投影的形成及常用的投影方法.ppt
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1、2.1 投影的形成及常用的投影方法,2.2点、线、面的投影,2.3 几何元素的相对位置,2.4 换面法,2.5 体的投影及三视图,2.6 平面体与回转体的截切,2.7 两立体相交,正投影基础,返回,2.2.1 点的投影,2.2.2 直线的投影,2.2.3 平面的投影,点线面,返回,2.6.1 平面立体的截切,2.6.2 回转体体的截切,截切,返回,21 投影的形成及常用的投影方法,投影方法,中心投影法,平行投影法,直角投影法(正投影法),斜角投影法,画透视图,画斜轴测图,画工程图样及正轴测图,返回,下页,中心投影法,投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差,投影特
2、性,投射线,投射中心,投影面,投影,物体位置改变,投影大小也改变,返回,下页,上页,平行投影法,斜角投影法,投 影 特 性,投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好,工程图样多数采用正投影法绘制。,返回,下页,上页,采用多面投影。,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,一、点在一个投影面上的投影,a,2.2.1 点的投影,返回,下页,上页,二、点的三面投影,投影面,正面投影面(简称正 面或V面),水平投影面(简称水 平面或H面),侧面投影面(简称侧 面或W面),投影轴,OX轴 V面与H面的交线,OZ轴 V面与W面的交线
3、,OY轴 H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,返回,下页,上页,空间点A在三个投影面上的投影,空间点用大写字母表示,点的投影用小写字母表示。,返回,下页,上页,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,向右翻,向下翻,不动,投影面展开,返回,下页,上页,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,点的投影规律:,aaOX轴,aax=aaz=y=A到V面的距离,aax=aay=z=A到H面的距离,aay=aaz=x=A到W面的距离,aaOZ轴,返回,下页,上页,例:已知点的两个投影,求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,通过作45线使aaz=aax,解法二:,用圆规直接量取aaz
4、=aax,返回,下页,上页,三、两点的相对位置,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。,判断方法:,x 坐标大的在左,y 坐标大的在前,z 坐标大的在上,b,a,a,a,b,b,B点在A点之前、之右、之下。,X,YH,YW,Z,返回,下页,上页,四、重影点:,空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时,则称此两点为该投影面的重影点。,A、C为H面的重影点,a,a,c,被挡住的投影加(),(),a c,返回,下页,上页,2.2.2直线的投影,两点确定一条直线,将两点的同名投影用直线连接,就得到直线的同名投影。,直线对一个投影面的投影特性,一、直线的投影特性,直线垂直于投影面投影重合
5、为一点 积聚性,直线平行于投影面投影反映线段实长 ab=AB,直线倾斜于投影面投影比空间线段短 ab=ABcos,返回,下页,上页,直线在三个投影面中的投影特性,投影面平行线,投影面垂直线,正平线(平行于面),侧平线(平行于面),水平线(平行于面),正垂线(垂直于面),侧垂线(垂直于面),铅垂线(垂直于面),一般位置直线,统称特殊位置直线,返回,下页,上页,投影面平行线,在其平行的那个投影面上的投影反映实长,并反映直线与另两投影面倾角的实大。,另两个投影面上的投影平行于相应的投影 轴。,水平线,侧平线,正平线,投 影 特 性:,与H面的夹角:与V面的角:与W面的夹角:,实长,实长,实长,返回,
6、下页,上页,反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。,投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线,另外两个投影,,在其垂直的投影面上,,投影有积聚性。,投影特性:,返回,下页,上页,一般位置直线,投影特性:,三个投影都缩短。即:都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实大,且与三根投影轴都倾斜。,返回,下页,上页,二、直线与点的相对位置,若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即:,若点的投影有一个不在直线的同名投影上,则该点必不在此直线上。,判别方法:,AC/CB=ac/cb=ac/cb,A,B,C,V,H,b,c,c,b,a,a,定比定理,返回,下页
7、,上页,点C不在直线AB上,例1:判断点C是否在线段AB上。,点C在直线AB上,返回,下页,上页,例2:判断点K是否在线段AB上。,a,b,因k不在a b上,故点K不在AB上。,应用定比定理,a,b,k,a,b,k,返回,下页,上页,三、两直线的相对位置,空间两直线的相对位置分为:平行、相交、交叉。,两直线平行,投影特性:,空间两直线平行,则其各同名投影必相互平行,反之亦然。,返回,下页,上页,a,b,c,d,c,a,b,d,例1:判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线,只要有两个同名投影互相平行,空间两直线就平行。,AB/CD,返回,下页,上页,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,
