系统的数学模型.ppt

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1、第二章 系统的数学模型,所谓系统的数学模型就是描述系统输入输出关系的数学表达式。建立起控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、设计、综合，是控制系统的基本研究方法。,本章主要内容1）线性微分方程式的建立及微分方程线性化的方法2）拉普拉斯变换及传递函数概念3）系统方块图和信号流程图的概念,第一节 引 言,一、系统的数学模型,数学模型就是系统的输出与输入间的数学表达式。分为静态模型和动态模型。静态模型：在静态条件下得到的方程。一般用代数方程来表示。动态模型：在动态条件下得到的方程。一般用微分方程式来描述。,工程上常用的数学模型包括微分方程、传递函数和状态方程，微分方程是基本的数学模型，

2、是列写传递函数的基础。,系统的数学模型可以从理论分析和试验的方法来获取，两种方法是相辅相成的。理论分析可以大致确定数学模型的阶次、参数与结构，而试验的方法可以最终确定数学模型的形式。,从理论上建立系统的数学模型，常称为理论建模。这往往是困难的。为建立一个系统的理想的数学模型，必须注意到以下几点：,1、必须对元件或系统的构造、工作情况有足够的了解。,分布参量集中化。,非线性因素线性化。,时变参量定常化。,3、不同元件或系统应采用与之相应的物理定律来建立输入与输出的关系。如机械系统常用牛顿定律、电气系统采用基尔霍夫定律等。这是建立数学模型的基础。,2、忽略一些次要的因素，进行合理的简化。,忽略次要

3、因素或数值上比较小的因素。,二、线性系统,如果系统的数学模型是线性的，这种系统称为线性系统。一个系统，无论是用代数方程还是用微分方程来描述，其组成项的最高指数称为方程的次数。一次微分方程叫做线性微分方程；除此以外非一次的微分方程称为非线性微分方程。,微分方程中，无论是因变量或者是它的导数，都不高于一次方，并且没有一项是因变量与其导数之积，则此微分方程就是线性微分方程。用这种方程描述的系统称为线性系统。,下列微分方程描述的系统为线性系统。,下列微分方程描述的系统为非线性系统。,1.线性系统的齐次性,如果系统在输入x(t)作用下的输出为y(t)，并记为,x(t)y(t),则 kx(t)ky(t),

4、称为齐次性。式中k为常数。,线性系统具有齐次性。,线性系统最重要的特性，就是叠加原理。,若系统在输入x1(t)作用下的输出为y1(t),而在另一个输入x2(t)作用下的输出为y2(t)，并记为,x1(t)y1(t)x2(t)y2(t),则以下关系,x1(t)+x2(t)y1(t)+y2(t)称为叠加性或叠加原理,叠加原理说明，两个不同的输入函数，同时作用于系统的响应，等于两个输入函数单独作用的响应之和。因此，线性系统对几个输入量的响应，可以一个一个的处理，然后对它们的响应结果进行叠加。,2.线性系统的叠加性,三.非线性系统,用非线性方程表示的系统，叫做非线性系统。,虽然许多物理关系常以线性方程

5、来表示，但是在大多数情况下，实际的关系并非是真正线性的。事实上，对物理系统进行仔细研究后可以发现，即使对所谓的线性系统来说，也只是在一定的工作范围内或忽略去那些影响较小的非线性因素所引起的误差，工程上又允许的话，这一系统就可以作为线性系统来处理。图 2-1为工程上常见的非线性特性曲线。,当输入信号较小而工作在线性区时，可看作线性元件；当输入信号较大而工作在饱和区时，就必须作为非线性元件来处理。在实际系统中，有时还人为的引入饱和特性，以便对控制信号进行限幅，保证系统或元件在额定或安全情况下运行。,饱和非线性,当输入信号在一定范围内变化时，具有饱和特性的环节其输入输出呈线性关系；当输入信号x的绝对

6、值超出其线性范围后，输出信号不再随输入信号变化而保持在一常值上。具有饱和特性的元件如放大器、调节器等。,只有当输入信号幅值大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关系。例如各种测量元件的不灵敏区，调节器和执行机构的死区，以及弹簧预紧力等。当死区很小时，或对系统的性能不会产生不良影响时，可将它作为线性特性处理；当死区较大时，将使系统静态误差增加，有时还会造成系统低速不平滑性。在工程实践中，为了提高系统的抗干扰能力，有时故意引入或增大死区。,死区非线性,死区特性又称不灵敏特性，图中横坐标为输入，纵坐标为输出。由此可见，当输入信号在零附近变化时，系统输出为零。,间隙非线性,传动机构的间隙也是控制系统中

