自动控制原理根轨迹法.ppt
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1、1,第四章,线性系统的根轨迹法,2,第四章 线性系统的根轨迹法,根轨迹法的基本概念,二 根轨迹绘制的基本法则,三 广义根轨迹,四 系统性能分析,本章主要内容:,3,本章要求,1、正确理解根轨迹的概念;2、掌握根轨迹的绘制法则,能熟练绘制根轨迹;3、了解广义根轨迹;4、能根据根轨迹定性分析系统指标随参数变化的趋势;5、掌握确定闭环零极点及计算系统动态指标的方法。,第四章 线性系统的根轨迹法,4,一、根轨迹法的基本概念(1),本节主要内容:1、根轨迹概念 2、根轨迹与系统性能 3、闭环零极点与开环零极点的关系 4、根轨迹方程,5,4-1-1 根轨迹概念1、根轨迹,一、根轨迹法的基本概念(2),开环
2、系统(传递函数)的每一个参数从零变化到无穷大时,闭环系统特征方程根在 s平面上的轨迹称为根轨迹。,2、举例说明A 控制系统如图,6,B 闭环传递函数,一、根轨迹法的基本概念(3),其闭环传递函数为:,C 闭环特征方程 特征方程式可写为,7,一、根轨迹法的基本概念(4),D 特征方程的根 特征方程式的根为E s平面根轨迹 见右图,8,4-1-2 根轨迹与系统性能1、稳定性当开环增益从零变到无穷时,上面图中的根轨迹不会越过虚轴进入右半s平面,因此对所有的K值都是稳定的。,一、根轨迹法的基本概念(5),2、稳态性能开环系统在坐标原点有一个极点,所以系统属I型系统,因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系
3、数。如果给定系统的稳态误差要求,则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。,9,3、动态性能当0K0.5时,所有闭环极点位于实轴上,系统为过阻尼系统,单位阶跃响应为非周期过程;当K0.5时,闭环两个实数极点重合,系统为临界阻尼系统,单位阶跃响应仍为非周期过程,但响应速度较0K0.5情况为快;当K0.5时,闭环极为复数极点,系统为欠阻尼系统,单位阶跃响应为阻尼振荡过程,且超调量将随K值的增大而加大。,一、根轨迹法的基本概念(6),10,4-1-3闭环零极点与开环零极点的关系 1、典型控制系统 系统特征方程为,一、根轨迹法的基本概念(7),11,2、前向通路传递函数 在一般情况下,前向通路传递函
4、数可表示为,一、根轨迹法的基本概念(8),:前向通路增益:前向通道根轨迹增益,12,3、反馈通路传递函数 在一般情况下,反馈通路传递函数可表示为,一、根轨迹法的基本概念(9),:反馈通道根轨迹增益,13,4、开环传递函数 系统的开环传递函数可表示为,一、根轨迹法的基本概念(10),14,5、闭环传递函数将前向通路传递函数G(s)和反馈通路传递函数H(s)代入得,一、根轨迹法的基本概念(11),15,6、开闭环零极点关系(1)闭环系统根轨迹增益,等于开环系统前向通路根轨迹增益。对于单位反馈系统,闭环系统根轨迹增益等于开环系统根轨迹益。(2)闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递数的极
5、点所组成。对于单位反馈系统,闭环零点就是开环零点。(3)闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益 均有关。,一、根轨迹法的基本概念(12),16,4-1-4 根轨迹方程1、系统闭环特征方程 由闭环传函可得系统闭环特征方程为:,一、根轨迹法的基本概念(13),2、根轨迹方程 当系统有m个开环零点和n个开环极点时,下式称为 根轨迹方程,17,3、根轨迹相角条件(充分必要条件),一、根轨迹法的基本概念(14),4、根轨迹模值条件 用来确定根轨迹上各点得 值,模值条件为 根据这两个条件,可以完全确定s平面上的根 轨迹和根轨迹上对应的 值。,18,二、根轨迹绘制的基本法则,本节主要内容:1、绘制根轨迹
