量子力学辅导1.ppt

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1、量子力学辅导,一、状态和波函数 二、一维势场中的粒子三、力学量和算符四、对易关系与表象变换五、三维定态问题六、近似方法七、自旋与角动量八、全同粒子九、带电粒子在电磁场中的运动十、散射问题,一、状态和波函数（1）微观粒子的状态由波函数 完全描述。概率密度 粒子处在 体积元的概率 已知（坐标表象的表示），可得其 表象的表示。（2）态的叠加原理 设 是体系可能实现的态，则它们的线性叠加 也是体系可能实现的态。（3）波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出 当势场 不显含时间时，其解是定态解 满足定态薛定谔方程,定态薛定谔方程即能量算符的本征方程 所谓定态即能量的本征态（4）波函数的归一化条件 描述同一

2、态 波函数常数因子和相位因子不定性（5）波函数一般应满足三个基本条件:单值 连续 有限（6）连续方程,典型例题,1、根据S-eq解题 量子力学描述方式的最大特点是微观体系的运动状态用波函数完全描述。波函数是几率振幅，寻求波函数是QM的最为重要的任务。求解波函数满足的S.eq是获得波函数的基本途径。求解时要充分认识边界条件（包括衔接条件）的重要性。（1）证明：具有不同能量的两个束缚态，其波函数正交。证明：令 分别对应能量，；结论与势能的 具体形式无关，第一选择是从S.eq出发。并对空间积分,因为束缚态边界条件是 由于，则有 即 正交,（2）质量为 的粒子处于能量为 的本征态，波函数为 已知，求能

3、量 和势能函数。解：属于直接应用S.eq解题的例子。,2、利用连接条件定能级 定态问题中常见的一类问题是确定粒子的能量，一般方法是求解S.eq，然后利用边界条件和连接条件确定能量本征值。常见情况如下：（1）束缚态中，粒子局限于有限范围内运动，因此无 限远处波函数为零；（2）势能无限大处，有限能量的粒子不能逾越，波函 数为零；（3）势能有限跃变处，波函数及其导数均连续；（4）对于 势，波函数本身连续，其导数有跃变。,例题 粒子在势场 中运动（）。求至少存在一个束缚态的条件。解：显然，在 处，；在 区域，由S.eq知 利用边界条件，得 在 区域，解为 对于束缚态，由此得,于是可得 在 处，势能存在

4、有限跃变，则波函数及其导数均连续，或波函数之对数的导数连续，由此得 又有 令 此方程有一个解的条件（存在一个束缚态的条件）,3、节点法 节点即波函数的零点，用节点法解题的依据是节点定理：对于一维束缚态，在基本区域内（不含边界点）基态无节点，第n个激发态有n个节点。对于多维情况，由于经常存在对称性，因而可以化为等效的一维问题。该定理的适用范围非常广，可以用来确定波函数零点、判定量子数、排列能级顺序、判定能量本征值等。（1）今有两个波函数 它们都是能量本征态，试问它们对应的能级哪个高？是否相邻能级？解：可以直接由S.eq出发求出两个态的能量差,但却无法回答题目中的两个问题。利用节点法很方便！无节点

5、，对应基态，能量最低；有两个节点（本征态）判定其描述第二激发态，能量高于 描述的基态；二者描 述的态不是相邻能级的态，它们之间还有一个能量本征 态，即第一激发态，具有一个节点。问题：如果 不是能量本征态，情况又如何？（2）在氢原子的一个能量本征态中，测得其轨道角动量为 零（s态），而有两个同心球面是波函数的零点。求氢 原子的能量。解：三维有心力场系统波函数写成,其中 满足方程相当于 范围内的一维运动,其行为可用径向量子数 描述从波函数 的形式看，角度方向零点由 提供，径向零点由 提供。根据节点定理，对于确定的，径向基态无节点，第 个径向激发态 有 个节点。对于本问题，氢原子主量子数为 氢原子能

