加权残值法23ppt课件.ppt

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1、加权残值法,加权残值法（Method Weighted Residual）是一种应用广泛的求解微分方程的方法。该方法先假定一族带有待定参数的定义在全域上的近似函数，该近似解不能精确满足微分方程和边界条件，即存在残差。在加权平均的意义下消除残差，就得到加权残值法的方程。由于试函数定义在全域上，所得方程的系数矩阵一般为满阵。选取不同的权函数,可得到不同的加权参量法。加权残值法为定解问题的近似求解方法。其优点有原理统一，简便，工作量少，计算精度较高。,加权残值法的发展：加权残值法的基本思想在19世纪初就已提出，20世纪20年代，由毕卡（Picone）用来求解微分方程，克兰德（Crandall）将这一

2、方法统一，并定义为加权残值法。国内的情况是20世纪60年代期间，最早由钱令希教授介绍了多种加权残值方法并用于分析薄板力学问题。徐次达教授自60年代开始利用加权残值法求解固体力学问题。自1982年召开“全国加权残数法学术会议”后，我国加权余量法在结构分析领域内的应用已从静力发展到动力、稳定、材料非线性和几何非线性等各方面。,设问题的控制微分方程为:在V域内 在S边界上 式中:L、B分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f、g 为与未知函数u无关的已知函数域值；u为问题待求的未知函数。,加权残值法分类,当利用加权残值法求近似解时，首先在求解域上建立一个试函数，一般具有如下形式：,式中：待定系数，也

3、可称为广义坐标；,取自完备函数集的线性无关的基函数。,由于 一 般只是待求函数u的近似解，若记：,在V域内,在S边界上,显然 反映了试函数与真实解之间的偏差，它们分别称做内部残值和边界残值（Residuals）。,若在域V内引入内部权函数，在边界S上引入边界权函数 则可建立n个消除余量的条件，一般可表示为：,不同的权函数 和 反映了不同的消除余量的准则。从上式可以得到求解待定系数矩阵C的代数方程组。一经解得待定系数，即可得所需求解边值问题的近似解。,由于试函数 的不同，余量 和 可有如下三种情况，依此加权余量法可分为：1内部法 试函数满足边界条件，也即 此时消除余量的条件成为:2边界法 试函数

4、满足控制方程，也即 此时消除余量的条件为:3混合法 试函数不满足控制方程和边界条件，此时用下式来消除余量。,三种方法的对比 在内部法中，对于一般比较规则的边界，选取满足边界条件的试函数是比较容易的。并且，由于边界条件已经满足，所以计算工作量较少。但是对于复杂的边界，这一方法就很不方便。在边界法中，由于基本控制方程已经满足，近似计算仅在边界上进行，因而计算工作量少，精度较高，不足的是，要事先求得不同问题控制方程的泛定解，比较困难。混合法的优点在于，对试函数要求不严，复杂的边界条件和复杂的控制方程都能适应，缺点是计算工作量较大。对于复杂控制方程，简单边界问题，宜采用内部法；对简单控制方程，复杂边界

5、，适合用边界法；对控制方程和边界条件都较复杂的问题，采用混合法较好。这三种方法中，内部法一般应用较多,无论采用何种方法，在建立试函数时均应注意以下几点：(1)试函数应由完备函数集的子集构成。已被采用过的试函 数有幂级数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪夫和勒让德多项式等等。(2)试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高阶导数低一阶的导数连续性。(3)试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联。若计算问题具有对称性，应充分利用它。,基本方法概述,以内部法为例，介绍按权函数分类时加权余量的五种基本方法。对内部法来说，消除余量的统一格式是:,1子域法(Sub domain Method)

6、此法首先将求解域V划分成n个子域，在每个子域内令权函数等于1，而在子域之外取权函数为零，也即:,如果在各个子域里分别选取试函数，那么它的求解在形式上将类似于有限元法。,2.配点法(Collocation Method)子域法是令余量在一个子域上的总和为零。而配点法是使余量在指定的n个点上等于零，这些点称为配点。此法的权函数为:,Dirac(犹拉克)函数又称单位脉冲函数，它的定义为:,P、Pi分别代表求解域内任一点和配点。由于此法只在配点上保证余量为零，因此不需要作积分计算，所以是最简单的加权余量法。,3.最小二乘法(Least Square Method)最小二乘法的基本思想是选取一个试函数，

7、使得在域V内的残值平方积分最小。则极值条件为：若记余量平方和为I(C)，即,由此可见，本方法权函数为:,4.伽辽金法(Galerkin Method)本法是使余量与每一个基函数正交，也即以基函数作为权函数 当试函数 包含整个完备函数集时，用本法必可求得精确解。由于残值方程和试函数中的每一个基函数正交这一性质，不仅保证了解的收敛性，还使得伽辽金法精度高而计算工作量又不算太大，所以该方法应用广泛。,5.矩量法(Method of Moment)本法与伽辽金法相似，也是用完备函数集作权函数。但本法的权函数与伽辽金法又有区别，它与试函数无关。消除余量的条件是从零开始的各阶矩为零，因此 对一维问题 对二

8、维问题 其余类推 这五种基本方法在待定系数足够多(称做高阶近似)时，其精度彼此相近。但对低阶近似(n较小)情况下，后三种的精度要高于前两种。,算例,为说明上述基本概念，以图所示等截面悬臂梁，受满跨均布荷载作用，求悬臂端B的竖向位移 图示梁的控制方程为:,其边界条件为:,若取试函数为:,不难验证其满足边界条件，也即。而控制方程的内部余量 为:,基本方法进行求解子域法解 由于试函数仅一个待定常数，因此只需取一个子域（等于全域）即可，消除余量的条件为:,由此可解得:,代回 式可得:,配点法,可得:若令:,则得:,同上所述，只需选一个配点来建立消除余量的条件。若令:,最小二乘法解此时消除余量的条件为:

9、,可得:,伽辽金法解 此时，消除余量的条件为:,由此可得:,矩量法解 由于只有一个待定常数，因此消除余量条件只需零次矩即可,此时与子域法完全相同。,算例各方法的精度比较本问题的精确解由梁位移计算可得为:,对比计算结果，上述各方法对本例计算的误差依次为:-33.3；1.75（22.2）；13.9；0.96；-33.3。,加权残值法解题的过程：（1）建立问题的控制微分方程和边界条件，初始条件；（2）选取试函数，试函数中包含许多线性无关的试函数项和待定系数；（3）将试函数代入控制微分方程或边界条件，导出包含待定系数的内部残值和边界残值；（4）选用各种不同的方法去消除残值，从而导出一组求解待定系数的代数方程组。由该代数方程组求得待定系数，并代回试函数，即得问题的近似解。,谢谢！,