7、一种常见的非线性特性现象。在机械传动中，由于加工精度的限制及运动件相互配合的需要，总会有一定的间隙存在。例如齿轮传动，为保证转动灵活不发生卡死现象，必须容许有少量间隙。,由于间隙的存在，当机构做反向运动时，主动齿轮（其转角为输入信号x(t)）总要转过间隙量2 x的空行程后才能推动从动齿轮（其转角为输出信号y(t)）转动，形成如图所示的环状间隙特性。,在机械传动中，摩擦是必然存在的物理因素。例如执行机构由静止状态启动，必须克服机构中的静摩擦力矩y1。启动之后，又要克服机构中的动摩擦力矩y2。一般静摩擦力矩大于动摩擦力矩。如图所示。相应的数学表达式为,摩擦间隙非线性,非线性系统重要的特性，是不能应

8、用叠加原理。因此，对包含有非线性系统的问题求解，其过程通常是非常复杂的。为了绕过由非线性系统而造成的数学上的难关，常需引入“等效”线性系统来代替非线性系统。如饱和非线性（图a）和死区非线性（图b）。这种等效线性系统，仅在一定的工作范围内是正确的，而对于那些本质的非线性（图c、图d），则用线性化处理的数学模型来近似的表示非线性系统。在第三节中，将介绍线性化处理的方法。,第二节 线性微分方程式的建立,一建立线性微分方程式的步骤,1、首先将系统划分为若干个环节，确定每一环节的输入信号和输出信号。确定输入信号和输出信号时，应使前一环节的输出信号是后一环节的输入信号。,2、写出每一环节（或元件）输出信号

9、和输入信号相互关系的运动方程式，找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联系的物理规律。而这些物理定律的数学表达式就是环节（或元件）的原始方程式。在此同时再做一些数学上的处理，如非线性函数的线性化，忽略一些次要因素等。,3.消去中间变量，列出各变量间的关系式。最后得到只包含输入量和输出量的方程式。,4.化成标准形式，即输出量放在方程式的左端，而输入量放在方程式的右端，且各阶导数项其阶次依次按幂排列,*建立数学模型的基础：机械运动：牛顿定理、能量守恒定理 电 学：欧姆定理、基尔霍夫定律 热 学：传热定理、热平衡定律,机械系统设备大致分两类：平移的和旋转的。它们之间的区别在于前者施加的

10、力而产生的是位移，而后者施加的是扭矩产生的是转角。牛顿定律和虎克定律等物理定律是建立机械系统数学模型的基础,二举例,1机械系统的微分方程式,机械运动系统的三要素,质量 M,弹簧 K,阻尼 B,机械运动的实质：牛顿定理、能量守恒定理,实例,（1）平移运动如图所示机械系统。求其微分方程，图中Xi 表示输入位移，Xo 表示输出位移，假设输出端无负载效应。（c、c1、c2为阻尼系数，k1、k2为弹性系数）,解：（1）对图a所示系统，由牛顿定律有,即,消除中间变量x有,（2）对图b所示系统，引入一中间变量x并由牛顿定律有：,(3)对图c所示系统，由牛顿定律有,即,（2）机械旋转系统 图2-3 所示的转动

11、惯量为J的转子与弹性系数为k的弹性轴和阻尼系数为B的阻尼器连接。假设外部施加扭矩m(t),则系统产生一个偏离平衡位置的角位移(t)。现研究外扭矩m(t)和角位移(t)的关系。,图2-3 具有惯性矩、扭矩和阻尼器的旋转系统,列出系统原始方程：在平衡位置时，外加扭矩m(t)应与惯性矩m1(t)阻尼矩m2(t)和弹性阻力矩m3(t)平衡，即,（2-3）,式中,所以系统的运动方程式为,（2-4）,2电气系统的微分方程 电气系统和元件种类繁多，但根据有关电、磁及电路的基本定律，无论其结构多么复杂，总可以建立起相应的数学模型的。电气系统的微分方程主要根据基尔霍夫定律和电磁感应定律等基本物理规律列写,图2-