6、量为,4、依据概率守恒定律解题 概率守恒定律是S-eq的一个基本结果，它的正确性依赖于Hamilton算符的厄密性。利用该守恒定律可以得到体系的一般性质。（1）证明：如果描述系统量子态的波函数是可归一化的，则一旦归一化，它在任何时候都是归一化的。证明：设描述系统量子态的波函数为，且是可归一化的，意味着积分 是有限的，分析后知 时必有。由几率守恒定律 对空间积分,因为 由于 是无限远处的封闭曲面，为该曲面上的面元 由于 中总有 或 这一因子，在无限远处为零。由此可得 从而 可见 不显含时间 故当某一时刻一旦归一化，它在任何时候都是归一化的。说明总几率是守恒的 定域性质蕴含概率流概念,（2）证明：

7、若位势不显含时间，系统处于定态中，则其几率流密度不随时间而变化。证明：几率流密度的定义式为 对于定态 而言，它随时间的变化关系为 其中 是体系的能量，它为实数，相应有,5、等效一维法 量子系统受到约束，其运动自由度可能只有一个，这时常用处理方法将约束化掉，转化为等效的一维问题。问题的关键是如何写出等效的哈密顿算符。（1）粒子在一半径为 的圆周上“自由”运动，求出系统的能级和相应的波函数。解：系统只有一个自由度，由球坐标知其哈密顿算符为 定态薛定谔方程,其一般解为（只讨论，否则无周期解）利用周期性，确定 取值，即定出能谱。归一化波函数为 相应能量 基态无简并，激发态二重简并,二、一维势场中的粒子

8、（1）一维无限深势阱 本征值 本征函数,若 本征值 本征函数,（2）三维无限深方势阱 本征值 本征函数（3）一维谐振子 本征值 本征函数,重要公式！（4）势垒贯穿 方势垒 当时，透射系数为任意形状的势垒，透射系数为,（）势跃变条件（）一维束缚态性质 能级分立、非简并；定态波函数可取实函数；势能满 足对称条件V(-x)=V(x)时，波函数具有确定宇称，不是偶 函数，就是奇函数；基态无节点；和 连续条件可合并 为 连续。,典型例题,1、质量为 的粒子在势场 中作一维运动，试建立动量表象中的能量本征方程。解：采用狄拉克符号，能量本征方程可写为（1）已知 所以（2）将（2）代入（1）得 以 左乘上式得

9、,其中 定义 代入上式得（）上式即为 表象中的能量本征方程。其中 当势能取 形式时，由于,则得 其中 代入（）式得（）例如，谐振子 能量本征方程为,2、质量为 的粒子处于长为 的一维盒子中，在 时，粒子波函数为 求 的级数表达式。解：因为,对于一维无限深势阱 展开系数,3、在t=0时，处于势场 中的粒子，由波函数 描述，是能量本征态，求（1）归一化常数；（2）t=0时能量平均值；（3）t0时，的表达式；（4）证明 是一个周期函数，求出最长周期。解:（1）,（2）t=0时能量平均值,（3）t0时，的表达式（4）证明 是一个周期函数，求出最长周期 上式交叉项是时间的周期函数，最长周期,4、对于一维

10、谐振子 令 坐标表象 动量表象,5、耦合谐振子（解耦合 化为简正振动 对角化）最后一项为耦合项。求 的本征值和本征态。解：令 显然,故,6、如 是能量 的本征函数（），证明（1）（2）进一步证明证明：（1）,（2）,三、力学量和算符、在量子力学中，力学量用线性厄密算符表示；其本征 值为实数；其本征函数组成正交、归一、完备系，用 它作为希尔伯特空间的一组基矢，构成一个表象。2、体系波函数可用任意厄密算符的本征函数展开,3、力学量的平均值 坐标表象 动量表象 4、几个具体的表示力学量的算符（1）动量算符 本征函数（自由粒子波函数）正交归一性,箱归一化波函数 本征值（2）角动量算符 本征值 本征函数

11、（3）自由粒子的哈密顿算符,能量本征值（4）力学量平均值随时间的变化 若 则称 为守恒量，可知守恒量条件,状态波用波函数完全描述 在QM中，如何通过状态了解物理性质？QM假设：力学量用线性厄密算符表示。状态（波函数）是希尔伯特空间的一个矢量（态矢）；算符反应的是该空间的一种变换（运算）；利用算符对波函数的运算从状态中提取系统的物理性质。,典型例题,（一）根据定义解题（最基本方法）1、设质量为 的粒子在下列势场中运动（1）求其能级和波函数；（2）粒子处于基态时的平均位置和均方差。解：（1）由势场特点知，实质为半谐振子，其波函数和能 级可由谐振子得出，注意两点：一是仅取其中以原点为 节点的部分解，

