稳定裕度和校正.ppt
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1、1,第14讲程向红,奈奎斯特稳定判据对数稳定判据和稳定裕度控制系统的校正,2,5.3.5 极坐标图的一般形状,0型系统:极坐标图的起点,是一个位于正实轴的有限值,极坐标图曲线的终点位于坐标原点,并且这一点上的曲线与一个坐标轴相切。,1型系统:,的相角是,极坐标是一条渐近于平行与虚轴的直线的线段,幅值为零,且曲线收敛于原点,且曲线与一个坐标轴相切。,在总的相角中,项产生的,3,在总相角中,的相角是由,项产生的,2型系统:,图5-34b高频区域内的极坐标图,如果,的分母多项式阶次,的轨迹将沿者顺时针方向收敛于原点,时,,轨迹将与实轴或虚轴相切,高于分子多项式阶次,那么,当,4,5.5奈奎斯特稳定判
2、据(Nyquist Stability Criterion),图3-35 闭环系统,闭环传递函数为,为了保证系统稳定,特征方程,的全部根,都必须位于左半s平面。,的极点和零点可能位于右半s平面,但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半s平面,则系统是稳定的。,虽然开环传递函数,充要条件,5,影射定理,设,为两个s的多项式之比,并设P为,的极点数,Z为,的零点数,它们位于s平面上的某一封闭曲线内,,的任何极点和零点。于是,s平面上的这一封闭曲线影射到,平面上,也是一条封闭曲线。当变量s顺时针通过封闭曲线时,平面上,相应的轨迹顺时针包围,原点的总次数R等于Z-P。,且有多重极点和多重零点的情况。设上
3、述封闭曲线不通过,在,6,若R为正数,表示,的零点数超过了极点数;,的极点数超过了零点数。,很容易确定,的P数。因此,如果,,的轨迹图中确定了R,则s平面上封闭曲线内的零点数,若R为负数,表示,在控制系统应用中,由,很容易确定。,两者的极点数相同,7,影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用,为了分析线性控制系统的稳定性,令s平面上的封闭曲线包围整个右半s平面。这时的封闭曲线由整个,轴(从,到,该封闭曲线为奈奎斯特轨迹(轨迹的方向为顺时针方向)。因为奈奎斯特轨迹包围了整个右半s平面,所以它包围了,)和右半s平面上半径为无穷大的半圆轨迹构成,的所有正实部的极点和零点。,则不存在闭环极点,因而系统是稳
4、定的。,如果,在右半s平面不存在零点,,8,图5-37 s平面内的封闭曲线,曲线对原点的包围,恰等于,轨迹对-1+j0点的包围,9,这一判据可表示为:,函数,在右半s平面内的零点数,对-1+j0点顺时针包围的次数,函数,如果P不等于零,对于稳定的控制系统,必须,或,,这意味着必须反时针方向包围-1+j0点P次。,关于奈奎斯特稳定判据的几点说明,式中,在右半s平面内的极点数,如果函数,在右半s平面内无任何极点,则,因此,为了保证系统稳定,,的轨迹必须不包围-1+j0点。,10,含有位于,上极点和/或零点的特殊情况,变量,沿着,轴从,运动到,,从,到,,变量,沿着半径为,)的半圆运动,再沿着正,轴
5、从,运动到,(,11,对于包含因子,的开环传递函数,,当变量s沿半径为,(,)的半圆运动时,,的图形中将有,个半径为无穷大的顺时针方向的半圆环绕原点。例如,考虑开环传递函数:,当s平面上的,时,,的相角,12,在右半s平面内没有极点,并且对所有的正K值,轨迹包围,点两次。所以函数,在右半s平面内存在两个零点。因此,系统是不稳定的。,13,如果在s平面内,奈奎斯特轨迹包含,和P个极点,并且当s变量顺时针沿奈奎斯特轨迹运动时,不,通过的任何极点或零点,则在,平面上相对应的曲线将沿顺时针方向包围,点,次(负R值表示反时针包围,点)。,5.6稳定性分析,的Z个零点,a)不包围-1+j0,如果这时,在右
6、半s平面内没有极点,说明系统是稳定的;否则,系统是不稳定的。,点。如果反时针方向包围的次数,等于,在右半s平面内没有极点数,则系统是稳定的;否则系统是不稳定的。,点。系统是不稳定的。,c)顺时针包围-1+j0,b)反时针包围-1+j0,14,例5-3 设闭环系统的开环传递函数为:,的轨迹如图5-41所示。,在右半s平面内没有任何极点,并且,的轨迹不包围,,所以对于任何的值,该系统都是稳定的。,15,图5-41 例5-3中的,极坐标图,16,例5-4 设系统具有下列开环传递函数:,试确定以下两种情况下,系统的稳定性:增益K较小增益K较大。,小K值时是稳定的,大K值时是不稳定的,17,例5-5 设
7、开环传递函数为:,该系统的闭环稳定性取决于,和,相对大小。试画出该系统的奈奎斯特图,并确定系统的稳定性。,的轨迹不包围,系统是稳定的,的轨迹通过,点,这表明闭环极点位于轴上,18,的轨迹顺时针方向包围,点两次,因此系统有两个闭环极点位于右半s平面,系统是不稳定的。,19,始,开,20,例5-6 设一个闭环系统具有下列,试确定该闭环系统的稳定性。,开环传递函数:,极坐标图,图5-44,解,21,在右半s平面内有一个极点,图5-44中的奈奎斯特图表明,,轨迹顺时针方向包围-1+0点一次,这表明闭环系统有两个极点在右半s平面,因此系统是不稳定的。,1,2,3,极坐标图,图5-44,22,23,例5-
8、7 设一个闭环系统具有下列开环传递函数试确定该闭环系统的稳定性。,图5-45,极坐标图,解,渐近线,24,25,渐近线,26,渐近线,27,图5-45,极坐标图,在右半s平面内有一个极点,因此开环系统是不稳定的,轨迹逆时针方向包围-1+j0一次,说明,没有零点位于右半s平面内,闭环系统是稳定的。这是一个开环系统不稳定,但是回路闭合后,变成稳定系统的例子。,图5-45表明,1,2,3,继续例5-7,28,例5-8,一单位反馈控制系统的开环传递函数为,式中,均为正值。为使系统稳定,开环增益,与时间常数,之间满足什么关系?,解:,频率特性,29,30,31,令虚部为零即可,与负实轴相交于,展开,?与
9、负实轴的交点,32,33,34,相位裕度和增益裕度,图5-46,的极坐标图,对于大的K值,系统是不稳定的。当增益减小到一定值时,,的轨迹通过-1+j0点。,对于小的K值,系统是稳定的。,的轨迹对-1+j0点,点的靠近程度,可以用来度量稳定裕量(对条件稳定系统不适用)。在实际系统中常用相位裕量和增益裕量表示。,5.7相对稳定性,35,相位裕度、相角裕度(Phase Margin),设系统的截止频率(Gain cross-over frequency)为,定义相角裕度为,相角裕度的含义是,度,则系统将变为临界稳定。,对于闭环稳定系统,如果开环相频特性再滞后,当,时,相位裕量为正值;,为了使最小相位
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