式 Ai(i=1，2，n)?,(2)第二类模型：设 AF(X)为标准模式，x1,x2,xn X 为

24、 n 个待选择的对象，问最优录选对象是哪一个 xi(i=1，2，n)?,模糊模式识别,117,一最大隶属原则,最大隶属原则：,最大隶属原则：,模糊模式识别,118,模糊模式识别,119,例：考虑通货膨胀问题。设论域为 R+=x R|x0，它表示价格指数的集合，将通货状态分成 5 个类型（x 表示物价上涨 x%)：通货稳定轻度通货膨胀,模糊模式识别,120,中度通货膨胀重度通货膨胀恶性通货膨胀,模糊模式识别,121,当 x0=8 时，即物价上涨率为 8%，我们有：A1(8)=0.3679，A2(8)=0.8521，A3(8)=0.0529 A4(8)0，A5(8)0。此时，通货状态属于轻度通货膨

25、胀。,模糊模式识别,当 x0=40 时，即物价上涨率为40%，我们有：A1(40)0，A2(40)0，A3(40)=0.0003 A4(40)=0.1299，A5(40)=0.6412。此时，通货状态属于恶性通货膨胀。,122,一最大隶属原则,最大隶属原则：,最大隶属原则：,模糊模式识别,123,例 细胞染色体形状的模糊识别,细胞染色体形状的模糊识别就是几何图形的模糊识别,而几何图形常常化为若干个三角图形,故设论域为三角形全体.即X=(A,B,C)|A+B+C=180,ABC 标准模型库=E(正三角形),R(直角三角形),I(等腰三角形),IR(等腰直角三角形),T(任意三角形).,某人在实验

26、中观察到一染色体的几何形状，测得其三个内角分别为94,50,36,即待识别对象为x0=(94,50,36).问x0应隶属于哪一种三角形？,124,先建立标准模型库中各种三角形的隶属函数.,直角三角形的隶属函数R(A,B,C)应满足条件：(1)当A=90时,R(A,B,C)=1;(2)当A=180时,R(A,B,C)=0;(3)0R(A,B,C)1.,因此，不妨定义R(A,B,C)=1-|A-90|/90.,则R(x0)=0.955.,125,正三角形的隶属函数E(A,B,C)应满足：,(1)当A=B=C=60时,E(A,B,C)=1;(2)当A=180,B=C=0时,E(A,B,C)=0;(3

27、)0E(A,B,C)1.,因此，不妨定义E(A,B,C)=1(A C)/180.,则E(x0)=0.677.,126,等腰三角形的隶属函数I(A,B,C)应满足：,(1)当A=B 或者 B=C时,I(A,B,C)=1;(2)当A=180,B=60,C=0时,I(A,B,C)=0;(3)0I(A,B,C)1.,因此，不妨定义I(A,B,C)=1(A B)(B C)/60.,则I(x0)=0.766.,127,等腰直角三角形的隶属函数(IR)(A,B,C)=I(A,B,C)R(A,B,C);,(IR)(x0)=0.7660.955=0.766.,任意三角形的隶属函数T(A,B,C)=IcRcEc=

28、(IRE)c.,T(x0)=(0.7660.9550.677)c=(0.955)c=0.045.,通过以上计算,R(x0)=0.955最大,所以x0应隶属于直角三角形.,128,例 选择优秀考生。设考试的科目有六门x1：政治 x2：语文 x3：数学x4：理、化 x5：史、地 x6：外语考生为 y1，y2，yn，组成问题的论域 Y=y1,y2,yn。设 A=“优秀”，是 Y 上的模糊集，A(yi)是第 i 个学生隶属于优秀的程度。给定 A(yi)的计算方法如下：,模糊模式识别,129,式中 i=1,2,n 是考生的编号，j=1,2,6 是考试科目的编号，j 是第 j 个考试科目的权重系数。按照最