12、因为波函数在原点处必须为零；二是由 于粒子在半无限空间运动，注意归一化问题。由厄米多 项式的具体形式可知，量子数n只能取奇数值，即,最终得半谐振子的能级和波函数为（2）半谐振子的基态波函数（n=1）,（二）利用波函数的性质解题 量子态由波函数完全描述。对于给定波函数，注意观测其特性，如实数性、对称性、零点等，可以帮助我们快捷解题。1、一个粒子作三维束缚态运动，其波函数为实函数，求此状态中动量的平均值。解：令波函数为，且，对于束缚态 则 对于 有同样结果,说明：（1）力学量的平均值必定是实数，对于实数波函 数而言，由于动量算符在形式上是纯虚数，其平 均值必为零。（2）在一维束缚态中，定态波函数总

13、可以选为实 函数，因此一维束缚定态中动量平均值总为零。2、粒子作一维运动，空间波函数为 求平均位置。解：波函数为偶函数，即 因为 是奇函数；同样 是奇函数，亦如此。,归纳：凡是具有确定空间宇称的态，其平均位置一定为零（三）对易关系法 1、粒子的哈密顿量为，其处于束缚定态中，证明其动量平均值为零。证明：令定态波函数的空间部分为，满足 为求 的平均值，首先注意 和 的对易关系这里运用了基本对易关系，计算动量平均值转化为计算对易子的平均值（注意 的厄密性）,推论：如果厄密算符 可以表示为两个厄密算符 和 的对易子，则在 或 的本征态中，的平均值必为零。该推论可以用来说明许多问题。例如，在角动量的任何

14、一个直角分量（如）的本征态下，其余两个分量 的平均值均为零。可以证明，如果两个厄密算符 反对易则在一个算符的本征态中，另一个算符的平均值必为零。,2、系统哈密顿量为，求和式 的值，其中 为矩阵元，是能量为 的 本征态，求和对一切态进行。解：,同样，将 放入后面矩阵元中得 两式相加得 因为 所以,3、一量子体系处于角动量 与 的共同本征态，总角动 量平方值为。已知在该态中测量 的值为0的几率是 1/2，那么测量 的值为 的几率是多少？解：方法一 该态对应，显然体系波函数是 中的某一个，在（）表象中，由（3.10）知，对于 有；假定体系波函数分别为，则 的几率为,由已知条件可知，体系波函数不可能是

15、，只能是 或对于 的几率 对于 的几率对于二者，测量 的值为 的几率都是1/4。方法二 由于 对易子：可见在 的本征态中 对应，的可能取值为，故 其中 分别为 取值为 的几率。由归一化条件 4、,四、对易关系 表象变换 1、对易式定义 2、对易式满足的基本恒等式 3、重要的对易关系式,4、若，则算符 和 有共同的本征函数系；反之亦 然。在 和 的共同本征函数系中测量 和，都有确 定值。若，则有测不准关系 特例 5、Q表象 以算符Q的本征函数系 为基矢构成的表象,算符 对应一个矩阵（方阵）矩阵元 平均值公式 归一化条件 本征方程,6、表象变换 两个表象之间的变换是幺正变换，变换矩阵 满足 的矩阵

16、元 态的变换 算符的变换 幺正变换不改变算符的本征值 7、狄拉克符号 最大优越性不依赖于具体表象 基矢的封闭性（完备性）（单位算符）,坐标表象 狄拉克符号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）,8、傅里叶变换与动量表象 1）傅里叶变换（dim=1）的本征值为 本征函数 它是动量表象的基矢（在 表象的表示）对 表象的任意的波函数 有,2）傅立叶变换的性质和规律（1）若 则（1）式的证明：因为 积分号内求偏导技术！,由此可得（2）例 将 表象中S-eq 变换到 表象。两边取，且,对于一维谐振子 令 与坐标表象形式相同，令 得（3）的本征态（本征值）在 表象的表示,典型例题,1、设 不对易

