离散卡尔曼滤波.ppt

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1、卡尔曼滤波,Theory of Kalman filter,1 卡尔曼滤波与最优估计,卡尔曼滤波是一种最优估计技术！,它能将仅与部分状态有关的测量值进行处理，得出从某种统计意义上讲估计误差最小的更多的状态的估计值。,估计误差最小的标准称为估计准则。,根据不同的估计准则和估计计算方法，有各种不同的最优估计。,卡尔曼滤波是一种递推线性最小方差估计。,1.1最小方差估计,最小方差估计的估计准则是估计的均方误差最小，即：,系统的n维随机向量,Z是m维随机量测向量,利用Z计算得到的X的最小方差估值,估计的误差,估计均方差阵,最小方差估计的误差小于等于其他估计的均方误差!,估计的均方误差就是估计误差的方差

2、，即：,最小方差估计具有无偏性质，即它的估计误差（亦可用 表示）的均值为零。即：,因此，最小方差估计不但使估值 的均方误差最小，而且这种最小的均方误差就是估计的误差方差,1.2线性最小方差估计,如果将估值 规定为量测矢量Z的线性函数，即,使得下述指标满足式中A和b分别是（nm）阶和n维的矩阵和矢量。这 样的估计方法称为线性最小方差估计，有时用符号E*X/Z表示。,有关量测量Z的线性函数有无穷多个，但能使X具有最小方差估计的线性函数只有一个，记为,利用上述的指标我们可以得出A0和b0，,因此X在Z上的线性最小方差估计为,线性最小方差估计的均方误差为,线性最小方差估计的性质,性质1 无偏性 线性最

3、小方差估计是X在Z上的无偏估计，即,性质2 线性1 线性最小方差估计是具有线性性质，即若X的线性最小方差估计为，则 的线性最小方差估计为,其中F为确定性矩阵，e为确定性向量。,性质3 线性2 若Y与Z不相关，则,1.3递推线性最小方差估计卡尔曼滤波,卡尔曼滤波的准则与线性最小方差估计相同,估值同样是量测值的线性函数,只要包括初始值在内的滤波器初值选择正确，它的估值也是无偏的,计算方法递推形式,在k时刻以前估值的基础上，根据k时刻的量测值Zk,递推得到k时刻的状态估计值：,根据k-1时刻以前所有的量测值得到,X（k）也可以说是综合利用k时刻以前的所有量测值得到 的,一次仅处理一个量测量计算量大大

4、减小,主要适用于线性动态系统！,2 卡尔曼滤波方程,2.1离散系统的数学描述,设离散化后的系统状态方程和量测方程分别为：,Xk为k时刻的n维状态向量（被估计量）,Zk为k时刻的m维量测向量,k-1到k时刻的系统一步状态转移矩阵（nn阶）,Wk-1为k-1时刻的系统噪声（r维）,k-1为系统噪声矩阵（nr阶）,Hk为k时刻系统量测矩阵（mn阶）,Vk为k时刻m维量测噪声,Qk和Rk分别称为系统噪声和量测噪声的方差矩阵，在卡尔曼滤波中要求它们分别是已知值的非负定阵和正定阵；,k j是Kronecker 函数，即：,卡尔曼滤波要求Wk和Vk是互不相关的零均值的白噪声序列，有：,Var 为对求方差的符

5、号,卡尔曼滤波要求mx0和Cx0为已知量，,初始状态的 一、二阶统计特性为：,且要求X0与Wk和Vk都不相关,2.2 离散卡尔曼滤波方程,或,2.2 离散卡尔曼滤波方程,时间修正方程,量测修正方程,（1）状态一步预测方程,各滤波方程的物理意义：,Xk-1的卡尔曼滤波估值,利用Xk-1计算得到的一步预测,也可以认为是利用k-1时刻和以前时刻的量测值得到的Xk的一步预测,上式就是通过 计算新息，把 估计出来，并左乘一个系数矩阵 加到 中，从而得到 估值 和，称为滤波增益矩阵,（2）状态估值计算方程,计算估值Xk的方程。它是在一步预测Xk/k-1的基础上，根据量测值Zk计算出来的,一步预测误差,若把

6、 看作是量测 的一步预测，则 就是量测的一步预测误差,由两部分组成：和，正是在 基础上估计 所需信息，因此又称 为新息,由于 也具有无偏性，即 的均值为零，所以 也称为一步预测误差方差阵。上式中的 和 分别就是新息中的两部分内容,（3）滤波增益方程,一步预测均方差阵，即：,Kk选取的标准就是卡尔曼滤波的估计准则，也就是使得 均方误差阵最小：,如果Rk大，Kk就小Rk小，Kk就大,（4）一步预测均方误差方程,从下式可以看出，求Kk必须先求出Pk/k-1,式中，为 的估计误差，可以看出一步预测均方误差阵Pk/k-1是从估计均方误差阵Pk-1转移过来的，并且再加上系统噪声方差的影响。,的均方误差阵，

7、即：,（5）估计均方误差方程,或,计算量小，但在计算机有舍入误差的条件下，不能始终保证算出的Pk是对称的,（6）卡尔曼滤波的计算流程,滤波计算回路,增益计算回路,2.3离散卡尔曼滤波基本方程使用要点,在滤波开始时，必须有初始值 和 才能进行,为了保证估值的无偏性，应选择：,这样才能保证估计均方差阵Pk始终最小。,1.滤波初值的选取,有上述的卡尔曼滤波基本方程中的均方误差的公式,2.估计均方误差阵的等价形式及选用,（a）,（b）,（c）,由卡尔曼滤波方程的推导得知，基本方程只适用于系统方程和量测方程都是离散型的情况。但实际的物理系统一般都是连续的，动力学特性用连续的微分方程来描述。所以在使用卡尔

8、曼基本方程之前，必须对系统方程和量测方程进行离散化处理。设描述物理系统动力特性的系统方程为,3.一步转移阵和等效离散系统噪声方差阵的计算,其中系统驱动源W（t）为白噪声过程，即,q为w（t）的方差强度矩阵。,根据线性系统理论，系统方程的离散化形式为,其中，满足方程,对该方程求解并进行约等变化，得,式中 T为滤波周期。这个式子即为一步转移矩阵的实时计算公式。,同样，通过系统的离散化处理，得出等效离散系统噪声方差阵,一步预测方程改为：,状态估计方程改为：,其他滤波方程不变,4.系统有确定性控制时的滤波基本方程,设系统除了白噪声外，还有确定性驱动项,5.一步预测基本方程,令,一步预测基本方程式指利用 递推计算 的 全套方程。根据基本方程的一步预测方程得,则,从而也可以得到均方误差,例1 设有线定常系统,式中状态变量Xk和量测Zk均为标量，为常数。Wk和Vk为零均值白噪声序列，分别具有协方差,并且Wk，Vk，X0三者互不相关。求 的递推方程。,例2-滤波设运动体沿某一直线运动，tk时刻的位移、速度、加速度、加加速度分别为sk，vk，ak，jk，只对运动体的位置做测量，测量值为Zk=sk+Vk，若,量测量的采样周期为T,求sk，vk，ak的估计。,设系统方程和量测方程的一般形式为,2.4白噪声条件下离散卡尔曼滤波方程的一般形式,谢 谢,