设计郑宗汉郑晓明第15章近似算法.ppt

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1、第15章 近似算法,0/1背包MMMSTTSP就是货郎担问题,第15章 近似算法,很多问题的输入数据是用测量方法取得的,存在一定的误差,即输入数据是近似的。很多问题的最优解允许有一定程度的近似,只要误差在一个有效范围内即可。采用近似算法可以在很短时间内得到问题的解(与指数时间相比较)。,15.1 近似算法的性能比,1.近似算法的基本要求算法能在问题规模n的多项式时间内完成;算法的近似解满足一定的精度要求。,2.近似算法的近似比令表示一最小化问题,I是的一个实例,A是求解的一个近似算法,A(I)是近似解值,OPT是求解的最优算法,OPT(I)是最优解值,则近似算法A的近似比为:A(I)=A(I)

2、/OPT(I)若是最大化问题,则A(I)=OPT(I)/A(I),说明:1)对最小化问题,有A(I)OPT(I)对最大化问题,有A(I)OPT(I)2)近似算法的近似比总大于等于13)近似算法的近似比越小,性能越好,A(I)=A(I)/OPT(I)A(I)=OPT(I)/A(I),3.近似算法的相对误差相对误差的定义:,相对误差的界(n):,近似比与相对误差界的关系:(n)A(I)-1,即A(I)1+(n),4.优化问题的近似方案(approximation scheme)很多难解问题可通过增加近似算法的计算量来改善其性能;优化问题的近似方案把满足A(I,)1+（在误差范围内）的一类近似算法A

3、|0称为优化问题的近似方案,这些算法的性能比率会聚于1。,多项式近似方案 若近似方案中的每个算法A均以输入实例规模的多项式时间运行,则称该近似方案为多项式近似方案(Polynomial Approximation Scheme)多项式近似方案中算法的计算时间不随的减少而增长太快。,完全多项式近似方案若近似方案中每个算法的计算时间是1/和n的多项式,则称该近似方案为完全多项式近似方案(Fully Poly-nomial Approximation Scheme),满足三角不等式的旅行商问题 欧几里得旅行商问题:给定赋权无向图G=(V,E),旅行商问题求图中最短Hamilton回路。若图中顶点是平

4、面上的顶点,以任意两顶点之间的欧几里德距离作为它们之间的距离,则为欧几里德旅行商问题。,15.2 欧几里得旅行商问题,算法1.最近邻算法(NN,贪心)kruscal任选一个顶点作为起点,选取最邻近该起点的一个顶点,关联于起点和该顶点的边作为初始旅游通路;令v表示刚加到旅游通路上的新顶点。在不属于该旅游通路上的顶点中选一个最邻近顶点v的顶点v,将关联于v与v的边加到已有旅游通路上;,重复执行(2),逐点扩充旅游通路,直到所有顶点都包含在这条旅游通路上;将形成的旅游通路的起点和终点用边联结,形成所求的旅游回路.NN算法:NN=,算法2.最小生成树算法(MST)对旅行商问题任意实例对应的赋权图,调用

5、最小生成树算法,求其最小生成树;prim O(n2)或 kruscal O(nlogn)复制最小生成树的每条边,即沿每条边来回走两次,形成欧拉图;在这个欧拉图中寻找其欧拉回路;利用“抄近路”方法将欧拉回路变成所求旅游回路(因满足三角不等式,故采用“抄近路”方法不会增加旅游回路的长度)。,定理1.对满足三角不等式的旅行商问题的任意实例I,有MST2证明:因最小生成树长度 OPT(I),AMST(I)2*最小生成树长度,故 AMST(I)2*OPT(I)即 MST(I)=AMST(I)/OPT(I)2,MST算法的实现步骤用Prim或Kruskal算法构造给定赋权图的最小生成树;用深度优先搜索算法

6、遍历最小生成树,得到按先序遍历顺序存放的顶点序号（得到序列）,则数组中顺序存放的顶点序号即为欧几里德TSP的近似解。,算法3.MM算法对旅行商问题任意实例对应的赋权图,调用最小生成树算法,求其最小生成树T;对最小生成树T中顶点的度数为奇数的顶点集V=a1,a2,a2k,调用最小对集（偶数个顶点的完全图）算法,在图G中求出V的最小对集M;（度数为奇数的点一定是偶数个）。,在最小生成树T上添加V的最小对集M,形成欧拉图G;（每个点的度数都是偶数）在欧拉图G中寻找其欧拉回路（找到定点序列）;利用“抄近路”方法将欧拉回路变成所求的旅游回路。,定理2.对满足三角不等式的货郎问题的任意实例I,有MM3/2