17、：；但 与 皆对易：；试计算，。解：（1）将 换成 代入上式 重复这种递推关系 次得,（2）设 则（1）为（2）的特例。令 得 令 则 令 则,2、证明投影算符是厄密算符，其平方等于该算符本身。证明：依据定义，投影算符 因为 是厄密算符 又 得证 注意：若一个线性算符 满足 和，则该 线性算符一定是投影算符 3、证明：投影算符 是一个可观测量，是 归一化本征态。证：令 是 的本征态 可见，是一个可观测量，本征值是0或1,4、厄密算符 和 满足，且，求（1）在 表象中 和 的矩阵表示；（2）在 表象中算符 的本征值和本征矢；（3）由 表象到 表象的幺正变换矩阵，并把 矩阵对角化。解：（1）令 的

18、本征值为，本征矢为 类似可得 的本征值为，在 表象 由 得 由 得 由 得,（2）由 的本征方程 得（3）幺正变换矩阵,5、一维谐振子降算符 和升算符 的定义为 由 与 构成（1）计算对易关系（2）将 用 表示；（3）求 的本征值；（4）证明,解：（1）利用，可得（2）由升降算符的定义式得 将其代入 并利用 得,（3）由于 和 对易，令共同本征函数为（4）可见 是 的本征值为 的本征函数，令,6、谐振子本征值问题的代数解法（考试热点）解：设 因为 所以 即 分别是 的本征值为 的本征 函数，可见 的相邻本征值之差为，由于一维束缚 态无简并，故,将以上两式分别作内积 由于 所以,7、证明：8、若

19、 是由 与 构成的标量算符，则 例如 同样,9、若 是由 与 构成的矢量算符，则,矢量算符定义式,五、三维定态问题 1、中心力场 哈密顿算符 选守恒量完全集 共同本征函数为 满足方程 满足方程与边界条件,2、氢原子 能级 波函数 简并度 类氢离子 3、无限深球方势阱（见曾教程p100),态 4、三维各向同性谐振子（见曾教程p102）（1）直角坐标系 简并度,因为对于给定的 相应 可能取值的数目 能级简并度（可能取值的数目）（2）球坐标系（略）,5、F-H定理和维里定理（1）F-H定理（参数空间法）设量子体系的束缚态能级和波函数为 和，设为 含有的任一参数，则有（2）维里定理 设哈密顿算符为，为

20、其归一化的束缚态波函数，则有,典型例题,1、质量为 的粒子在势场（！）中运动。求 的定态能量和波函数。解：对于 态 波函数 满足连续条件 的解,由连续条件定态能量由归一化条件求得归一化系数定态波函数,2、在半径为 的硬钢球内，有一质量为 的粒子处于基 态。现突然将钢球的半径扩展到原来的两倍，求扩展 后粒子仍处于基态的几率。解：由上题，得基态波函数 新势场中粒子的基态波函数为 由于势场改变极其迅速，粒子状态来不及变化，粒子处 于新基态的几率,3、设量子体系的束缚态能级和归一化本征函数为 和，设 是 含有的某一个参数，证明 证：满足能量本征方程,以 左乘上式，应用式及归一化条件，得 4、一维谐振子

21、带有电荷q，置于沿x方向的均匀电场中，求 其能谱。解：（1）方法一,（2）方法二 由F-H定理求解,5、质量为 的粒子在球壳 势阱 中运动，求存在束缚态所需的最小 值。解：基态为 态，波函数写成 满足径向方程 由于 处，所以束缚态。令 上式改写成,波函数边界条件 在 处 在 处 在 区域，满足无限远边条件的解 如 的值刚好形成一个束缚态，则 区域满足边条件的解,氢原子“圆轨道”径向基态无节点 径向分布极大值出现在 玻尔“圆轨道”,六、近似方法 1、定态微扰论 适用范围：求分离能级与波函数的修正；适用条件：的本征值和本征函数已知或易求；微扰 很小，以保证（1）非简并情况 系统哈密顿量 已知 的本

