四章节分解方法及单口网络.ppt

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1、第四章 分解方法及单口网络,回 顾,前面我们学习了电路分析的基本方法：节点法、网孔法、割集法、回路法。要想利用这些方法完成电路分析：首先必须了解整个电路的基本结构，然后选择合适的割集或回路，最好按照基本规律列写相应的方程。上述方法虽然可行，但在某些情况下却并非最好的选择：当电路的结构十分复杂且元件众多时：将导致方程过多当电路的内部情况不明时：上述方法不再适用。例如：P98 练习题44 N是一个内不情况不明的网络，在此，我们利用了线性电路的齐次定理和叠加定理来完成该题；事实上，我们即使知道了N的内部结构，也完全不必去关注它，而只需要把N内部的元件看作是一个整体来解决即可。,单口网络：只有两个端钮

2、与其它电路相连接的网络，称为二端网络。当强调二端网络的端口特性，而不关心网络内部的情况时，称二端网络为单口网络，简称为单口(One-port)。,任何一个网络都可以分解为两个单口网络的组合,本章我们要研究的对象 就是类似N这样的一个网络。,4-1 分解的基本步骤4-2 单口网络的伏安关系4-3 单口网络的置换置换定理4-4 单口网络的等效电路4-5 一些简单的等效规律和公式4-6 戴维南定理4-7 诺顿定理4-8 最大功率传递定理4-9 T型网络和型网络的等效变换,4-1 分解的基本步骤,对于一个复杂的电路而言，如何把它进行分解，以及如何利用分解后的单口网络解决问题呢？我们先看一个简单的例子:

3、,求解a,b处的电压和电流有两种方法：1）联立求解方程；2）在U-i平面上作出两个曲线，两直线的交点即为a,b处的电压和电流,当两个单口网络的端口电压和端口电流求得之后，我们就可以进一步求解网络内部的支路电压和电流，而不必考虑另一网络的影响，就好像另一网络不存在一样，这实际上就简化了电路结构。,分解方法处理电路的最重要两点是：1）如何分解网络;原则上是任意的，但对于具体的电路，划分往往是既定的。2）求取网络的VAR。,单口网络的特性由网络端口端电压与端电流的关系来表征，称伏安关系。,只有两个端钮与其它电路相连接的网络，叫单口网络。,4-2 单口网络的伏安关系,首先，我应该明确以下基本概念：1.

4、元件的VAR是由元件本身性质决定的，和外电路无关。2.一个明确的单口网络的伏安关系同样是由该单口网络的本身性质决定，与外电路无关。3.明确的单口网络：如果在单口网络中不含有任何能通过电或非电的方式与网络之外的某些变量相耦合的元件，即，单口网络除端钮处外与外界没有任何联系，则称该单口网络是明确的。,我们通过具体的例题说明单口网伏安关系的求取方法。,例4-1 求图示单口网络的VAR。,解：法一：利用前面所学知识直接求解U和I,联立解得：,法二：外施激励法.1)外施电压源求电流；2）外施电流源求电压。,例4-2 求含受控源单口网络的VAR。,解：可直接由回路法求得：,结论：含源单口网络的VAR 总可

5、以写成U=A+BI的形式。其中：A、B是由单口网络内部结构所确定的常量。B就是该网络的等效电阻。,例4-3 含纯电阻的单口网络VAR总可以描述为U=BI的形式。B就是其等效电阻。,解得：,作业：4，5,42 单口网络的电压电流关系,单口网络：只有两个端钮与其它电路相连接的网络，称为二端网络。当强调二端网络的端口特性，而不关心网络内部的情况时，称二端网络为单口网络，简称为单口(One-port)。,电阻单口网络的特性由端口电压电流关系(简称为VAR)来表征(它是u-i平面上的一条曲线)。,N1,N2,等效,VAR相同,等效单口网络：当两个单口网络的VAR关系完全相同时，称这两个单口是互相等效的。

6、,利用单口的等效来简化电路分析：将电路中的某些单口用其等效电路代替时，不会影响电路其余部分的支路电压和电流，但由于电路规模的减小，则可以简化电路的分析和计算。,单口的等效电路：根据单口VCR方程得到的电路，称为单口的等效电路。单口网络与其等效电路的端口特性完全相同。一般来说，等效单口内部的结构和参数并不相同，谈不上什么等效问题。,一、线性电阻的串联和并联,1线性电阻的串联,两个二端电阻首尾相联，各电阻流过同一电流的连接方式，称为电阻的串联。图(a)表示n个线性电阻串联形成的单口网络。,用2b方程求得端口的VAR方程为,其中,上式表明n个线性电阻串联的单口网络，就端口特性而言，等效于一个线性二端