8、a,c,对于特殊位置直线,只有两个同名投影互相平行,空间直线不一定平行。,求出侧面投影后可知:,AB与CD不平行。,例2:判断图中两条直线是否平行。,求出侧面投影,返回,下页,上页,两直线相交,判别方法:,若空间两直线相交,则其同名投影必相交,且交点的投影必符合空间一点的投影规律。,交点是两直线的共有点,返回,下页,上页,例:过C点作水平线CD与AB相交。,先作正面投影,返回,下页,上页,1(2),3(4),两直线交叉,投影特性:,同名投影可能相交,但“交点”不符合空间一个点的投影规律。,“交点”是两直线上的一 对重影点的投影,用其可帮助判断两直线的空间位置。,、是面的重影点,、是H面的重影点
9、。,为什么?,两直线相交吗?,返回,下页,上页,两直线垂直相交(或垂直交叉),直角的投影特性:,若直角有一边平行于投影面,则它在该投影面上的投影仍为直角。,设 直角边BC/H面因 BCAB,同时BCBb所以 BCABba平面,直线在H面上的投影互相垂直,即 abc为直角,因此 bcab,故 bc ABba平面,又因 BCbc,证明:,返回,下页,上页,a,b,c,a,b,c,例:过C点作直线与AB垂直相交。,返回,下页,上页,小 结,点与直线的投影特性,尤其是特殊位置 直线的投影特性。点与直线及两直线的相对位置的判断方 法及投影特性。定比定理。直角定理,即两直线垂直时的投影特性。,重点掌握:,
10、返回,下页,上页,一、点的投影规律,aaOX轴,aax=aaz=y=A到V面的距离,aax=aay=z=A到H面的距离,aay=aaz=x=A到W面的距离,aaOZ轴,返回,下页,上页,二、各种位置直线的投影特性,一般位置直线,三个投影与各投影轴都倾斜。,投影面平行线,在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。,投影面垂直线,在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。,返回,下页,上页,三、直线上的点,点的投影在直线的同名投影上。,点分线段成定比,点的投影必分线段的投影 成定比定比定理。,四、两直线的相对位置,平行
11、,相交,交叉(异面),同名投影互相平行。,同名投影相交,交点是两直线的共有点,且符合空间一个点的投影规律。,同名投影可能相交,但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。,返回,下页,上页,五、相互垂直的两直线的投影特性,两直线同时平行于某一投影面时,在该 投影面上的投影反映直角。,两直线中有一条平行于某一投影面时,在该投影面上的投影反映直角。,两直线均为一般位置直线时,在三个投影面上的投影都不 反映直角。,直角定理,返回,下页,上页,2.2.3 平面的投影,一、平面的表示法,不在同一直线上的三个点,直线及线外一点,两平行直线,两相交直线,平面图形,返回,下页,上
12、页,二、平面的投影特性,实形性,类似性,积聚性,平面对一个投影面的投影特性,返回,下页,上页,平面在三投影面体系中的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类:,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面,倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面,垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,返回,下页,上页,a,b,c,a,c,b,c,b,a,投影面垂直面,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,投影特性:,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影有类似性。,为什么?,返回,下页,上页,投影面平行面,积聚性,积聚性,
13、实形性,水平面,投影特性:,在它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,返回,下页,上页,一般位置平面,三个投影都类似。,投影特性:,返回,下页,上页,三、平面上的直线和点,平面上取任意直线,返回,下页,上页,a,b,c,b,c,a,d,n,m,例1:已知平面由直线AB、AC所确定,试 在平面内任作一条直线。,解法一,解法二,根据定理二,根据定理一,有无数解。,返回,下页,上页,例2:在平面ABC内作一条水平线,使其到 H面的距 离为10mm。,n,m,n,m,唯一解!,返回,下页,上页,平面上取点,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助
14、线,然后再在该直线上确定点的位置。,例1:已知K点在平面ABC上,求K点的水平投影。,面上取点的方法:,首先面上取线,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,返回,下页,上页,k,b,例2:已知AC为正平线,补全平行四边形 ABCD的水平投影。,解法一,解法二,返回,下页,上页,2.3 几何元素的相对位置,相对位置包括平行、相交和垂直。,一、平行问题,直线与平面平行,平面与平面平行,直线与平面平行,返回,下页,上页,a,c,b,m,a,b,c,m,例1:过M点作直线MN平行于平面ABC。,有无数解,返回,下页,上页,正平线,例2:过M点作直线MN平行于V面和平面 ABC。,c,b,a,m