22、征值 和本 征函数 非简并,（2）简并情况 系统哈密顿量 已知 的本征值 和 本征函数 为 度简并 零级近似波函数 能量的一级修正由久期方程求解,零级近似波函数 由 求出 代入定义式即可得到。2、变分法 选择含有参量 的尝试波函数，代入计算 的平均值公式，算出含有参量 的能量平均值 利用，得到使 取最小值的 值 把 代入 中，即得 代入，即得,3、含时微扰 量子跃迁 设 时粒子处于 的定态（能量为），时粒 子受到微扰 的作用，时刻粒子跃迁到 的另 一个定态（能量为）的几率为 4、黄金规则 单位时间跃迁几率 末态的态密度（单位能量间隔状态数）,5、强度为 的连续光照射原子发生由 态到 态的跃迁速

23、率（偶极跃迁）电偶极跃迁选择定则,典型例题,1、一根长为 的无质量细绳一端固定，另一端系一质量为 的质点，在重力作用下质点在竖直平面内摆动。（1）在小角度近似下求系统能级；（2）求由于小角度近似的误差而产生的基态能量的最低 阶修正。解：（1）以最低点为势能零点，则 为质点偏离平衡位置时的极角。这时 其中 可见系统的能级为,（2）为求能级的修正，先求在小角度近似中略去的最低阶 相互作用 将其视为微扰，求由它产生的对基态能量的修正。由于 则 于是基态的能量修正为,2、在势场中作低速运动的粒子，计及相对论质能关系 后，可近似取为 其中第二项为动能的相对论修正，可作为微扰处理（这里 没有考虑与自旋有关

24、的相对论效应）。试分别对谐振子和 类氢离子计算该修正项对能级的影响。解：而 可改写成,（1）一维谐振子，的本征函数和本征值为，势能 根据维里定理，在 态中 的平均值 则,因为 则 代入上式得,（2）类氢离子，的本征函数和本征值为 由于 与 对易，作用 后不改变量子数，因此在属于同一个 的各个简并态（取不同值）之 间，的非对角矩阵元素全部为零，即 从而在计算能级的一级修正时，可用非简并微扰论，即,据维里定理 利用公式 可得 于是可得 能级对 的简并已消除 对氢原子 基态 与自旋轨道耦合能的量级相同,3、一维无限深势阱0,a中的粒子受到微扰 的作用，求基态能量的一级修正。解：一维无限深势阱中粒子的

25、能量和本征函数 基态 基态能量的一级修正,在两个积分中分别作变换 4、已知系统的哈密顿量为 求能量至二级近似，波函数至一级近似。,解：（1）可见所设表象为非 表象，为将 对角化，先由 的本 征方程求其本征值和本征矢。求得结果为：本征值 相应本征矢,（2）利用 转到 表象（将 对角化）在 表象中 则,5、已知系统的哈密顿量为（1）微扰法求能量至二级修正；（2）严格求解。解：（1）用微扰法求解（a）能级二重简并，令 在 的二维简并子空间中，则,能级非简并（b）能量二级修正，将问题转至一阶表象,因为一级修正已将简并完全消除（因 无重根），则二级修正的计算与非简并相同由 得,6、粒子在一维势场 中运动

26、，能级为，如果受到微扰 的作用，求能级的修正（二级近 似）。,解：微扰前能量算符为,的本征函数记为 或，利用对易关系 得,在 表象中（以 为基矢）微扰矩阵元,一维束缚态是非简并的，故能量一级修正为,能量二级修正,最后一步利用了求和规则,7、质量为 的粒子在一维势场 中运动，式中，（1）用变分法计算基态能量，在 区域内的试探波函 数应取下列波函数中的哪一个？为什么？（2）算出基态能量。解：（1）波函数 在 处发散，不满足束缚态条件；在 处不为零，不满足波 函数的连续条件；也不满足束缚态条件；符合要求。,（2）取试探波函数，其中 为待定常数，为 归一化系数。由归一化条件,8、一维谐振子的能量本征态