7、电阻，其电阻值由上式确定。,2线性电阻的并联,两个二端电阻首尾分别相联，各电阻处于同一电压下的连接方式，称为电阻的并联。图(a)表示n个线性电阻的并联。,求得端口的VAR方程为,其中,上式表明n个线性电阻并联的单口网络，就端口特性而言，等效于一个线性二端电阻，其电导值由上式确定。,两个线性电阻并联单口的等效电阻值，也可用以下公式计算,3线性电阻的串并联,由若干个线性电阻的串联和并联所形成的单口网络，就端口特性而言，等效于一个线性二端电阻，其等效电阻值可以根据具体电路，多次利用电阻串联和并联单口的等效电阻公式(2l)和(22)计算出来。,例2-l 电路如图2-3(a)所示。已知R1=6,R2=1

8、5，R3=R4=5。试求ab两端和cd两端的等效电阻。,为求Rab，在ab两端外加电压源，根据各电阻中的电流电压是否相同来判断电阻的串联或并联。,图23,5,5,10,15,6,6,12,显然，cd两点间的等效电阻为,15,5,5,二、独立电源的串联和并联,根据独立电源的VCR方程和 KCL、KVL方程可得到以下公式：,1n个独立电压源的串联单口网络，如图2-4(a)所示，就端口特性而言，等效于一个独立电压源，其电压等于各电压源电压的代数和,图24,其中与uS参考方向相同的电压源uSk取正号，相反则取负号。,图24,2.n个独立电流源的并联单口网络，如图2-5(a)所示，就端口特性而言，等效于

9、一独立电流源，其电流等于各电流源电流的代数和,与iS参考方向相同的电流源iSk取正号，相反则取负号。,图25,就电路模型而言，两个电压完全相同的电压源才能并联；两个电流完全相同的电流源才能串联，否则将违反 KCL、KVL和独立电源的定义。发生这种情况的原因往往是模型设置不当，而需要修改电路模型。,例2-2 图2-6(a)电路中。已知uS1=10V,uS2=20V,uS3=5V,R1=2,R2=4,R3=6和RL=3。求电阻RL的电流和电压。,图26,将三个串联的电阻等效为一个电阻，其电阻为,由图(b)电路可求得电阻RL的电流和电压分别为：,解:为求电阻RL的电压和电流，可将三个串联的电压源等

10、效为一个电压源，其电压为,图26,例2-3 电路如图2-7(a)所示。已知iS1=10A,iS2=5A,iS3=1A,G1=1S,G2=2S和G3=3S，求电流i1和i3。,图27,解：为求电流i1和i3，可将三个并联的电流源等效为一个电 流源，其电流为,得到图(b)所示电路，用分流公式求得：,图27,三、含独立电源的电阻单口网络,一般来说，由一些独立电源和一些线性电阻元件组成的线性电阻单口网络，就端口特性而言，可以等效为一个线性电阻和电压源的串联，或者等效为一个线性电阻和电流源的并联。可以通过计算端口VCR方程，得到相应的等效电路。,例2-4 图2-8(a)单口网络中。已知uS=6V，iS=

11、2A，R1=2,R2=3。求单口网络的VCR方程,并画出单口的等效电路。,图28,解：在端口外加电流源i，写出端口电压的表达式,其中:,根据上式所得到的单口等效电路是电阻Ro和电压源uOC的串联，如图(b)所示。,图28,例25 图2-9(a)单口网络中,已知uS=5V,iS=4A,G1=2S,G2=3S。求单口网络的VAR方程,并画出单口的等效电路。,解:在端口外加电压源u，用2b 方程写出端口电流的表达式为,其中:,根据上式所得到的单口等效电路是电导Go和电流源iSC的并联，如图(b)所示。,图29,14A,5S,例2-6 求图210(a)和(c)所示单口的VCR方程，并画出单 口的等效电

12、路。,解：图(a)所示单口的VCR方程为,根据电压源的定义，该单口网络的等效电路是一个电压为uS的电压源，如图(b)所示。,图210,图210,图(c)所示单口VCR方程为,根据电流源的定义，该单口网络的等效电路是一个电流为iS的电流源，如图(d)所示。,图210,四、含源线性电阻单口两种等效电路的等效变换,相应的两种等效电路，如图(a)和(c)所示。,含源线性电阻单口可能存在两种形式的VAR方程，即,式(2-7)改写为,单口网络两种等效电路的等效变换可用下图表示。,令式(26)和(28)对应系数相等，可求得等效条件为,例27 用电源等效变换求图2-12(a)单口网络的等效电路。,将电压源与电

