微分方程组的定性理论.ppt

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1、2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,微分方程组的定性理论,平面自治系统的基本概念平面定性理论简介,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,平面系统基本概念,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,平面自治系统的三个基本性质,积分曲线的平移不变性；轨线的唯一性；如果系统满足解的存在唯一性定理得条件，则在相平面上的任一点存在一条且唯一一条轨线群的性质(暂不讲)；,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,群的定义(暂不讲),设为二元代数系统，满足如下性质：（1）在G中是可结合的，即a,b,cG，都有(a b)c=a(b c)；（2）G中存在关于的幺

2、元e，即e G，使得a G，都有e a=a e=a；（3）G中每个元素a都有逆元，即aG，都a-1G，使得a=a=e。则我们称二元代数系统为群（Group）。,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,自治系统的轨线的类型,不动点闭轨自不相交的非闭轨线,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,结点,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,星形结点,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,单向结点,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,结点的特征,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,鞍点,2011-2012第一学期,经济

3、和金融中的数学方法,鞍点的特征,存在一个邻域，使得其中恰有两条轨线（不一定是直线）沿着相反的方向（不一定是坐标轴的方向）进入此不动点；又恰有另外两条轨线沿着另一相反的方向(不必与前一方向垂直，但必与前者不一致)离开此不动点；一切其他轨线当t增加或减少时都将离开此邻域,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,焦点,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,焦点的特征,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,中心的特征,存在一个被闭轨线(但不一定是圆)所充满的领域，这族闭轨线一个套一个，逐渐缩小而趋于中心点，但没

4、有哪一条闭轨线通过中心点,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,高阶不动点,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,高阶不动点,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,一般的平面常系数线性系统的不动点附近的轨线分布,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,变换 的性质,坐标原点不变；闭曲线经过变换后，所得曲线仍未闭曲线；代数曲线的次数保持不变直线变成直线 曲线保持形状不变,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,结论,轨线结构的不变性上述各种情形下的轨线，经过线性变换后得到的方程(1)的轨线，其结点型、鞍点型、焦点型以及中心型的轨线

5、结构分布是不变的趋向原点的方向不变结点焦点的稳定性不变,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,初等不动点分类总结,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,如何作出相图？,先判断不动点的类型和稳定性,然后利用以下性质,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,实例,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中

6、的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,非线性方程组的不动点(奇点)分类,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,问题：,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,星型和单向（退化）结点,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2

7、011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,极限环,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,极限环,平面微分方程的孤立的周期轨称为极限环。如果某周期轨两侧的轨线都以螺旋式趋近于周期轨，则此周期轨称为是稳定的（或吸引的）。如果某周期轨两侧的轨线都以螺旋式远离周期轨，则此周期轨称为是不稳定的（或排斥的）。,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,极限环,2011-2012第一学期,经济和金融中的数学方法,极限环,