27、为 设有一微扰，满足 如果 时体系处于基态，求 时体系处于各个态 上的几率。解：由 其中 代入上式得 可见，其余均为零,9、将一基态氢原子置于 方向均匀磁场B中。（1）计算其能级分裂；（2）若再加一 方向交变磁场，问能否使它 从其中一个能级跃迁到另一个能级？试以计算说明；（3）如果是在 方向加一交变磁场，问能否 发生跃迁？磁场变化的频率应为多少？解：（1）附加能 系统哈密顿量 本征态 无耦合 基态 二重简并 微扰矩阵元,能量一级修正 能级分裂一分为二 简并消除（2）微扰（跃迁）矩阵元 可见不能引起跃迁（3）,跃迁速率公式 要实现 态的跃迁，既要，须满足 所以,10、基态氢原子处于平行板电场中，

28、电场为 求经过长时间后氢原子处于 态的几率。解：将 方向选定为 轴方向，则微扰算符 由 态跃迁到 的几率 本问题为氢原子 态三重简并，其中,计算跃迁矩阵元 所以 由 态向 态的跃迁即由态 向 的跃迁,当 时 其中 可见 外场越强 跃迁几率越大 11、求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。解：偶极近似（即只考虑电场作用，忽略磁场作用）情况下 跃迁几率与矩阵元 成正比，由此可得跃 迁几率不为零的条件,由可得线性谐振子偶极跃迁的选择定则为,七、自旋与角动量 1、电子具有自旋角动量，其在任意方向的分量取值为 自旋分量满足对易关系 2、在 表象,3、泡利矩阵,4、在 表象，的本征值和本征矢 的本征值和本征矢,

29、5、引入自旋后，电子波函数不考虑自旋-轨道相互作用，则,6、角动量耦合（1）总角动量算符 无耦合表象 耦合表象 升降算符,（2）L-S耦合 相互对易，共同本征函数 解释：光谱线的精细结构 反常塞曼效应,（3）S-S耦合 两个电子的自旋单态和三重态 耦合后的总角动量,非耦合基,耦合基,三重态 对称,单态 反对称,注意：由两个粒子组成的复合体系量子态的两种表示 可分离态单粒子量子态的乘积 纠缠态,Bell基,自旋 为的二粒子体系的四个归一化的纠缠态,7、升降算符,典型例题,1、设一定域电子（作为近似模型，不考虑轨道运动），处 于沿 方向的均匀磁场 中，哈密顿量为 设 时，电子自旋“向上”（）。求

30、时（1）电子自旋态；（2）电子自旋 的几率；（3）电子自旋 的平均值。解：（1）方法一 令 满足 初始条件,由薛定谔方程求解 由此可得 方法二 体系能量本征态，即 的本征态，本征值和本征态分 别为,电子自旋初态 时刻自旋态为（2）的本征值与本征矢为 时刻 取 的几率分别为,（3）已知 则,2、设粒子自旋为1，荷电，处于沿 方向的均匀磁场中，体系的哈密顿算符为 式中 的矩阵表示为 设在 时刻，自旋沿 轴投影为（即处在初态 的本 征态）。（1）求任意时刻 系统的自旋波函数；（2）求 随时间的变化。,解：（1）设在 表象，粒子初态 由题设 求出 再由归一化条件得 则,其中 满足 所以（2）,3、设

31、是与 对易的任意矢量算符，证明：证：利用 等等可得注意:上式与 是否对易无关,4、对于两个自旋为1/2粒子组成的体系，以 和 分别表示粒子1和2的自旋角动量和泡利算符 试求 满足的最简代数方程，并用以确定 的 本征值。解：利用公式 令 得 由于 则得 满足的最简代数方程,由此可得 的本征值 总自旋 的本征值为 三重态 单 态 具有共同本征态,由于 所以 交换算符,5、电子偶素（束缚态）为类氢原子体系，在非相对论 近似下，其能量和波函数同氢原子相似。今设在电子偶 素基态里，存在一种接触型自旋交换作用 其中 与 分别是正负电子的自旋磁 矩。利用一级微扰论计算此基态中自旋单态和三重态之 间的能量差，