13、阻的串联等效变换为电流源与电阻的并联。,将电流源与电阻的并联变换为电压源与电阻的串联等效。,图212,五、用单口等效电路简化电路分析,图213,假如图2-13(a)所示电路N能分解为图2-13(b)所示的两个单口网络的连接，就可以用单口的等效电路来代替单口Nl(或 N2)，使电路的支路数和结点数减少，从而简化电路分析。,由于单口与其等效电路的VCR方程完全相同，这种代替不会改变电路其余部分N2(或 Nl)的电压和电流。,当仅需求解电路某一部分的电压和电流时，常用这种方法来简化电路分析。现举例加以说明。,图213,例28 求图2-14(a)电路中电流i。,解：可用电阻串并联公式化简电路。具体计算

14、步骤如下：先求出3和1电阻串联再与4电阻并联的等效电阻Rbd,图214,得到图(b)电路。再求出6和2电阻串联再与8并联的等效电阻Rad,得到图(c)电路。由此求得电流,例29 求图2-15(a)电路中电流i。,解：用电源等效变换公式，将电压源与电阻串联等效变换为 电流源与电导并联，得到图(b)电路。用分流公式求得,图215,例210 求图2-16(a)电路中电压u。,(2)再将电流源与电阻并联等效为一个电压源与电阻串联，得到图(c)所示单回路电路。由此求得,解：(1)将1A电流源与5电阻的串联等效为1A电流源。20V 电压源与10电阻并联等效为20V电压源，得到图(b)电路。,图216,4-

15、3 单口网络的置换置换定理,一、置换定理:在任意网络(线性或非线性)中,若某一支路的电压为u,电流为i，则该支路可以用以下3 种元件中的任意一种来替代，而不影响网络的其它电压和电流。亦称替代定理。电压为u的电压源；或电流为i的电流源；阻值为U/I的电阻。,前面已经讲过，当获得单口网络的VAR后，就可以联立求解（或曲线相交），求得端口处的电压和电流，从而进一步求出单口网络的内部支路电压和电流。单口网络中的支路电压和电流如何求取？置换定理就解决这一问题的。,图（b）电压源置换电压极性相同,图（c)电流源置换电流方向相同,置换定理的价值在于：一旦网络中某支路电压或电流成为已知量时，则可用一个独立源来

16、置换该支路或单口网络NL，从而简化电路的分析与计算。置换定理对单口网络NL并无特殊要求，它可以是非线性电阻单口网络和非电阻性的单口网络。,例 1：求图示电路在I=2A时，20V电压源发出的功率。,解：用2A电流源替代电阻Rx和单口网络 N2,列出网孔方程：,求得：,例2：图(a)电路中，已知电容电流iC(t)=2.5e-tA，用 置换定理求i1(t)和i2(t),解：图(a)电路中包含一个电容，它不是一个电阻电路。用 电流为iC(t)=2.5e-tA的电流源置换电容，得到图(b)所示 线性电阻电路，用叠加定理求得：,例3：图(a)电路中g=2S。试求电流I。,解：先用分压公式求受控源控制变量U

17、,用电流为gU=12A的电流源置换受控电流源，得到图(b)电路，该电路不含受控电源，可以用叠加定理求得电流为,4-4 单口网络的等效电路,44 单口网络的等效电路 从戴维宁-诺顿定理的学习中知道，含源线性电阻单口网络可以等效为一个电压源和电阻的串联或一个电流源和电阻的并联图(b)和(c)。只要能计算出确定的uoc,isc和Ro 图(d)、(e)、(f)，就能求得这两种等效电路。（图见下页）,图421,1.计算开路电压uoc的一般方法是将单口网络的外部负载断开，用网络分析的任一种方法，算出端口电压uoc。如图421(d)所示。,图421,2.计算isc的一般方法是将单口网络从外部短路，用网络分析

18、的任一种方法，算出端口的短路电流isc，如图421(e)所示。,3.计算Ro的一般方法是将单口网络内全部独立电压源用短路代替，独立电流源用开路代替得到单口网络 No，再用外加电源法或电阻串并联公式计算出电阻Ro，如图421(f)所示。还可以利用以下公式从uoc,isc和Ro中任两个量求出第三个量：,例415 求图4-22(a)所示单口的戴维宁-诺顿等效电路。,解：为求uoc，设单口开路电压uoc的参考方向由 a指向 b，如图(a)所示。注意到i=0，由KVL求得,图422,为求isc,将单口短路，并设isc的参考方向由 a指向 b，如图(b)所示。,图422,为求Ro，将单口内的电压源用短路代

19、替，得到图(c)电路，用电阻并联公式求得,根据所设uoc和isc的参考方向及求得的uoc=4V,isc=0.5A,Ro=8，可得到图(d)和(e)所示的戴维宁等效电路和诺顿等效电路。,本题可以只计算uoc、isc 和Ro中的任两个量，另一个可用式(410)计算出来。例如uoc=Roisc=80.5V=4V isc=uoc/Ro=4V/8=0.5A Ro=uoc/isc=4V/0.5A=8,例4-16 图4-23(a)表示某低频信号发生器。现用示波器或高内阻交流电压表测得仪器输出的正弦电压幅度为1V。当仪器端接900负载电阻时，输出电压幅度降为0.6V，如图(b)所示。(l)试求信号发生器的输出