12、4 所示的系统中，ui(t)为输入电压，uo(t)为输出电压。,根据基尔霍夫定律和欧姆定律，有,（2-5）,（2-6),（2-7）,（2-8）,图2-4无源电路,将方程联立求解，消去中间变量i1(t)、i2(t)、i3(t)后，即可得到以ui(t)为输入量，以uo(t)为输出量的电路微分方程式，即：,（2-9）,第三节 非线性系统的线性化,实际上，所有元件和系统都不同程度地具有非线性特性，例如：元件的死区、传动的间隙和摩擦，在大输入信号作用下元件的输出量的饱和以及元件存在的非线性函数关系等等,由于非线性有各种不同的类型，所以也没有解析求解的通用方法。,具有本质非线性特性的系统，只能用非线性理论

13、去处理。,对于非线性函数的线性化方法有两种。一种是忽略非线性因素。如果非线性因素对系统的影响很小，就可以忽略。如死区、磁滞以及某些干摩擦等，一般情况下就可以忽略。另一种方法就是切线法，或称微小偏差法。,在工作中，控制系统各个变量偏离其平衡值一般都比较小，因此，对于具有非本质非线性特性的系统，可以采用小偏差线性化的方法求取近似的线性微分方程以代替原来的非线性微分方程。,切线法：如果工程中存在着一些元件（或系统）其输出与输入的静态关系如图2-5所示。系统在平衡点A(x0、y0)工作，当输入量x在平衡点A附近很小范围内变化时，输入与输,图2-5 非线性特性线性化的几何意义,出关系可以近似用切于A点的

14、一段直线BC来代替实际的曲线BC,这种代替虽然存在误差，但在工程实际中，其误差是允许的。,若BC的斜率为k，则输入与输出关系可以表示为:,式中y为在平衡点A附近输出量的变化；,x为在平衡点A附近输入量的变化；,由此可见，一个非线性系统，如果在平衡点附近工作时，就可以用线性关系描述其输出与输入的关系。,当非线性关系可以用解析关系描述时，且仍然在平衡点附近工作，系统的线性关系应该如何表达呢？下面就来分析此种情况。,非线性关系如果可用下述解析形式表达时,（2-11）,平衡工作点为A(x0、y0),则（2-11）式在平衡点展成泰勒级数为,（2-12）,假设(x-x0)很小，则可以忽略高次项，而只保留一

15、次项，则（2-12）可以写成,（2-13）,式中,所以，式（2-13）变为：,（2-14）,即,如果输出量y为两个输入量x1与x2的函数时，即,（2-15）,为了得到线性系统的近似线性关系，仍然在平衡点展成泰勒级数，即：,（2-16）,当系统在平衡点附近工作，忽略高次项，于是（2-16）式可以写成:,（2-17）,式中,(2-17)式又可以写成：,为了书写方便起见，增量y与x均可以用变量y与x代替，但在理解时，应看作在工作点附近小范围内的关系。,这样，（2-10）式、（2-14）式与（2-18）则可以分别写成为,（2-19）,（2-20）,这里需指出，前面所讲过的线性化方法只能用在没有间断点、

16、折断点的非线性特性，即所谓非本质非线性特性。,例2-1 图2-6为一液面系统。Qr为流入液量，Qc为流出液量,h为液面高度，S为容器截面积，在h变动内为恒值。列出液面波动的运动方程式。,解：系统原始方程式：,以Qr为输入量，以h为输出量。根据物质守恒定律可得,由流量公式可知,式中决定于流通管道面积及其结构形式的参数。结构一定时，在Qc变化的一定范围内，可近似地认为恒值,显然式（2-23）是一个非线性方程式。,对上式进行线性化处理，首先确定额定工作点和静态方程式：额定工作点为（Qr0、h0),静态方程式为：,将非线性函数 线性化：,代入(2-21)式中消去Qc,可得液面运动方程式,（2-23）,

17、将方程式的瞬时值用它的额定值和微小增量之和来表示,从上式减去静态方程式，可得式（2-23）的线性化方程式：,线性化有如下特点：,（1）线性化是相对某一额定工作点进行的。工作点不同，得到的线性化微分方程的系数也不同；,（2）若使线性化具有足够的精度，调节过程中变量偏离工作点的偏差信号必须足够小；,（3）线性化后的运动方程是相对额定工作点以增量来描述的。因此，可以认为其初始条件为零；,（4）线性化只能运用没有间断点、折断点和非单值关系的函数，对具有本质非线性元件的非线性系统是不适用的。,第四节 拉普拉斯变换,利用拉普拉斯变换，可将微分方程转换为代数方程，使求解大为简化，因而拉普拉斯变换成为分析工程