29、大隶属度原则，就可根据计算出的各考生隶属于“优秀”的程度（隶属度）来排序。例如若令 1=2=3=1，4=5=0.8，6=0.7,有 四个考生 y1,y2,y3,y4，其考试成绩分别如表 3.4,模糊模式识别,130,表 3.4 考生成绩表,模糊模式识别,131,则可以计算出于是这四个考生在“优秀”模糊集中的排序为：y2,y4,y1,y3.,模糊模式识别,132,阈值原则：,模糊模式识别,有时我们要识别的问题，并非是已知若干模糊集求论域中的元素最大隶属于哪个模糊集（第一类模型），也不是已知一个模糊集，对论域中的若干元素选择最佳隶属元素（第二类模型），而是已知一个模糊集，问论域中的元素，能否在某个

30、阈值的限制下隶属于该模糊集对应的概念或事物，这就是阈值原则，该原则的数学描述如下：,133,模糊模式识别,134,例 设有三个三角形的模糊集：I 表示“近似等腰三角形”，R 表示“近似直角三角形”，E 表示“近似正三角形”，它们是论域 X=(A,B,C)|A+B+C=180,A B C 0 上的模糊集，其隶属函数规定如下：,135,容易验证，当A=B 或 B=C 时，I(A,B,C)=1；I(120,60,0)=0；当 A=90 时，R(A，B，C)=1；R(180，0，0)=0；当 A=B=C 时，E(60，60，60)=1；E(180,0,0)=0。这说明以上隶属函数在边界情况下是合理的。

31、现有一三角形，其三个内角分别为 A=70，B=60，C=50，问这个三角形应该算作哪一类三角形？,136,计算按最大隶属度原则，这个三角形比较接近“近似正三角形”,137,若给定 1=0.85，则因 E(70,60,50)=0.8891，所以(70,60,50)可认为属于“近似正三角形”。若给定 2=0.8,则因 I(70,60,50)=0.8332，E(70,60,5 0)=0.889 2，所以(70,60,50)可认为既属于“近似等腰三角形”又属于“近似正三角形”。这就是说在模糊集的识别问题中，有时也不是唯一的，也存在着“亦此亦彼”的情况。,138,例如 已知“青年人”模糊集 Y，其隶属度

32、规定为对于 x1=27 岁及 x2=30 岁的人来说，若取阈值,模糊模式识别,139,1=0.7，,模糊模式识别,故认为 27 岁和 30 岁的人都属于“青年人”范畴。,则因 Y(27)=0.862 1，,而 Y(30)=0.5 1，,故认为 27 岁的人尚属于“青年人”，而 30 岁人的则不属于“青年人”。,若取阈值 2=0.5，,则因 Y(27)=0.862 2,而 Y(30)=0.5=2，,140,模糊模式识别,集对集,例如：论域为“茶叶”，标准有5种 待识别茶叶为B，反映茶叶质量的6个指标为：条索，色泽，净度，汤色，香气，滋味，确定 B 属于哪种茶,141,在实际问题中，我们常常要比较

33、两个模糊集的模糊距离或模糊贴近度，前者反映两个模糊集的差异程度，后者则表示两个模糊集相互接近的程度，这是一个事情的两个方面。如果待识别的对象不是论域 X 中的元素 x，而是模糊集 A，已知的模糊集是 A1,A2,An，那么问 A 属于哪个 Ai(i=1,2,n)？就是另一类模糊模式识别问题 集对集。解决这个问题，就必须先了解模糊集之间的距离或贴近度。,142,1.距离判别分析定义 设 A、B F(X)。称如下定义的dP(A,B)为 A 与 B 的 Minkowski(闵可夫斯基)距离(P1)：)当 X=x1,x2,xn 时，)当 X=a,b 时，,模糊模式识别,143,特别地，p=1 时，称

34、d 1(A,B)为 A 与 B 的 Hamming(海明)距离。p=2 时，称 d2(A,B)为 A 与 B 的 Euclid(欧几里德)距离。有时为了方便起见，须限制模糊集的距离在 0,1中，因此定义模糊集的相对距离 dp(A,B)，相应有(1)相对 Minkowski 距离,模糊模式识别,144,(2)相对 Hamming 距离,模糊模式识别,145,(3)相对 Euclid 距离,模糊模式识别,146,有时对于论域中的元素的隶属度的差别还要考虑到权重 W(x)0，此时就有加权的模糊集距离。一般权重函数满足下述条件：当 X=x1，x2，xn 时，有 当 X=a,b 时，有加权 Minkow