20、特性和电路模型；(2)已知仪器端接负载电阻RL时的电压幅度为0.5V，求电阻RL。,图423,解：(l)就该信号发生器的输出特性而言，可视为一个含源 电阻单口网络，在线性工作范围内，可以用一个电压 源与线性电阻串联电路来近似模拟，仪器端接负载电 阻RL时的电压为,代入已知条件可求得电阻Ro,上式可改写为,该信号发生器的电路模型为1V电压源与600电阻的串联。,(2)由式(411)可求得输出电压幅度为0.5V时的负载电阻,实际上，许多电子设备，例如音响设备，无线电接收机，交、直流电源设备，信号发生器等，在正常工作条件下，就负载而言，均可用戴维宁诺顿电路来近似模拟。,此例指出了求含源线性电阻单口网

21、络输出电阻Ro的一种简单方法，即在这些设备的输出端接一个可变电阻器(如电位器)，当负载电压降到开路电压一半时，可变电阻器的阻值就是输出电阻。,最后还要说明的一个问题是：并非任何含源线性电阻单口网络都能找到戴维宁诺顿等效电路。一般来说，外加电流源具有惟一解的单口存在戴维宁等效电路；外加电压源具有惟一解的单口存在诺顿等效电路。某些含受控源的单口网络外加电压源和电流源时均无惟一解(无解或无穷多解)，它们就既无戴维宁等效电路，又无诺顿等效电路。,例如图(a)所示单口网络，其端口电压和电流均为零，即u=i=0，其特性曲线是u-i平面上的坐标原点，如图(b)所示。该单口不存在戴维宁等效电路和诺顿等效电路。

22、,4-5 一些简单的等效规律和公式,45一些简单的等效规律和公式,利用求出VCR的方法来解决单口网络的等效电路问题自然是最根本的途径，因为它是直接由等效电路的定义得出的。但在某些情况下，可以直接使用由此得出一些结论和公式，而不必每次都从外施电源求VCR着手，这样往往能迅速地解决问题。求串联电阻的等效电阻公式便是大家早已熟悉的；例子。为此研究一些简单的单口网络，它们是有电压源、电流源和电阻等三种元件中每次取两个元件作窜连或并联组成的，共计十二种情况。至于含受控源的单口，即便结构简单，一般也需以内感外施电源求VCR的方法来处理，并无公式可以直接套用。（1）两电压源串联 设一单口网络由两电压源串联组

23、成，如图4-22（a）,所示，在任何外接电路下，都可得到 u=us1+us2 对所有电流i（4-16）这一VCR可与图（b）所示单个电压源的VCR完全一致，只要该电压源的电压 us=us1+us2（4-17）因此，今后在遇到图（a）所示电路时，可直接运用（4-17）式求得其等效电路如图（b）所示。,（a）,（b）,图4-22 两电压源的串联及其等效电路,（4-17）式不难推广到几个电压源各种不同极性相串联的情况。（2）两电压源并联 电压源的并联一般都将违背KVL，因而是不可能的，只有如图4-23（a）所示相同电压源作极性一致的并联才是允许的，此时其等效电路即为其中任一电压源图（b）。,（a）,

24、（b）,图4-23 两相同电压源的并联及其等效电路,（3）两电压源并联 两电流源is1和is2作如图4-24（a）所示并联，其等效电路为一个电流源，其值为 is=is1+is2 对所有电压u（4-18）论证与（1）相似。（4）两电流源的串联 电流源的串联一般都将违背KCL，只有在电流源的电流都相等且方向一致时，串联才是允许的，此时其等效电路即为其中任一电流源（图4-25）。（5）两电阻的串联 两电阻R1和R2串联，其等效电路为 图请见下页：,R=R1+R2（4-19）的电阻。这是大家早已熟知的结果。（6）两电阻的并联 两电阻R1和R2并联，其等效电路为 R=R1R2/（R1+R2）（4-20）

25、的电阻。这是大家早已熟知的结果。（7）电压源与电流源的并联（8）电压源与电阻的并联 这两种情况可归结为图4-26（a）所示电路，其中N可为电流源或电阻。这一单口网络的VCR是 u=us 对所有的电流i（4-21）这是因为N的存在与否并不能影响端口电压的大小，端 口电压总等于电压源的电压。N的存在虽然会使电压源的电流有所改变，但由于电压源的电流可为任意值，因,此端口电流也仍为任意值。因此，图（a）所示单口网络的等效电路当如图（b）所示，亦即等效电路就是电压本身！从端口等效的观点，N称为多余（redundant）元件。N不一定只是一个电流源或是一个电阻。与电压源并联的单口网络，从等效的观点来看，都