18、控制系统的基本数学方法之一。,一.拉普拉斯变换的定义,设f(t)是实变量t的单值函数，在t0的任一有限区间上是连续的或至少是分段连续的。并且当t趋于无穷大时，f(t)是指数级数的。即存在一个正实数，在t趋于无穷大时，它使函数e-tf(t)趋近于零。则f(t)的拉普拉斯变换F(s)定义为：,2-25,式中S是一个实部大于的复变量。L为拉氏变换运算符。通常称f(t)为原函数、F(s)为拉氏变换函数或原函数的象函数。拉氏变换定义式中，其积分的下限为零。但是，若函数f(t)在t=0处有突跳，这就存在积分下限是从正的一边趋向于零，还是从负的一边趋向于零，即积分下限是取0+还是0-的问题。因为对于这两种下

19、限，f(t)的拉氏变换是不同的。我们采用如下标记区分这种差别：,例2-2 求 的拉氏变换。,u(t)为单位阶跃函数，见图2-7（a）。即,（a）单位阶跃函数图-7函数曲线,解：利用（2-25）式，可得,注：当u(t)不为单位阶跃函数，为,时，,例2-3 求单位斜坡函数f(t)=t的拉氏变换。,单位斜坡函数如图2-7（b）所示，定义为,解：利用（2-25）式，可得,利用分部积分公式,令,（b）单位斜坡函数 图2-7函数曲线,所以,例2-4求单位脉冲函数的拉氏变换。,单位脉冲函数如图-7（c）所示。定义为,并且,式中f(0)表明t=0时刻的f(t)的函数值。,（c）单位脉冲函数图2-7函数曲线,且

20、(t)有如下特性,解：因这种函数在t=0有突跳，L+(t)不能反映它在0-,0+区间的特性，故应取L-(t)。利用（2-25）式求得的拉氏变换为,注：,例2-5求指数函数f(t)=eat的拉氏变换,解：利用（2-25）式，可得,例2-6求正弦函数f(t)=sint的拉氏变换。,解：利用（2-25）式，可得,由欧拉公式,所以,表2-1常用函数的拉氏变换表,二.拉氏变换的主要定理,1线性定理,设Lf1(t)=F1(s),，Lf2(t)=F2(s)，k1，k2为常数，则,（2-27）,线性定理说明某一时间内，函数为几个时间函数的代数和，其拉氏变换等于每个时间函数拉氏变换代数和。,2微分定理,设Lf(

21、t)=F(s)，则有,(2-28),式中f(0+)表示当t在时间坐标轴的右端趋于零时的f(t)值，相当于初始条件,证明：由（2-25）式可得：,利用分部积分法，则,令,则,故,同理，可进一步推出f(t)的各阶导数的拉氏变换为:,（2-29）,式中 分别为各阶导数在时间坐标轴的右端趋于零时的 的 值，如果所有这些初值为零，则,（2-30）,例-7 试求下面微分方程式的拉氏变换式已知各阶导数初值为零。,解：利用线性定理和微分定理，可得,1.积分定理,（2-31）,式中 为 在t时间坐标轴的右端趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。,证明：由（2-25）式可得,设Lf(t)=F(s)，则有,利用分

22、部积分法，令,则有,故,同理，对于多重积分的拉氏变换可得:,式中 为式中f(t)的各重积分在t=0+时的值，如果这些初值为零，则有,（2-33）,初值定理,设f(t)及其一阶导数均为可拉氏变换的，则f(t)的初值为,（2-34）,证明：由微分定理得知,由于s时，e-st1所以,所以,应用初值定理可以确定系统或元件的初始状态。,例-8求 的初值。,解：可以由 直接求出初值，亦可按初值定理求出。,直接法可得,初值定理，所以，由上可见，两种算法结果是一致的。,终值定理,设f(t)及其一阶导数均为可拉氏变换的，则f(t)的终值为:,（2-35）,证明：由微分定理得知,即,所以,由于s时，e-st1所以