15、,a,b,c,m,唯一解,返回,下页,上页,两平面平行,若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线,则这两平面相互平行。,若两投影面垂直面相互平行,则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。,返回,下页,上页,二、相交问题,直线与平面相交,直线与平面相交,其交点是直线与平面的共有点。,要讨论的问题:,求直线与平面的交点。,判别两者之间的相互遮挡关系,即判别可 见性。,我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,返回,下页,上页,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m,平面为特殊位置,例:求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。,空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面,其水平
16、投影积聚成一条直线,该直线与mn的交点即为K点的水平投影。,求交点,判别可见性,由水平投影可知,KN段在平面前,故正面投影上kn为可见。,还可通过重影点判别可见性。,1(2),作 图,返回,下页,上页,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c,直线为特殊位置,空间及投影分析,直线MN为铅垂线,其水平投影积聚成一个点,故交点K的水平投影也积聚在该点上。,求交点,判别可见性,点位于平面上,在前;点位于MN上,在后。故k 2为不可见。,1(2),作图,用面上取点法,返回,下页,上页,两平面相交,两平面相交其交线为直线,交线是两平面的共有线,同时交线上的点都是两平面的共有点。,要讨论的问题:,求两
17、平面的交线,方法:,确定两平面的两个共有点。,确定一个共有点及交线的方向。,只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,判别两平面之间的相互遮挡关系,即:判别可见性。,返回,下页,上页,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),空间及投影分析,平面ABC与DEF都为正垂面,它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线,只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。,求交线,判别可见性,作 图,从正面投影上可看出,在交线左侧,平面ABC在上,其水平投影可见。,能!,如何判别?,例:求两平面的交线MN并判别可见性。,返回,下页,上页,b,c,f,h,
18、a,e,a,b,c,e,f,h,1(2),空间及投影分析,平面EFH是一水平面,它的正面投影有积聚性。ab与ef的交点m、b c与f h的交点n即为两个共有点的正面投影,故mn即MN的正面投影。,求交线,判别可见性,点在FH上,点在BC上,点在上,点在下,故fh可见,n2不可见。,作 图,返回,下页,上页,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,投影分析,N点的水平投影n位于def的外面,说明点N位于DEF所确定的平面内,但不位于DEF这个图形内。所以ABC和DEF的交线应为MK。,互交,返回,下页,上页,小 结,重点掌握:,二、如何在平面上确定直线和点。,三、两平面平行的条件一定是分
19、别位于两平面 内的两组相交直线对应平行。,四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是 两者的共有点或共有线。,解题思路:,空间及投影分析,目的是找出交点或交线的已知投影。,判别可见性,尤其是如何利用重影点判别。,一、平面的投影特性,尤其是特殊位置平面的 投影特性。,返回,下页,上页,要 点,一、各种位置平面的投影特性,一般位置平面,投影面垂直面,投影面平行面,三个投影为边数相等的类似多边形类似性。,在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 积聚性。另外两个投影类似。,在其平行的投影面上的投影反映实形 实形性。另外两个投影积聚为直线。,返回,下页,上页,二、平面上的点与直线,三、平行问题,直线与平面平行
20、 直线平行于平面内的一条直线。,两平面平行 必须是一个平面上的一对相交直线对应平行 于另一个平面上的一对相交直线。,返回,下页,上页,四、相交问题,求直线与平面的交点的方法,一般位置直线与特殊位置平面求交点,利用 交点的共有性和平面的积聚性直接求解。,投影面垂直线与一般位置平面求交点,利用 交点的共有性和直线的积聚性,采取平面上 取点的方法求解。,求两平面的交线的方法,两特殊位置平面相交,分析交线的空间位置,有时可找出两平面的一个共有点,根据交线 的投影特性画出交线的投影。,一般位置平面与特殊位置平面相交,可利用 特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共 有点,求出交线。,返回,下页,上页,2.
