微积分上复习.ppt

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1、,微积分（上）知识点,微积分(上),微积分（上）复习,第一章 函数,1.函数概念,函数的两要素：定义域Df和对应规则f,由f(x)求 f(x),2.函数的基本性质,奇偶性、单调性、有界性与周期性,3.反函数的概念,本义反函数、矫形反函数,单调函数一定存在反函数。,4.经济函数,成本函数、收益函数、利润函数,同步练习P1 一、4，12，9,微积分上知识点,第二章 极限与连续,1.极限存在的充要条件,2.无穷小与无穷大的概念与性质,（1）无穷小,有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。有界量与无穷小量的积仍是无穷小。,同步练习P3 一、20二、12,微积分上知识点,（2）无穷大,无穷大与有界变量的代数

2、和是无穷大.无穷大与非零常数的乘积是无穷大.无穷大与无穷大的乘积是无穷大.无穷大与无穷大和不一定是无穷大.,（3）无穷小与无穷大关系,等价无穷小替换必须是因子。,微积分上知识点,3.连续函数的概念,(2)闭区间连续函数的性质,最值定理,有界性定理,介值定理,零点定理,(极限计算代入法的理论基础),同步练习P4 一、29,同步练习P6 四、2,微积分上知识点,(3)间断点,第一类间断点(左右极限都存在的点).,跳跃间断点(左右极限不相等),可去间断点(左右极限相等),第二类间断点(左右极限至少有一个不存在的点).,非无穷间断点 例如：振荡,无穷间断点(左右极限至少有一个为),同步练习P5 二、1

3、5,微积分上知识点,4.两个重要极限,第一重要极限,第二重要极限,同步练习P4 二、4,微积分上知识点,5.极限的计算,(1)确定型极限的计算:,主要利用极限运算法则、无穷小与有界变量的乘积仍为无穷小、无穷大与无穷小的关系。,(2)未定式极限的计算:,等价无穷小替换、分解因式（或根式有理化）约去零因子、第一个重要极限、洛比达法则,分子、分母同除一个无穷大、洛比达法则,第二个重要极限,化乘法为除法,通分或根式有理化,幂指函数未定式借助对数恒等变形转化为基本型,同步练习P6 一、4，11，14二、1，6,微积分上知识点,第三章 导数与微分,1.导数的概念和几何意义,切线方程：,2.导数的计算,(1

4、)求导公式及四则运算法则,注：定义式求导：分段函数分段点某点是否可导未知用公式求导太繁。,同步练习P6 一、6二、2，3，4,同步练习P7 一、23,微积分上知识点,(2)复合函数求导链式法则,(4)对数求导法,方程两边同时对 x 求导,再解以y为未知数的方程.,(3)隐函数求导法,先方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.,(5)高阶导数,只须逐阶求导:,同步练习P6 一、13，33，35二、6，9，16,微积分上知识点,(6)幂指函数求导法,取自然对数化为隐函数再求导.利用对数恒等式化为以e为底的复合函数,再求导.,3.微分的概念及计算,(1)微分公式及四则运算法则,(2)微分形

5、式不变性,(3)微分的近似计算,同步练习P6 一、8，28，31,微积分上知识点,4.连续、可导、可微的关系,5.边际与弹性,6.分段函数的连续与可导判断,边际成本,边际收益,表示销售第(x+1)个产品所增加的收入近似值.,边际利润,表示销售第(x+1)个产品所增加的利润近似值.,表示生产第(x+1)个产品所增加的成本近似值.,当价格为p 时，若提价(降价)1%，则需求量将减少（增加）,同步练习P7 一、27二、5,微积分上知识点,第四章 中值定理与导数的应用,1.中值定理,(1)罗尔定理,(2)拉格朗日中值定理,(3)柯西中值定理,推论:,微积分上知识点,(4).中值定理及推论证明等式和不等

6、式,等式的 f(x)=A 证明,含有 f()等式的证明,证明含有某函数在两点的函数值之差 f(b)f(a)的不等式,同步练习P10 一、1五、3，4,微积分上知识点,2.罗比塔法则,(1)罗比塔法则适用范围:,(2)罗比塔法则技巧,使用法则前，进行等价无穷小因子替换或用极限不为零因子的极限值置换，要尽可能简化极限表达式；极限存在的“项”，先分离出去。数列的极限要先转化为函数的极限，才能使用法则。,利用罗比塔法则求极限,使用前检查是否满足条件,一定是对分子分母分别求导;可以连续使用.,微积分上知识点,3.单调区间与极值,(1)写出函数的定义域；(2)求驻点y=0和y 不存在的点；(3)列表考察所

7、求的点将定义域分成的若干子区间内y的符号，判定函数的单调性，确定极值点。,4.凹凸区间与拐点,(1)写出函数的定义域；(2)求y=0和y 不存在的点；(3)列表考察所求的点将定义域分成的若干子区间内y“的符号，判定区间内的凹凸，确定拐点。,微积分上知识点,5.最值与应用题,(1)所有驻点和不可导点的函数值与区间两端点函数值比较,可得最值;(2)实际问题中的最值：一般是唯一的极值转化为实际问题的最值（注意极值的判定方法）；(3)利用最值证明不等式：要证f(x)A或(f(x)A),只需证明A 是f(x)的最值。,6.渐近线,(1)水平渐近线,(2)铅垂渐近线,同步练习P12 四、7,微积分上知识点