26、是多余的，例如（2）中所述的电压源并联的另一个相同电压的电压源即属此种情况。（9）电流源与电压源的串联（10）电流源与电阻的串联 这两种情况可归结为图4-27（a）所示电路。根据（7）（8）情况讨论中类似的理由，与电流源串联的元件或单口网络，从端口等效观点来看，是多余的。图（a）所示单口网络的等效电路就是电流源本身，如图（b）所示。,（11）电压源与电阻的串联（12）电流源与电阻的并联 这两种情况也可合并讨论。以上已讨论过的十种情况其等效电路都只含一个元件，也就是说，以上所述的电路都可以进行简化，用一个元件来代替原来电路而VCR不变。目前所述的这两种含两元件的电路却都是无法再进行化简的。但它们

27、却具有另一特点，这就是：满足一定的条件，它们可以互为等效电路，亦即它们可以互相替换而保持VCR不变。,i,R,（a）,（b）,图4-28（a）电压源串联电阻电路（b）电流源并联电阻电路,为说明这一点，先分别写出这两种情况电路的VCR。由4-28（a）可知电压源串联电阻电路的VCR为 u=us-Ri（4-22）由图4-28（b）可知电流源并联电阻电路的VCR为 i=i s-（u/R）（4-23）为便于和（4-22）比较，（4-23）式可改写为 u=Ri s-i R（4-24）比较（4-22）、（4-24）两式，显然，如果满足如下条件：R=R（4-25）us=Ri s 或 i s-=us/R（4-

28、26）两个 VCR式完全相同，亦即这两电路是等效的。图4-29表明根据（4-25）（4-26）两公式对图4-28所示两电路进行的等效变换。请注意互换时电压源电压的极性与电流源电流的方向的关系。还请注意，两电路中R是一样的，,但连接方式不同。在电路分析中，图4-29所示等效变换是很有用的，必须很好掌握。,i,us,a,b,a,a,is,b,图4-29 图4-28两电路的等效变换,（a）,（b）,图4-28所示两电路可用作实际电源的模型，当实际电源的内阻不能忽略，因而不能只用电压源或电流源作为模型时便可采用，此时图中的R表示电源的内阻。采用哪一种模型都是可以的，它们各自从不同的角度反映实际电源对外

29、的表现采用图（a）所示的模型，电源是用参数us 和R来表征的，是从对外提供的电流来反映电源的表现；采用图（b）所示模型电源是用i s和R来表征的，是从对外提供的电流来反映电源的表现的。确实，当满足等效条件（4-25）、（4-26）式时，图4-28两电路的VCR曲线将是如图4-30中实线表示的同一直线（实际上是两条VCR曲线的重叠），这条曲线近似反映了实际电源向外电路供电是因存在内阻而引起的电源端电压或电流的减少。从电压角度看，由于内阻的压降（图中用虚线段a表示）电源的端电压将为u而不是us，u us;从电流角度看,由,于内阻的分流(图中用虚线段b表示)电源的端电流将为i而不是is,iis.采用

30、哪一种模型,实际上是想用(4-22)式还是用(4-23)式表征电源的问题.模型并不反映电源的内部结构,两种不同形式的电路模型只是为了正确反映(4-22)式或(4-23)式所需.,u,i,b,a,us,Ris,u,us/R,is,i,图4-30 满足(4-25)(4-26)式时,图4-28两电路的伏安特性曲线,例4-9 重新求解例4-4，指定须利用N1和N2的等效电路求解端口处的电压、电流。解 求N1的等效电路，因含受控源无公式可供直接使用,仍需用外施电源法求得其VCR后得出（参看例4-2和例4-4）.由 u=28+16i 可知在所示规定u和i的参考方向下,其等效电路如图4-31所示 至于N2的

31、等效电路则可利用本节有关公式逐步化简后求得其后求得,其过程如图4-32所示.,i,i,由图4-33所示等效电路可求得:i=(8-28)/(16+4)A=-1A u=28v+16i=12v与例4-4中,求得的结果一致.下一步骤为利用置换定理求解i1和u2,从略.,图4-32 例4-4N2的等效电路,i,i,+,+,+,-,-,-,28v,8v,4,16,u,图4-33 利用等效电路求端口的u和i,第一节 电阻的串并联等效变换法,一、串联电路,n个电阻串联：,串联电路的分压：,二、并联电路,n个电阻并联：,两并联电阻的分流：,I1,I2,I,三、串并联电路,例2-1 求 ab两端口的等效电阻,2,

