对偶理论和灵敏度分析第4节.ppt

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1、,运筹学（第三版）运筹学教材编写组 编写清华大学出版社,第2章 对偶理论和灵敏度分析第4节线性规划的对偶理论 钱颂迪制作,第2章 对偶理论和灵敏度分析,第4节 线性规划的对偶理论从理论上讨论线性规划的对偶问题,4.1 原问题与对偶理论,原问题（LP）：,对偶问题(DP),标准型原问题与对偶问题的关系,例2 根据表2-3写出原问题与对偶问题的表达式。,表2-3,标准形式的变换关系为对称形式 原问题（LP）对偶问题(DP),非对称形式的变换关系,原问题的约束条件中含有等式约束条件时，按以下步骤处理。设等式约束条件的线性规划问题,第一步：先将等式约束条件分解为两个不等式约束条件。,第二步：按对称形式

2、变换关系可写出它的对偶问题,设yi是对应(2-13)式的对偶变量 yi是对应(2-14)式的对偶变量。这里i=1,2,，m,将上述规划问题的各式整理后得到,综合上述，线性规划的原问题与对偶问题的关系，其变换形式归纳为表2-4中所示的对应关系。,例3 试求下述线性规划原问题的对偶问题,则由表2-4中原问题和对偶问题的对应关系，可以直接写出上述问题的对偶问题，,4.2 对偶问题的基本性质,(1)对称性 对偶问题的对偶是原问题;(2)弱对偶性 若X是原问题的可行解，Y是对偶问题的可行解。则存在CXYb;(3)无界性 若原问题(对偶问题)为无界解，则其对偶问题(原问题)无可行解;(4)可行解是最优解时

3、的性质;(5)对偶定理 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解；且目标函数值相等;(6)互补松弛性;(7)原问题检验数与对偶问题解的关系.,(1)对称性 对偶问题的对偶是原问题,证设原问题是max z=CX;AXb；X0根据对偶问题的对称变换关系，可以找到它的对偶问题是min=Yb;YAC；Y0若将上式两边取负号，又因min=max(-)可得到max(-)=-Yb;-YA-C；Y0根据对称变换关系，得到上式的对偶问题是min(-)=-CX；-AX-b;X0又因min(-)=max可得max=max z=CX；AXb;X0这就是原问题。证毕。,(2)弱对偶性,证明：,(3)无界性 若原问题(对

4、偶问题)为无界解，则其对偶问题(原问题)无可行解,证：由性质（2）可知，例：,从两图对比可明显看到原问题无界，其对偶问题无可行解,y1,y2,(4)可行解是最优解时的性质,设 是原问题的可行解，是对偶问题的可行解，当 时，是最优解。,证明：,(5)对偶定理 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解；且目标函数值相等。,(6)互补松弛性,将原问题目标函数中的系数向量C用C=YA-YS代替后，得到z=(YA-YS)X=YAX-YSX(2-15)将对偶问题的目标函数中系数列向量b，用b=AX+XS代替后，得到=Y(AX+XS)=YAX+YXS(2-16),(7)原问题检验数与对偶问题解的关系,设原问

5、题是max z=CX;AX+XS=b;X,XS0它的对偶问题是min=Yb;YA-YS=C;Y,YS0则原问题单纯形表的检验数行对应其对偶问题的一个基解，其对应关系见表2-5。,表2-5 对应关系,YS1是对应原问题中基变量XB的剩余变量，YS2是对应原问题中非基变量XN的剩余变量。,证:设B是原问题的一个可行基，于是A=(B,N)；原问题可以改写为,max z=CBXB+CNXNBXB+NXN+XS=bXB，XN，XS0相应地对偶问题可表示为 min=Yb YB-YS1=CB(2-17)YN-YS2=CN(2-18)Y，YS1,YS20这里YS=(YS1，YS2)。,当求得原问题的一个解：X

6、B=B-1b其相应的检验数为CN-CBB-1N与-CBB-1现分析这些检验数与对偶问题的解之间的关系：令Y=CBB-1，将它代入(2-17)式，(2-18)式得YS1=0,-YS2=CN-CBB-1N证毕,例4 已知线性规划问题,max z=x1+x2-x1+x2+x32-2x1+x2-x31x1,x2,x30试用对偶理论证明上述线性规划问题无最优解。先将其变换为对偶问题。,上述问题的对偶问题为,min=2y1+y2-y1-2y21y1+y21y1-y20y1，y20由第1约束条件，可知对偶问题无可行解；原问题虽然有可行解，但最优解。,例5 已知线性规划问题,min=2x1+3x2+5x3+2

7、x4+3x5x1+x2+2x3+x4+3x542x1-x2+3x3+x4+x53 xj0，j=1，2，5已知其对偶问题的最优解为y1*=4/5，y2*=3/5；z=5。试用对偶理论找出原问题的最优解。,解：先写出它的对偶问题,max z=4y1+3y2y1+2y22 y1-y23 2y1+3y25 y1+y22 3y1+y23 y1，y20,将y1*=4/5,y2*=3/5的值代入约束条件，,得=1/50；原问题的两个约束条件应取等式，故有x1*+3x5*=4，2x1*+x5*=3求解后得到x1*=1,x5*=1；故原问题的最优解为 X*=(1，0，0，0，1)T；*=5,以上是理解对偶单纯形法的理论基础,