6、的基本方法 2、根轨迹法则应用举例 3、闭环极点的确定,19,本节讨论绘制概略根轨迹的基本法则和闭环极点的确定方法。在下面的讨论中,假定所研究的变化参数是根轨迹增值,当可变参数为系统的其它参数时,这些基本法则仍然适用。应当指出的是,用这些基本法则绘出的根轨迹,其相角遵循条件,因此称为 根轨迹,相应的绘制法则也就可以叫做 根轨迹的绘制法则。,二、根轨迹绘制的基本法则(1),20,4-2-1 根轨迹绘制基本法则 法则1 根轨迹的起点和终点。根轨迹起始于开环极点,终止于开环零点。证明:设闭环系统特征方程为 式中 可以从零变到无穷。当 时,有 说明 时,闭环特征方程式的根就是开环传递函数 G(s)H(
7、s)的极点,所以根轨迹必起于开环极点。,二、根轨迹绘制的基本法则(2),21,将特征方程改写为如下形式:当 时,由上式可得 所以根轨迹必终于开环零点。,二、根轨迹绘制的基本法则(3),22,法则2 根轨迹的分支数和对称性 根轨迹的分支数与开环极点数n相等(nm),或与开 环有限零点数m相等(nm)。根轨迹连续:根轨迹增益是连续变化导致特征根也连 续变化。实轴对称:特征方程的系数为实数,特征根必为实数 或共轭复数。,二、根轨迹绘制的基本法则(4),23,法则3根轨迹渐近线当 nm 时,则有(n-m)条根轨迹分支终止于无限零点。这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定。,与实轴夹
8、角,与实轴交点,二、根轨迹绘制的基本法则(5),24,法则4 实轴上的根轨迹:若实轴的某一个区域是一部分根轨迹,则必有:其右边(开环实数零点数+开环实数极点数)为奇数。这个结论可以用相角条件证明。任一点位于根轨迹上的充要条件,是相角条件成立。考虑到这些相角中的每一个相角都等于,减去 就相当于 加上 角。于是,点位于根轨迹上的等效条件是:,二、根轨迹绘制的基本法则(6),25,法则5 根轨迹分离点 两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即分开的点称为分离点(会合点)。分离点的坐标 d 由下列方程所决定:,二、根轨迹绘制的基本法则(7),26,或注:(1)根轨迹出现分离点说明对应是特征根
9、出现了重根。(2)若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点(包括 无限零点)或开环极点(包括无限极点),则在此 段根轨迹上必有分离点。(3)分离点若在复平面上,则一定是成对出现的。,二、根轨迹绘制的基本法则(8),27,例 绘制图示系统大致的根轨迹解:(1)开环零点 开环极点 根轨迹分支数为3条,有两个无穷远的零点。(2)实轴上根轨迹,二、根轨迹绘制的基本法则(9),28,(3)趋向无穷远处的渐近线的夹角与交点(4)分离点(用试探法求解),二、根轨迹绘制的基本法则(10),29,法则6根轨迹的起始角和终止角起始角:根轨迹离开复平面上开环极点处的切线与实轴 的夹角。终止角:根轨迹进入复平面上开环零
10、点处的切线与实轴 的夹角。,二、根轨迹绘制的基本法则(11),30,法则7 根轨迹与虚轴的交点 交点对应的根轨迹增益 和角频率 可以用劳斯判据或令闭环特征方程中的,然后分别令其实部和虚部为零来确定。实际上若根轨迹与虚轴相交,则表示闭环系统存在纯虚根,这意味着的数值使闭环系统处于临界稳定状态。,二、根轨迹绘制的基本法则(12),31,法则8 根之和。系统的闭环特征方程在nm的一般情况下,可以有不同形式的表示 式中,为闭环特征根。,二、根轨迹绘制的基本法则(13),32,当 时,特征方程第二项系数与 无关,无论 取何值,开环n个极点之和总是等于闭环特征方程n个根之和在开环极点确定的情况下,这是一个