32、a c cb c d,a cb d,1,4,2,4,4,四、电路中的等电位点,指不改变电路连接关系，两个或两个以上节点相对于任一参考点具有相同电位的情况，可依据电路的对称特点判断。,由于等电位点之间电位差为0，电流为0，将它们断开或短接均不影响电路计算。,c和d为等电位点,断开c、d,短路c、d,Rab 不变,例：,4-6 戴维南定理,46 戴维南定理,由第二章已经知道，含独立电源的线性电阻单口网络，可以等效为一个电压源和电阻串联单口网络，或一个电流源和电阻并联单口网络。本章介绍的戴维宁定理和诺顿定理提供了求含源单口网络两种等效电路的一般方法，对简化电路的分析和计算十分有用。这两个定理是本章学

33、习的重点。本节先介绍戴维南定理。,戴维宁定理：含独立电源的线性电阻单口网络N，就端口特性而言，可以等效为一个电压源和电阻串联的单口网络图(a)。电压源的电压等于单口网络在负载开路时的电压uoc；电阻Ro是单口网络内全部独立电源为零值时所得单口网络No的等效电阻 图(b)。,图46,uoc 称为开路电压。Ro称为戴维宁等效电阻。在电子电路中，当单口网络视为电源时，常称此电阻为输出电阻，常用Ro表示；当单口网络视为负载时，则称之为输入电阻，并常用Ri表示。电压源uoc和电阻Ro的串联单口网络，称为戴维宁等效电路。,当单口网络的端口电压和电流采用关联参考方向时，其端口电压电流关系方程可表为,戴维宁定

34、理可以在单口外加电流源i，用叠加定理计算端口电压表达式的方法证明如下。,在单口网络端口上外加电流源i,根据叠加定理，端口电压可以分为两部分组成。一部分由电流源单独作用(单口内全部独立电源置零)产生的电压u=Roi 图(b)，另一部分是外加电流源置零(i=0)，即单口网络开路时，由单口网络内部全部独立电源共同作用产生的电压u”=uoc 图(c)。由此得到,此式与式(44)完全相同，这就证明了含源线性电阻单口网络，在端口外加电流源存在惟一解的条件下，可以等效为一个电压源uoc和电阻Ro串联的单口网络。,只要分别计算出单口网络N的开路电压uoc和单口网络内全部独立电源置零(独立电压源用短路代替及独立

35、电流源用开路代替)时单口网络No的等效电阻Ro，就可得到单口网络的戴维宁等效电路。下面举例说明。,例45 求图4-8(a)所示单口网络的戴维宁等效电路。,解：在单口网络的端口上标明开路电压uoc的参考方向，注意到i=0，可求得,图48,将单口网络内1V电压源用短路代替，2A电流源用开路代替，得到图(b)电路，由此求得,根据uoc的参考方向，即可画出戴维宁等效电路，如图(c)所示。,图48,例46 求图4-9(a)所示单口网络的戴维宁等效电路。,解；标出单口网络开路电压uoc的参考方向，用叠加定理求 得uoc为,图49,将单口网络内的2A电流源和 电流源分别用开路代替，10V电压源用短路代替，得

36、到图(b)电路，由此求得戴维宁等效电阻为,根据所设uoc的参考方向，得到图(c)所示戴维宁等效电路。其uoc和Ro值如上两式所示。,图49,例47 求图4-10(a)单口网络的戴维宁等效电路。,图410,解：uoc的参考方向如图(b)所示。由于i=0，使得受控电流 源的电流3i=0，相当于开路，用分压公式可求得uoc为,为求Ro，将18V独立电压源用短路代替，保留受控源，在 a、b端口外加电流源i，得到图(c)电路。通过计算端口电压u的表达式可求得电阻Ro,图410,例48 已知r=2，试求该单口的戴维宁等效电路。,解：在图上标出uoc的参考方向。先求受控源控制变量i1,求得开路电压,图411

37、,将10V电压源用短路代替，保留受控源，得到图(b)电路。由于5电阻被短路，其电流i1=0，致使端口电压u=(2)i1=0，与i为何值无关。由此求得,这表明该单口等效为一个4V电压源，如图(c)所示。,图411,戴维宁定理在电路分析中得到广泛应用。当只对电路中某一条支路或几条支路(记为NL)的电压电流感兴趣时，可以将电路分解为两个单口网络NL与N1的连接，如图(a)所示。用戴维宁等效电路代替更复杂的含源单口N1，不会影响单口NL(不必是线性的或电阻性的)中的电压和电流。代替后的电路图(b)规模减小，使电路的分析和计算变得更加简单。,注：网络内含有受控源等双口耦合元件时，应将两条支路 放在同一单

38、口网络内。,例49 求图4-13(a)所示电桥电路中电阻RL的电流i。,解：断开负载电阻RL，得到图(b)电路，用分压公式求得,图413,将独立电压源用短路代替，得到图(c)电路，由此求得,用戴维宁等效电路代替单口网络，得到图(d)电路，由此求得,图413,从用戴维宁定理方法求解得到的图(d)电路和式(47)中，还可以得出一些用其它网络分析方法难以得出的有用结论。例如要分析电桥电路的几个电阻参数在满足什么条件下，可使电阻RL中电流i为零的问题，只需令式(47)分子为零，即,由此求得,这就是常用的电桥平衡(i=0)的公式。根据此式可从已知三个电阻值的条件下求得第四个未知电阻之值。,例410 图4