21、4 换面法,一、问题的提出,如何求一般位置直线的实长?如何求一般位置平面的真实大小?,换 面 法:物体本身在空间的位置不动,而用某一新投影面(辅助投影面)代替原有投影面,使物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置,然后将物体向新投影面进行投射。,解决方法:更换投影面。,返回,下页,上页,二、新投影面的选择原则,1.新投影面必须对空间物体处于最有利的解 题位置。,平行于新的投影面 垂直于新的投影面,2.新投影面必须垂直于某一保留的原投影面,以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。,返回,下页,上页,更换一次投影面,A点的两个投影:a,a,A点的两个投影:a,a1,新投影体系的建立,三、点的投影变
22、换规律,返回,下页,上页,ax1,V,H,X,P1,H,X1,a,a,a1,V,H,A,a,ax,X,a1,ax1,新旧投影之间的关系,aa1 X1,a1ax1=aax,点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影 到原投影轴的距离。,ax,a,一般规律:,点的新投影和与它有关的原投影的连线,必垂直 于新投影轴。,.,返回,下页,上页,更换H面,求新投影的作图方法,V,H,X,由点的不变投影向新投影轴作垂线,并在垂线上量取一段距离,使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。,a,a,ax,ax1,ax1,更换V面,作图规律:,返回,下页,上页,更换两次投影面,新投影体系的建立,按次序更换,A,
23、a,V,H,a,ax,X,返回,下页,上页,a,a,X,V,H,求新投影的作图方法,作图规律 a2a1 X2 轴 a2ax2=aax1,ax,返回,下页,上页,四、换面法的四个基本问题,1.把一般位置直线变换成投影面平行线,用P1面代替V面,在P1/H投影体系中,AB/P1。,空间分析:,不行!,作图:,新投影轴的位置?,与ab平行。,返回,下页,上页,2.把一般位置直线变换成投影面垂直线,空间分析:,a,b,a,b,X,V,H,作图:,二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。,X2轴的位置?,与a1b1垂直,一次换面把直线变成投影面平行线;,返回,下页,上页,一般位置直线变换成投影面垂直线,
24、需经几次变换?,3.把一般位置平面变换成投影面垂直面,如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线,那么该平面则变换成新投影面的垂直面。,空间分析:,在平面内取一条投影面平行线,经一次换面后变换成新投影面的垂直线,则该平面变成新投影面的垂直面。,作图方法:,能否只进行一次变换?,思考:若变换H面,需在面内取什么位置直线?,正平线!,返回,下页,上页,a,b,c,a,c,b,X,V,H,例:把三角形ABC变换成投影面垂直面。,作 图 过 程:,在平面内取一条水平 线AD。,将AD变换成新投影 面的垂直线。,反映平面对哪个投影面的夹角?,返回,下页,上页,一次换面,把一般位置平面变换成新投影面的垂
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