7、证明:(1)最小生成树T的边长之和小于最短旅游回路;d(T)OPT(I)(2)因实例满足三角不等式,故赋权图G中经过V中顶点的最短旅游回路长度必小于经过图G中所有顶点的最短旅游回路长度。d(ep)=1/2opt(i),在经过V中顶点的最短旅游回路中,每隔一条边删除一条边,得到V的对集M,而步骤(2)找出的是V的最小对集M。它们之间的关系为:最小对集M中边长度之和 对集M中边长度之和 V中最短回路长度的一半 实例I中最短回路长度的一半因此,步骤(2)中求出的V中最小对集M的边长度之和不会超过实例I中最短回路长度之和的一半;,(3)欧拉图G的所有边长度之和小于实例I中最短回路长度之和的3/2倍;(

8、4)因满足三角不等式,故采用抄近路方法在欧拉图G中找出的旅游回路长度AMM(I)小于实例I中最短回路长度的3/2倍.因此,AMM(I)3/2OPT(I),即MM3/2,有些问题存在性能比会聚于1的近似算法,只要增加算法的运算时间,可使算法的性能比接近于1。,15.5 多项式近似方案,1.0/1背包的多项式近似方案,背包问题:输入:U=u1,u2,un（物体）,V=v1,v2,vn（质量）,P=p1,p2,pn（价值）,C（背包容量）输出:子集SU,使得 uiSviC,max uiSpi按pi/vi降序排序,并依次填入背包。分数背包问题:最优解0/1背包问题:近似解,0/1背包问题贪婪算法的性能

9、比可能无界。例如,U=u1,u2,v1=1,p1=2,v2=p2=C 2 算法所求解为u1,最优解为u2C可能任意大,故性能比可能无界.对算法做简单修改可使性能比为2.,修改算法的步骤:对物体按pi/vi降序排序,并依次装入背包,得到价值为pr的解;挑选一个价值最大的物体装入背包,得到价值为ps;选择pr和ps中较大者作为输出。,算法 Knapsack-Problem近似算法输入:U=u1,u2,un,V=v1,v2,vn,P=p1,p2,pn,C输出:价值最大的子集SU 排序使 p1/v1 p2/v2 pn/vn i0;v0;p0;S;/初始化,while in and vC if vi C

10、-v SSui;vv+vi;pp+pi;ii+1;令S=us,其中us为价值最大物体;If pps return S;else return S.,0/1背包问题的多项式近似方案算法步骤:n个物体按价值体积比递减排序;k=1/;i=0;for(i=0;i=k;i+)for(j=1;j=Cni;j+)2)j=1;3)从n个物体中选取i个物体放进背包,这种选择共有Cni组,选择第j组i个物体,其余物体的选择按贪心算法执行;令结果背包中物体总价值为vj,保存背包中物体序号的数组为kpj;,4)若jCni,j=j+1,则转3),否则转5);5)从Cni组结果中,选取vj最大的一组结果,令其价值为svi

11、,保存相应背包中物体序号的数组为skpi;6)i=i+1;若ik,则转2),否则转7);7)从k+1组结果中,选取svi最大的一组结果,令其价值为v,保存相应背包中物体序号的数组为kp,则v及kp为算法的最终输出结果。,多项式近似方案的性能分析:定理15.4 对某个k1,令=1/k,算法的运行时间为O(knk+1),性能比为1+。证明:1)时间复杂性的证明对每个确定的i,共需进行Cni组选择,执行Cni次knapsack_reedy算法;i由0递增到k,共需执行的循环次数为:,物体排序在算法第一步完成,执行时无需重复执行;每一轮循环中,把物体装入背包的工作量为O(n);因此,算法的总运行时间为

12、O(knk+1)。,2)性能比的证明 令I是背包问题的一个实例,X是相应于最优解的物体集合。有两种情况:若|X|k,则算法第3步Cni组选择中必有一组选择是最优解（遍历了所有种情况）。此时,算法的性能比为1。若|X|k,令Y=u1,u2,uk是X中k个价值最大的物体集合,令Z=uk+1,uk+2,ur是X中其余物体的集合。,平均数：当ik+1时，平均值一直在减少假定对满足k+1 i r-1的所有的i,有,对所有的i,i=k+1,r,有,|X|k,集合Y必是算法第3步中Cni组选择中的某一组选择。算法所选物体一部分包含在集合Z中,另一部分不包含在集合Z中。令不包含在Z中那部分物体为W,必定存在物体um使得Z中uk+1,uk+2,um-1是算法所选物体。,把最优解的结果写成:,把算法的结果写成:,令C为背包中装入物体u1,u2,um-1之后的剩余容量,则有分数背包：,令装入C为算法所有物体之后的剩余容量,即,则有,则对uiW,uiu1,u2,um,放不下了根据算法的贪婪选择性质,有,整理得:,因此,有,由算法的时间复杂性可看出,算法的运行时间是1/和n的多项式时间,故该算法是一个完全多项式近似算法。,