23、,应用终值定理，可以确定系统或元件的稳态值。但要注意，如果当t，极限不存在，则不能应用终值定理。如正弦函数等周期函数，它们的极限不存在，因此就不能使用终值定理。,例2-9已知，求f(t)的终值。,解：利用终值定理,6、时域位移定理（延迟定理）,设Lf(t)=F(s)，对任一正实数a有,（2-36）,式中f(t-a)为函数f(t)延迟时间a之后的函数，如图2-8所示，当ta时f(t)=0。,图2-8延迟函数,证明：设(t-a)=,则：,、复域位移定理（位移定理）,设Lf(t)=F(s)，对任一常数a（实数或复数），有,（2-37）,证明：,此定理常常在计算有指数函数项的复合函数的拉氏变换时用到。

24、,例2-10求 的拉氏变换。,解：可直接运用复域位移定理及正弦函数的拉氏变换求得,可求得,8.相似定理,设Lf(t)=F(s)，对任一常数a，则,（2-38）,证明：,令,卷积定理,两个时间函数f1(t)，f2(t)积分的拉氏变换可由下式得到,（2-39）,式中,证明略。,三.拉普拉斯反变换,已知象函数F(s),求出与之对应的原函数f(t)就称为拉氏反变换，可以写成,（2-40）,简写为,对于比较简单的象函数，可以利用表2-1查出其原函数。但在工程中经常遇到的都是比较复杂的象函数，此时，通常先利用部分分式展开法将复杂的象函数展开成简单的象函数之和，再利用表2-1，分别查出各个原函数，其和即为所

25、求。,如某一原函数f(t)的象函数为F(s),可以把F(s)分解成一些分量之和，即,式中的 又很容易由表 2-1得到所对应的原函数，,即：,控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式，即,（2-41）,为把（2-41）式表示成部分分式，先要把A(s)写成因式形式，即,（2-42）,多项式A(s)的根即 称F(s)的极点，此极点可为实数亦可为复数，（2-41）式可以写成部分分式形式,（2-43）,由于极点-p1，-p2，-p3，-pn可为实数或复数，所以系数 A1，A2，A3，An-1，An也可为实数或复数。这些系数有的书又称留数。求留数的方法可分为下面三种情况研究。,1.不同实数极点情

26、况,2.包含有共轭极点的情况,3.包含多重极点的情况,1.不同实数极点情况,由这里可以看出任一留数Ak可以用下式求出,（2-44）,例2-11 求 的拉氏变换。,解：,由（2-44）式,利用表2-1中的有关公式：,2.包含有共轭极点的情况,如果p1和p2是共轭复数极点，那么式（2-43）可以展开成下式：,（2-45）,1和2的值是用(s+p1)(s+p2)乘以（2-45）的两边，并令s=-p1或(s=-p2)而求得。,可以看出：除项 外，所有被展开的项都没有了。于是,（2-46）,因为p1是一个复数值，方程两边也都是复数值。使方程（2-46）两边的实数部分相等，得到一个方程。同样，使方程两边的

27、虚数部分相等，得到另一个方程，根据这两个方程就可以确定1和2。,例2-12 求 的拉氏变换。,解：,F(s)可展开如下：,（2-47）,为了确定1，2，注意到,由（2-46）知,或,使方程两边实部和虚部分别相等，得,或,由此得：,为了确定A，用S乘以方程两边，并令S=0，得,所以,则F(s)的拉普拉斯反变换为,由此例题可以看出：如果存在共轭极点的话，则反变换式中一定包括三角函数与指数函数的复合函数。,3.包含多重极点的情况,设F(s)=B(s)/A(s),在A(s)=0处有r个-p1重根（假设其余的根是不同的）。A(s)就可以写成：,F(s)的部分分式展开式为,(2-48),式中Ar，Ar-1，A1分别按下式求得,（2-49）,的拉氏反变换是由下式,（2-50）,给出的。而对应于实数极点的留数,仍由前面推导出的公式算，即,下面得到的就是F(s)的拉普拉斯反变换：,例2-13求 的拉氏反变换,解：,因而上式拉氏反变换为,将A1、A2、B1、B2 代入前面方程得,四用拉氏变换解常系数线性微分方程,将微分方程通过拉氏变换变为s 的代数方程；解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。,四用拉氏变换解常系数线性微分方程,例2-14 解方程,其中，,解：将方程两边取拉氏变换，得,将 代入，并整理，得,所以,