11、不变的常数。所以,当开环增益 增大时,若闭环某些根在 平面上向左移动,则另一部分根必向右移动。,二、根轨迹绘制的基本法则(14),33,例 设单位反馈系统的开环传递函数为试绘制闭环系统根轨迹。解:首先将 写成零、极点标准形式,二、根轨迹绘制的基本法则(19),34,由法则15可知,本例有两条根轨迹分支,它们分别起于开环复数极点,终于有限零点和无限零点。因此,在 上,必存在一个分离点,其方程为 经整理,可以求得 和,显然应取,根轨迹图见下张片子。,二、根轨迹绘制的基本法则(20),35,二、根轨迹绘制的基本法则(21),36,例 设系统开环传递函数为 试绘制该系统概略根轨迹。解:将开环零、极点画
12、在后面图中。按如下典型步骤 1)确定实轴上的根轨迹。本例实轴上区域 和 为轨迹。2)确定根轨迹的渐近线。本例n4,m3,故只有 一条 的渐近线。,二、根轨迹绘制的基本法则(22),37,3)确定分离点。本例无分离点。4)确定起始角与终止角。根轨迹在极点 处的 起始角为 类似方法可算出根轨迹在复数零点 处的终止角 为 根轨迹图见下一张。各开环零、极点到 的向量相角也在下面图中显示。,二、根轨迹绘制的基本法则(23),38,二、根轨迹绘制的基本法则(24),39,二、根轨迹绘制的基本法则(25),40,例 设系统开环传递函数为 试绘制闭环系统的概略根轨迹。解:按下述步骤绘制概略根轨迹:1)确定实轴
13、上的根轨迹。实轴上 区域必为根轨迹。2)确定根轨迹的渐近线。由于,故有四条根轨迹 渐近线,其,二、根轨迹绘制的基本法则(26),41,3)确定分离点。本例没有有限零点,故于是分离点方程为 用试探法算出4)起始角。量测各向量相角,算得5)确定根轨迹与虚轴交点。本例闭环特征方程式为,二、根轨迹绘制的基本法则(27),42,应用劳思判据,有令劳思表中 行的首项为零,得。根据 行的系数,得如下辅助方程代入 并令,解出交点坐标。,二、根轨迹绘制的基本法则(28),43,根轨迹与虚轴相交时的参数,也可用闭环特征方程直接求出。将 代入特征方程,可得实部方程为 虚部方程为因此根轨迹与虚轴交点坐标应为。将所得
14、值代入实部方程,立即解出。所得结果与劳思表法完全一样。整个系统概略根轨迹如下一张图所示。,二、根轨迹绘制的基本法则(29),44,二、根轨迹绘制的基本法则(30),45,本节主要内容:1、参数根轨迹 2、附加开环零点的作用 3、零度根轨迹,三、广义根轨迹,46,三、广义根轨迹(1),广义根轨迹是指根轨迹参数除了开环增益之外的所有根轨迹。通常,将负反馈系统中 变化时的根轨迹叫做常规根轨迹。,47,4-3-1 参数根轨迹参数根轨迹:以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹。绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的法则完全相同。只要在绘制参数根轨迹之前,引入等效单位反馈系统和等效传递函数概念,则常规根轨迹的
15、所有绘制法则,均适用于参数根轨迹的绘制。,三、广义根轨迹(2),48,对闭环特征方程进行等效变换,将其写为如下形式:其中,为除 外,系统任意的变化参数,而 和为两个与 无关的首一多项式。可得等效单位反馈系统,其等效开环传递函数为 画出的根轨迹,就是参数 变化时的参数根轨迹。,三、广义根轨迹(3),49,例 设位置随动系统如图所示。图中,系统为比例控制系统,系统为比例微分控制系统,系统为测速反馈控制系统,表示微分器时间常数或测速反馈系数。试分析 对系统性能的影 响,并比较系统 和在具有相 同阻尼比 时的有关特点。,三、广义根轨迹(4),50,解:显然,系统和具有相同的开环传递函数,即 但它们的闭
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