39、-14(a)是MF30型万用电表测量电阻的电原 理图。试用戴维宁定理求电表测量电阻时的电流I。,图414,解：万用电表可用来测量二端器件的直流电阻值。将被测 电阻接于电表两端，其电阻值可根据电表指针偏转的 角度，从电表的电阻刻度上直接读出。为了便于测量 不同的电阻，其量程常分为R1,R10,R100,R1k等 档，用开关进行转换。图(a)是一个含源线性电阻单口网络，可用戴维宁定理来简化电路分析。,式中Imax=US/Ro是电表短路(Rx=0)时指针满偏转的电流。,先将图中虚线部分用一个2k电阻来模拟(当2.8k电位器的滑动端位于最上端时，它是10k和2.5k电阻的并联)。图(b)是该电表的电路

40、模型，可进一步简化为图(c)所示的电路。由此求得电表外接电阻 Rx时的电流：,上式表明，当被测电阻Rx 由变化到0时，相应的电流I则从0变化到Imax；当被测电阻与电表内阻相等(Rx=Ro)时，I=0.5Imax，即指针偏转一半，停留在电表刻度的中间位置，当开关处于R1，R10，R100，R1k的不同位置时，可以求得电阻Ro分别为25，250，2500，25k左右，相应的满偏转电流Imax分别为50mA，5mA，0.5mA和50A(设US=1.25V)。若电池的实际电压US大于1.25V，则可调整2.8k电位器的滑动端来改变Imax，使指针停留在0处(称为电阻调零)。,例411 求图4-15(

41、a)电路中电流I1和I2。,图415,解：图(a)是一个非线性电阻电路，但去掉两个理想二极管 支路后的图(b)电路是一个含源线性电阻单口网络，可 用戴维宁等效电路代替。由图(b)求得开路电压,由图(c)求得等效电阻,用3V电压源与8电阻的串联代替图(b)所示单口网络，得到图(d)所示等效电路。由于理想二极管D2是反向偏置，相当于开路，即I2=0，理想二极管D1是正向偏置，相当于短路，得到图(e)所示等效电路。由图(e)求得,例412 电路如图4-16(a)所示，其中g=3S。试求Rx为何值 时电流I=2A，此时电压U为何值?,图416,解：为分析方便，可将虚线所示的两个单口网络 N1和 N2

42、分别用戴维宁等效电路代替，到图(b)电路。单口N1 的开路电压Uoc1可从图(c)电路中求得，列出KVL方程,解得,为求 Ro1，将20V电压源用短路代替，得到图(d)电路，再用外加电流源I计算电压U的方法求得Ro1。列出KVL方程,解得,再由图(e)电路求出单口 N2的开路电压Uoc2和输出电阻Ro2,最后从图(b)电路求得电流I 的表达式为,令 I=2A，求得Rx=3。此时电压U 为,或,4-7 诺顿定理,4-7 诺顿定理,一、诺顿定理 诺顿定理：含独立源的线性电阻单口网络N，就端口特性而言，可以等效为一个电流源和电阻的并联图(a)。电流源的电流等于单口网络从外部短路时的端口电流isc；电

43、阻Ro是单口网络内全部独立源为零值时所得网络 No的等效电阻图(b)。,isc称为短路电流。Ro称为诺顿电阻，也称为输入电阻或输出电阻。电流源isc和电阻Ro的并联单口，称为单口网络的诺顿等效电路。,在端口电压电流采用关联参考方向时，单口的 VCR方程可表示为,诺顿定理的证明与戴维宁定理的证明类似。在单口网络端口上外加电压源u 图(a)，分别求出外加电压源单独产生的电流图(b)和单口网络内全部独立源产生的电流i=-isc 图(c)，然后相加得到端口电压电流关系式,上式与式(49)完全相同。这就证明了含源线性电阻单口网络，在外加电压源存在惟一解的条件下，可以等效为一个电流源isc和电阻Ro的并联

44、。,例413 求图4-19(a)单口网络的诺顿等效电路。,解：为求isc，将单口网络从外部短路，并标明短路电流isc 的参考方向，如图(a)所示。由 KCL和VCR求得,图419,为求Ro，将单口内电压源用短路代替，电流源用开路代替，得到图(b)电路，由此求得,根据所设isc的参考方向，画出诺顿等效电路图(c)。,图419,例414 求图4-20(a)所示单口的戴维宁-诺顿等效电路。,解：为求isc,将单口网络短路，并设isc的参考方向如图(a)所 示。用欧姆定律先求出受控源的控制变量i1,得到,图420,为求Ro，将10V电压源用短路代替，在端口上外加电压源u，如图(b)所示。由于i1=0，