8、,(3)斜渐近线,7.微分法作图(三点一线作图法),同步练习P10一、8，13二、3四、8,微积分上知识点,8.泰勒中值定理与泰勒公式,麦克劳林公式,第五章 不定积分1.原函数与不定积分的概念：F(x)是f(x)在I上的一个原函数.,函数f(x)在I上连续，或最多有有限个有限间断点，f(x)在I上原函数存在，即f(x)在I上可积。,不定积分是所有原函数的集合。,微积分上知识点,2.不定积分的性质：,不定积分的线性性质：,不定积分与求导互逆运算的性质：,微积分上知识点,按方法分有,3.不定积分的计算：,第一换元法（凑微分）,微积分上知识点,第二换元法,分部积分公式,微积分上知识点,按被积函数分有

9、,有理函数积分，重点是真分式的积分。真分式先化为部分分式之和，再积分。,真分式分解法：待定系数法（比较系数法、赋值法）恒等变形法（配项法）,真分式的积分：,微积分上知识点,微积分上知识点,微积分上知识点,微积分上知识点,积分计算的关键:如何根据被积函数的类别以及表达式的特征，迅速地选择恰当的积分方法。,4.不定积分的应用,已知切线，求原函数的曲线；已知边际函数求成本、收益、利润函数。,微积分上知识点,一.填空（每题 2分，共20分）,2009-2010微积分（上）试卷,一.填空（每题 2分，共20分）,2009-2010微积分（上）试卷,二.单项选择（每题2分，共10分）,2009-2010微

10、积分（上）试卷,二.单项选择（每题2分，共10分）,2009-2010微积分（上）试卷,2009-2010微积分（上）试卷,三、计算题（每题7分，共49分）,2009-2010微积分（上）试卷,三、计算题（每题7分，共49分）,解：,2009-2010微积分（上）试卷,2009-2010微积分（上）试卷,解：,解：,2009-2010微积分（上）试卷,解：,解：,2009-2010微积分（上）试卷,令,四、应用题（每题8分，共16分）,解：,列表讨论:,拐点,2009-2010微积分（上）试卷,2.已知某企业某商品的需求函数为，求（1）求P=6时，若价格上涨2%，总收入如何变化？（2）价格为多

11、少时，总收入最大？,(1)需求弹性:,2009-2010微积分（上）试卷,解：,收入的价格弹性:,价格上涨2%，即:,2009-2010微积分（上）试卷,P=6时，若价格上涨2%，总收入将增加1.34%,(2),2009-2010微积分（上）试卷,五、证明题（5分）,证明:,满足罗尔定理的所有条件,完,一.填空（每题 3分，共15分）,2006-2007微积分（上）试卷,二.单项选择（每题3分，共15分）,2006-2007微积分（上）试卷,2006-2007微积分（上）试卷,2006-2007微积分（上）试卷,三、计算题(一)（每题5分，共15分）,2006-2007微积分（上）试卷,三、计

12、算题(一)（每题5分，共15分）,2006-2007微积分（上）试卷,三、计算题(一)（每题5分，共15分）,2006-2007微积分（上）试卷,三、计算题(一)（每题5分，共15分）,2006-2007微积分（上）试卷,四、计算题(二)（每题7分，共35分）,2006-2007微积分（上）试卷,四、计算题(二)（每题7分，共35分）,切线方程为:,2006-2007微积分（上）试卷,四、计算题(二)（每题7分，共35分）,对方程两边求导:,对(1)式两边求导:,2006-2007微积分（上）试卷,四、计算题(二)（每题7分，共35分）,2006-2007微积分（上）试卷,四、计算题(二)（每

13、题7分，共35分）,取对数:,求导:,得唯一驻点:,对(1)式求导:,2006-2007微积分（上）试卷,四、计算题(二)（每题7分，共35分）,2006-2007微积分（上）试卷,五、应用题（每题8分，共16分）,2006-2007微积分（上）试卷,列表讨论:,极小,拐点,拐点,2006-2007微积分（上）试卷,五、应用题（每题8分，共16分）,2.设某商品销售单价为5元,生产中可变成本为每单位3.75元,又因产量与广告费A之间的关系为,且生产的产品经广告宣传后全部销售,求产品利润最大时的最优广告投入A.,成本:,收益:,利润:,2006-2007微积分（上）试卷,利润:,2006-2007微积分（上）试卷,六、证明题（4分）,证明:,满足罗尔定理的所有条件,完,2006-2007微积分（上）试卷,2006-2007微积分（上）试卷,2006-2007微积分（上）试卷,2006-2007微积分（上）试卷,2006-2007微积分（上）试卷,2006-2007微积分（上）试卷,2006-2007微积分（上）试卷,2006-2007微积分（上）试卷,