32、决定哪一能量更低。已知氢原子基态波函 数,解：其中 是电子偶素总自旋，不考虑 时，基态能量为 四度简并它们都是总自旋的本征态，相互正交，故微扰矩阵元简并态微扰可用非简并态微扰处理，4个 是零级近似波函数,对自旋三重态，一级修正能量相同 对自旋单态,自旋三重态与自旋单态能量之差 自旋三重态能量高于自旋单态能量,6、角动量升降算符（以轨道角动量为例，可以推广到一般）求证：（1）（2）若 为 的共同本征态，则（3）在 态中，（4）在 态中，的可能值及相应几率,求证：（1）（2）为 的量子数为 的本征态 注意,（3）方法一 同理 方法二 同理,方法一（传统方法）方法二 右边第一项对 求平均为零，又因为

33、,（4）在 态中，的可能值为 相应几率 7、在自旋态 中测 几率为1/3，测 几率 为1/6，求。解：在 表象 令 由归一化条件得,归一化,又 所以 8、对于s=1/2自旋的粒子，证明对任何自旋态 的平 均值不能同时为零。证明：设在 表象中 由 得 另外 显然 不能同时成立。得证,9、一束自旋为1/2的粒子进入斯特恩-盖拉赫装置SG(1)后被分为两束，去掉其中 的一束。另一束 进入第二个斯特恩-盖拉赫装置SG(2)，SG(2)与SG(1)的交角为，则粒子束穿过SG(2)后又被分为两束。求这两束的相对数目之比。解：设 为与z轴夹角为 的单位矢量则在 表象中，的本征态为,由题意知，进入第二个斯特恩

34、-盖拉赫装置SG(2)前的粒子 态与经其分裂后的粒子态之关系为 由此可得两束粒子数目之比,10、体系由两个自旋为1/2的非全同粒子组成，粒子间的相互作用为，其中 为常数。设t=0时，系统的状态为。试求（1）任意t时刻系统的状态；（2）任意t时刻测量系统的自旋态为 的几率；（3）何时两个粒子的自旋实现反转？解：（1）系统的哈密顿量 显然 对易 选取耦合（能量）表象,其中 由于 所以（2）任意t时刻测量系统的自旋态为 的几率,（3）要实现两个粒子的自旋反转，则须 由此可得 另外可以看出，中不存在 这两个态，即任意时刻测得的几率均为零。,11、体系由两个自旋s=1/2的非全同粒子组成。已知粒子 1处

35、于z方向自旋向上的态，粒子2处于x方向自旋向上的 态。求体系总自旋 和 的可能值及相应几率。解：在 表象中，体系的态矢为,总自旋 和 可能值相应几率,八、全同粒子 1 全同粒子：静质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子被称作全同粒子。全同粒子具有不可区分性，这是微观粒 子的基本性质之一。2 全同性原理：任意两个全同粒子相互交换后并不会引起整个体系物理 状态的改变，即不会出现任何可观测的物理效应，该论断称为量子力学中的全同性原理。这是量子力学基本原理之一。全同性原理或表述为交换对称性，任何可观测量，特别是Hamilton量，对于任何两个粒子交换是不变的。,3 全同粒子体系波函数的交换对称性

36、 描述全同粒子体系的波函数对于任何两个粒子的交换，或者是对称的，或者是反对称的。这一性质称为全同粒子体系波函数的交换对性。不具有交换对称性的波函数是不能描述全同粒子体系的。全同粒子体系波函数的交换对称性，与粒子的自旋有确定的联系。凡是自旋为 整数倍的粒子（s=0,1,2,)所组成的全同粒子体系波函数对于交换两个粒子总是对称的。例如，介子（s=0），粒子（S0），基态的He(S=0)，光子（S1）。它们在统计物理中遵从玻色(Bose)爱因斯坦(Einstein)统计规律，称为玻色（Bose）子。,凡是自旋为 半奇数倍的粒子(s=1/2,3/2,)，所组成的全同粒子体系，其波函数对于交换两个粒子总

