四节幂级数.ppt
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1、第四节 幂级数,一、幂级数二、幂级数的性质,设 是定义在区间(a,b)内的函数(其中至少有一个 不是常数),则称 为定义在(a,b)内的函数项级数.,对于(a,b)内的每一个值,函数项级数都化为常数项级数,即,定义9.5 如果 收敛,则称x0为 的收敛点,级数 的收敛点的全体称为该级数的收敛域.如果 发散,则称x0为 的发散点.,在 的收敛域内有.,记,称S(x)为级数 的和函数.同样称 为 的余项.在收敛域内总有.,一、幂级数,定义9.6 形如,或,(其中 都是常数)的函数项级数,称为幂级数.称 为幂级数的系数,又可称它们为定义在 内的幂级数.前者又称为 的幂级数,后者又称为x的幂级数.,如
2、 为x的幂级数,当 时收敛,其和函数为.当 时,级数发散.收敛域为(1,1),定理9.7(阿贝尔(Abel)定理)(1)在x=0处收敛.,(2)若 在 处收敛,则对于一切适合 的x,绝对收敛.,(3)若 在 处发散,则对于适合 的x,发散.,证明(1)显然.,(2)若级数 收敛,则,存在,使,因此,从而几何级数 收敛.,即 绝对收敛.,定理的第3部分反证法:设 时,收敛,,则依第2部分的结论 在x2处收敛,矛盾.,这表明如果幂级数 在x1处收敛,则在区间 内绝对收敛;如果幂级数在 处发散,则在 之外的任何点x处必定发散.,推论 如果幂级数 不是仅在x=0处收敛,也不是在整个数轴都收敛,则必有一
3、个完全确定的正数R存在,使得,(1)当|x|R时,绝对收敛;,(2)当|x|R时,发散;,(3)当x=R与x=R时,可能收敛,也可能发散.,定义9.7 通常称上述R为幂级数 的收敛半径,称(R,R)为幂级数的收敛区间.,如果对于任意x,幂级数 都收敛,则定义其收敛半径为,收敛区间为.,如果幂级数 仅在x=0处收敛,则定义其收敛半径R=0.,定理9.7 对于幂级数,设,并设,若,证 如果认定x为某确定的数值且,则可以认定 为数项级数.,因此,由正项级数的比值判别法知,当,即 时,绝对收敛,,考察其各项绝对值所构成的数项级数,当,即 时,发散,,所以 是其收敛半径.,当,对于任意的x值,总有,所以
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