35、ski 距离定义为,模糊模式识别,147,加权 Hamming 距离定义为加权 Euclid 距离定义为,模糊模式识别,148,例 欲将在 A 地生长良好的某农作物移植到 B地或 C 地，问 B、C 两地哪里最适宜？气温、湿度、土壤是农作物生长的必要条件，因而 A、B、C 三地的情况可以表示为论域 X=x1(气温)，x2(湿度)，x3(土壤)上的模糊集，经测定，得三个模糊集为,模糊模式识别,149,由于 dw1(A,B)dw1(A,C)，说明 A，B 环境比较相似，该农作物宜于移植 B 地。,模糊模式识别,设权重系数为 W=(0.5,0.23,0.27)。计算 A 与 B 及 A 与 C 的加

36、权 Hamming 距离，得,150,2、贴近度,模糊模式识别,按上述定义可知，模糊集的内积与外积是两个实数。,AB=,定义 设 A，B F(U)，称,为 A 与 B 的内积，称,为 A 与 B 的外积。,151,比较，可以看出 AB 与 ab 十分相似，只要把经典数学中的内积运算的加“+”与乘“”换成取大“”与取小“”运算，就得到 AB。,模糊模式识别,若 X=x1,x2,xn，记 A(xi)=ai，B(xi)=bi，则,与经典数学中的向量 a=a1,a2,an 与向量 b=b1,b2,bn 的内积,152,例 设 X=x1,x2,x3,x4,x5,x6,则,A B,模糊模式识别,153,例

37、 设 A，BF(R)，A、B 均为正态型模糊集，其隶属函数如图,模糊模式识别,154,由定义知AB 应为 max(AB)，隶属度曲线CDE 部分的峰值，即曲线 A(x)与 B(x)的交点 x*处的纵坐标。为求 x*，令,解得,于是,类似地，由于,故 A B=0。,模糊模式识别,155,模糊模式识别,表示两个模糊集A，B之间的贴近程度。,或 L(A，B)=(AB)(A B)C,156,C=,C=,故B比A更贴近于.,模糊模式识别,157,模糊模式识别,158,模糊模式识别,159,二、择近原则,模糊模式识别,160,模糊模式识别,例如：论域为“茶叶”，标准有5种 待识别茶叶为B，反映茶叶质量的6

38、个指标为：条索，色泽，净度，汤色，香气，滋味，确定 B 属于哪种茶,B)，,161,模糊模式识别,计算得,故茶叶 B 为 A1 型茶叶。,162,163,模糊综合评判,一、一级模糊综合评判,164,模糊综合评判,165,模糊综合评判,166,模糊综合评判,167,模糊综合评判,168,根据运算的不同定义，可得到以下不同模型：,模糊综合评判,169,例如有单因素评判矩阵,则B(0.18,0.18,0.18,0.18),170,模糊综合评判,171,模糊综合评判,172,其中：,模糊综合评判,173,实例：某平原产粮区进行耕作制度改革，制定了甲(三种三收)乙(两茬平作),丙(两年三熟)3种方案,主

39、要评价指标有：粮食亩产量，农产品质量，每亩用工量，每亩纯收入和对生态平衡影响程度共5项，根据当地实际情况，这5个因素的权重分别为0.2,0.1,0.15,0.3,0.25,其评价等级如下表,174,经过典型调查，并应用各种参数进行谋算预测，发现3种方案的5项指标可达到下表中的数字，问究竟应该选择哪种方案。,过程：,因素集,权重,A（0.2,0.1,0.15,0.3,0.25）,评判集,175,建立单因素评判矩阵：因素与方案之间的关系可以通过建立隶属函数，用模糊关系矩阵来表示。,产量的隶属函数,176,产品质量的隶属函数,177,用工的隶属函数,纯收入的隶属函数,生态平衡的影响因素的隶属函数,1