37、是反对称的。例如，电子、质子、中子等，S1/2，它们在统计物理中遵从费米（Fermi）狄拉克(Dirac)统计规律，称为费米（Fermi）子。4、泡利不相容原理：不容许两个或两个以上的费米子处于同一个单粒子态 重点掌握两个（或三个）无相互作用全同粒子体系的能量本征值和波函数。,典型例题,1、在无限深势阱 中运动的两电子体系，不考虑 电子间的相互作用以及与自旋有关的相互作用，求体 系的基态和第一激发态的波函数和能量。解：两电子体系属费密子体系，总波函数应反对称。一维势阱中，体系能量和波函数为（1）基态 空间部分波函数是对称的 自旋部分波函数是反对称的 总波函数,（2）第一激发态:空间部分波函数

38、自旋部分波函数 总波函数（四重简并）,2、一体系由三个全同玻色子组成，不考虑粒子间的相互作 用。已知可能的单粒子态为 和，相应能量为 和 写出体系所有可能态的波函数。解:令 玻色子系统波函数是对称的 三个粒子均处于 态 三个粒子均处于 态 两个粒子处在，一个粒子处在 两个粒子处在，一个粒子处在,3、两个质量为 的粒子处于一个边长为 的长方形 盒子中，粒子间的相互作用势为 可视为微 扰。在下列条件下，用一级微扰法计算体系的最低能量。（1）非全同粒子；（2）零自旋全同粒子；（3）自旋为的全同粒子，处于总自旋s=1的态。解：无微扰时，单粒子态波函数与能量为,盒内盒外,（1）两个粒子都处于单粒子基态时

39、，体系能量最低，此时 体系能量和波函数为 能量 是非简并的，一级能量修正,盒内盒外,一级近似能量为（2）体系波函数对粒子交换对称，结果与（1）相同。（3）由已知条件知，体系处于自旋三重态，自旋波函数交 换对称，空间波函数应交换反对称，总波函数反对称；体系最低能量态是一个粒子处于单粒子基态，另一 粒子处于单粒子激发态，考虑自旋后体系的波函数与能量为,虽然该能级三度简并，但微扰矩阵元的非对角元素均为零（因微扰与自旋无关，正交），故可用非简并微扰方法处理。一级修正能量 上式积分为零是因为空间波函数是反对称的。一级近似能量为,4、三个电子处在0a的无限深势阱中，求体系最低三个能级的波函数，讨论简并度（

40、不计粒子间相互作用）。解：单粒子态（1）基态：由泡利原理，三个粒子的单态为（1，1，2）,（2）第一激发态（1，2，2）（3）第二激发态（1，1，3）,九、带电粒子在电磁场中的运动,1、带电为q的粒子在电磁场中的哈密顿量 其中正则动量 引入库仑规范（电磁场的横波条件）库仑规范下S-eq,2、均匀磁场中的带电粒子 在对称（库仑）规范下 均匀磁场 选取 为守恒量完全集，在柱坐标下能量本征值 和本征函数为,Landau能级和波函数 在平面内为束缚态，能级分立；沿磁场方向自由运动，能 量连续变化。3、正常塞曼效应 将原子置于强磁场中，产生能级和光谱线分裂。见教材。,典型例题,1、质量为m，电荷为q的非

41、相对论粒子在电磁场中运动，定义速度算符 求 的具体表达式和对易式。解：以 分量为例,因为 对易式 同理,2、带电粒子（m,q）在与磁场 垂直的平面内运动，取矢 势（1）写出此二维问题的哈密顿量；（2）求出能量本征值和本征函数。解：由于 所以（1）（2）将 改写 令,则 可见 是守恒量，因此 表示的仍然是一维谐振子的哈密顿量，其本征值和本征函数为 其中,3、一个处于磁场 中的无自旋带电粒子的Hamilton量 其中（1）证明 是运动恒量；（2）体系的能级和波函数。解：（1）体系的Hamilton量 显然 所以 是运动恒量（2）选取,其中总能量及波函数,十 散射问题,1、散射截面 微分散射截面 总散射截面 2、中心力场中的弹性散射（1）分波法 微分散射截面 总散射截面 适用范围 低能散射,（2）玻恩近似 适用于粒子的高能散射,典型例题,1、对于低能粒子散射，设只考虑 波和 波，写出微分散 射截面的一般形式。解：只考虑 波和 波，则只取 其中 所以,2、用玻恩近似法求粒子在势场 中散射时的微分散射截面。解：由 得,