45、故,求得,或,由以上计算可知，该单口等效为一个4A电流源图(c)。该单口求不出确定的uoc，它不存在戴维宁等效电路。,图420,二、戴维宁诺顿定理在电路调试中的应用,一个新的电子产品往往需要调整电路的某些元件参数来改善其电气性能。戴维宁诺顿定理能在不知道电路结构和参数的情况下，指出元件参数变动时电压和电流变化的规律，对调试工作十分有用，这是其它电路分析方法难以做到的。,如果要调整实际电路中任一电阻RL的电压和电流，如图(a)所示，可以将电路其余部分用戴维宁诺顿电路来模拟，得到图(b)和(c)所示电路模型，由此可以得到,这是工作于线性区的任何电阻电路中任一电阻电压和电流的一般表达式，由此可看到电

46、路参数变化对电压、电流的影响。,图426,例如对于Ro0的情况，可以得出以下结论：1欲提高电路中任一电阻RL的电压，应增加其电阻值。电压随电阻RL变化的具体规律由式(412a)确定，如图(a)曲线所示。由曲线可见，当电阻RL由零逐渐增加到无穷大时，电压u将从零逐渐增加到最大值uoc，且当RL=Ro时,u=0.5uoc，即电阻电压为开路电压的一半。若要电阻电压大于开路电压，即uuoc，则需调整电路其它元件的参数来提高uoc。,2欲减小电路中任一电阻RL的电流，应增加其电阻值。电流随电阻RL变化的具体规律由式(412b)确定，如图426(b)曲线所示。,图426,读者可用类似方法分析负载换为电压源

47、、电流源或二极管时电压、电流变化的规律，导出一些定性和定量的结果，这对电路的设计与调试十分有用。从以上分析可见，戴维宁诺顿定理不仅可以简化电路分析和计算，也是分析和调试电路的有力工具。,由曲线可见，当电阻RL由零逐渐增加到无穷大时，电流i将从最大值isc逐渐减小到零，且当RL=Ro时，i=0.5isc，即电阻电流为短路电流的一半。若要电阻电流大于短路电流，即iisc，则需调整电路其它元件的参数来提高isc。,4-8 最大功率传递定理,48 最大功率传递原理,本节介绍戴维宁定理的一个重要应用。在测量、电子和信息工程的电子设备设计中，常常遇到电阻负载如何从电路获得最大功率的问题。这类问题可以抽象为

48、图(a)所示的电路模型来分析,网络N表示供给电阻负载能量的含源线性电阻单口网络，它可用戴维宁等效电路来代替，如图(b)所示。电阻RL表示获得能量的负载。此处要讨论的问题是电阻RL为何值时，可以从单口网络获得最大功率。,写出负载RL吸收功率的表达式,欲求p的最大值，应满足dp/dRL=0，即,由此式求得p为极大值或极小值的条件是,由于,由此可知，当Ro0,且RL=Ro时，负载电阻RL从单口网络获得最大功率。,最大功率传输定理：含源线性电阻单口网络(Ro0)向可变电阻负载RL传输最大功率的条件是：负载电阻RL与单口网络的输出电阻Ro相等。满足RL=Ro条件时，称为最大功率匹配，此时负载电阻RL获得

49、的最大功率为,满足最大功率匹配条件(RL=Ro0)时，Ro吸收功率与RL吸收功率相等，对电压源uoc 而言，功率传输效率为=50%。对单口网络 N中的独立源而言，效率可能更低。电力系统要求尽可能提高效率，以便更充分的利用能源，不能采用功率匹配条件。但是在测量、电子与信息工程中，常常着眼于从微弱信号中获得最大功率，而不看重效率的高低。,例417 电路如图4-28(a)所示。试求：(l)RL为何值时获得最大功率；(2)RL获得的最大功率；(3)10V电压源的功率传输效率。,图428,解：(l)断开负载RL，求得单口网络 N1的戴维宁等效电路参 数为：,如图428(b)所示，由此可知当RL=Ro=1

50、时可获得最大功率。,图428,(2)由式(414)求得RL获得的最大功率,(3)先计算10V电压源发出的功率。当RL=1时,10V电压源发出37.5W功率，电阻RL吸收功率6.25W，其功率传输效率为,例418 求图4-29(a)所示单口网络向外传输的最大功率。,解：为求uoc，按图(b)所示网孔电流的参考方向，列出网 孔方程：,图429,整理得到,解得：,图429,为求isc,按图(c)所示网孔电流参考方向，列出网孔方程,整理得到,解得isc=3A,得到单口网络的戴维宁等效电路，如图(d)所示。由式(414)或(415)求得最大功率。,为求Ro，用式(410)求得,思考与练习,44l 当负载