40、78,将方案中的数据代入各隶属函数的公式中，算出相应的隶属度。,方案甲,179,得到单因素评判矩阵,由加权平均型进行综合评判,归一化得,可见，乙方案最佳，丙方案次之，甲方案最差。,180,二、多级模糊综合评判（以二级为例）,问题：对高等学校的评估可以考虑如下方面,模糊综合评判,181,二级模糊综合评判的步骤：,模糊综合评判,182,模糊综合评判,183,模糊综合评判,184,模糊综合评判,185,模糊综合评判,186,模糊综合评判,187,模糊综合评判,188,模糊综合评判,189,190,模糊线性规划,一、模糊约束条件下的极值问题,例：某人想买一件大衣，提出如下标准：式样一般，质量好，尺寸较

41、全身，价格尽量便宜，设有5件大衣Xx1,x2,x3,x4,x5供选择，经调查结果如表,问他应该购买哪一件大衣？,191,模糊线性规划,该类问题的解题过程：,2.目标函数f(x)模糊化,1.将语言真值(评价结果)转化为各模糊约束集的隶属度,3.定义模糊判决：,加权型：,对称型：,4.由最大隶属原则求出x*,则x*为模糊条件极大值点。,192,解：将式样，质量，尺寸化为三个模糊约束A1,A2,A3,价格化为模糊目标G：,将表中的评价结果转化为各模糊约束集的隶属度,其中模糊目标,193,总约束集,模糊目标集,约束与目标对等时，用对称型模糊判决,由最大隶属原则，应该买x5.,194,如果要求价格更便宜

42、，则放松约束，令a=0.4,b=0.6,加权型判决为,由最大隶属原则，应该买x1.,195,普通线性规划的一般形式为,目标函数,约束条件,矩阵表达形式,模糊线性规划,二、模糊线性规划问题,(1),196,模糊线性规划是将约束条件和目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，它的最优解称为原问题的模糊最优解.,普通线性规划其约束条件和目标函数都是确定的，但在一些实际问题中，约束条件可能带有弹性，目标函数可能不是单一的，可以借助模糊集的方法来处理.,197,模糊线性规划，其模型为,为了体现这个近似小于等于，我们引入伸缩指标di,198,模型又可写成,当,（2）,199,模糊线性规划

43、,200,模糊线性规划,201,模糊线性规划,202,模糊线性规划,203,模糊线性规划,204,模糊线性规划,205,模糊线性规划,206,实例1：饮料配方问题,某种饮料含有三种主要成份A1,A2,A3,每瓶含量分别为755 mg,1205 mg,1385 mg,这三种成份主要来自于五种原料 B1,B2,B3,B4,B5.各种原料每千克所含成分与单价如下表所示，若生产此种饮料一万瓶，如何选择原料成本最小？,207,多目标线性规划,在相同的条件下,要求多个目标函数都得到最好的满足,这便是多目标规划.若目标函数和约束条件都是线性的,则为多目标线性规划.,一般来说,多个目标函数不可能同时达到其最优

44、值,因此只能求使各个目标都比较“满意”的模糊最优解.,模糊线性规划,208,例2 解多目标线性规划问题,模糊线性规划,209,解普通线性规划问题：,得最优解为x1=0,x2=2,x3=2,最优值为2，此时 f 2=8.,模糊线性规划,210,解普通线性规划问题：,得最优解为x1=10,x2=0,x3=0,最优值为20，此时f 1=10.,模糊线性规划,211,的最优解为x1=0,x2=2,x3=2,最优值为2,此时 f 2=8.的最优解为x1=10,x2=0,x3=0,最优值为20，此时f 1=10.,同时考虑两个目标，合理的方案是使f 1 2,10,f 2 8,20,可取伸缩指标分别为d1=10-2=8,d2=20-8=12.如果认为目标 f 1更重要,可单独缩小d1;如果认为目标 f 2更重要，可单独缩小d2.,212,再分别将两个目标函数模糊化,变为解普通线性规划问题：,得最优解为x1=6.29,x2=0.29,x3=1.43,=0.57.,此时f 1=5.43,f 2=14.86.,