相关图及回归分析.ppt

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1、1,第八章 相关图及回归分析,相关关系：两个变量没有确定性的关系，但一个变量发生变化，另一 个也发生相应的变化；或两个变量在各种干扰因素的综 合 作用下表现出来的相互关联的关系称为相关关系。相关分析：研究两个变量之间相互关联的程度称为相关分析。相关分析方法：相关图是研究相关关系的图表法；回归分析是研究相关关系的数学方法，它帮助人们求得变量之间的 内在联系，以便在生产实践中进 行预测和控制。8.1 相关图 8.2 相关系数 8.3 一元线性回归 8.4 一元正交多项式回归 8.5 多元正交多项式回归,2,8.1 相关图,一 概念：为了研究两个变量之间的相关关系，利用两个变量一一对应的数据做出的

2、坐标图称做相关图。通过相关图，可以直观地看出两个变量间的大致关系。二 绘制程序 例1 零件某部位进行化学铣，公差要求是1.50.1，现收集不同腐蚀时间下，腐蚀 深度的32组数据(如表)，试作相关图。(1)收集数据 数据要以(xi，yi)的形式成对出现；一般将原因变量作为x，结果变量作为y；数据对数 n应为3050对，本例n=32。(2)做坐标系o-xy 本例中，以腐蚀时间作为x，腐蚀深度作为y。在确定坐标的长度单位时，应使x的散布范围与y的散布范围大致相等，否则 将会影响相关关系的直观性。(3)在坐标上描点 依每组数据的数值在坐标系中描点。如有两对数据的点落在 同一位置(即同点)，则用“”或“

3、2”表示，若有三对、四对数据同点，则用“”或“”或“3”、“4”表示，依此类推。三 相关图的观察与使用四 简易相关检定法五 应用注意事项,3,腐蚀时间腐蚀深度数据表,4,腐蚀时间-腐蚀深度相关图,820,830,840,850,860,870,880,890,900,1.40,1.50,1.60,腐蚀深度/mm,腐蚀时间/s,5,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,相关图的典型形状及用法表

4、,由表可知腐蚀深度与腐蚀时间之间具有线性正相关关系,6,四 简易相关检定法,1在相关图上分别画出中值线 和，使 左右两侧的点数大 致相同，上下两部分的点数大致相同。,腐蚀深度/mm,简易相关检定,820,830,840,850,860,870,880,890,900,1.40,1.50,1.60,(),(),(),(),n1=13,n2=3,n3=13,n4=3,腐蚀时间/s,7,2x，y将相关图分为四个区域()、()、()、()，右上为()区，按逆时针顺序编号，记录下各区点数和线上点数。本例中n113，n2 3，n313，n43，线上点数0。3计算：Nn线上点数(n为数据对数)nn1n3 n

5、-n2n4 本例中N32，n26，n-6 4确定显著性水平。一般取0.05，也可取0.01，0.10，0.25。5查符号检验表，据N和给定的查出对应的点数界限S(N)。本例中，N32，若0.05，则可查得S 0.05(32)9；若0.01，则可查得 S 0.01(32)8。6检定相关性。将n+，n-中的较小值min(n+，n-)与S(N)比较，若 min(n+，n-)S(N)则判定在显著性水平下x，y相关，反之则 不相关。本例中 min(n+,n-)6S 0.05(32)9 min(n+,n-)6S 0.01(32)8 因此，腐蚀深度和腐蚀时间在0.05和0.01显著性水平下均判定具有相关关系

6、。可 以通过腐蚀时间的变动范围预测腐蚀深度的变动范围；同时，可通过控制腐蚀时间达到控 制腐蚀深度的目的。,8,五 应用注意事项,1数据一定要成对出现，否则无法制作相关图。2数据要先分层，再作相关图，否则会出现判 断失误。3明确在什么范围内相关。4对相关图上出现的孤岛要查找原因，加以消 除，才能正确估计变量之间的关系。孤岛点 的出现常常是由于测量错误，数据记录错误 或操作条件变化引起的。,9,无关误判为相关,y,x,y,x,y,x,y,x,相关误判为无关,10,相关图注意事项,生产条件,试验条件,淬火温度/,40,42,44,46,48,50,52,54,56,58,60,810,830,850

7、,870,890,y,x,y,x,铜的淬火温度与硬度相关图,带有孤岛的相关图,11,8.2 相关系数,一 概念及计算 1 二维随机变量 的相关系数 相关系数是描述两个随机变量 线性相关关系的数字特征，也 称标准协方差，以记之。计算公式：特点：若 是 的线性函数，即，则有1；1；若 无线性相关关系，则0。但0并不表示 无其 他关系，此时，也可能具有明显的非线性关系。2 样本数据相关系数r二 几何意义三 相关系数的近似计算四 相关系数的显著性检验,12,2 样本数据相关系数r,计算公式 运用随机变量x,y的n对样本数据可计算的 估计值，并以r记之 特点 无名数 与Lxy同号例2,Lxy称x、y偏差

8、积之和,Lxx称x偏差平方和,Lyy称y偏差平方和,13,例2,计算例1所给数据的相关系数解：首先作相关系数计算表如下：,14,二 几何意义,与随机变量x，y的相关系数一样，由样本数据计算出的相关系数r也具备如下特征：r1 r越趋近于1，线性相关的程度越强。r越趋于+1，正相关程度越强，r越趋于-1，负 相关程度越强。r越趋近于0，说明两变量无关或具有非线性关系,r=1,r=0.6,r=0,r=0,r=-0.9,r=-1,三 相关系数近似计算,如对例1,15,四 相关系数的显著性检验,设有两个随机变量。由于样本的随机性，对于不同的样本数据，计算出的相关系数r也 不同；当随机变量 无关(即0)时

9、，样本相关系数r却不一定为0，甚至当样本量较小 时，有可能样本相关系数r数值却较大；当随机变量 线性相关关系较强时，即接近于1 时，样本相关系数r可能较小。因此，必须根据样本相关系数对母体 的相关系数是否为0进行统计检验。统计理论相关系数=0的临界值r(,n2)表 检验步骤(1)计算样本相关系数r。(2)由相关系数0的临界值r(，n-2)表查出相对于给定的显著性水平和自由度 f n2的相关系数临界值r(,n2)。(3)比较r与r(,n2)。若rr(,n2)，则判断随机变量 在显著性 水平下 无关，即0；若rr(,n2)，则判断随机变量 在显著性水平 下存在线性相关关系，即0。例3 对例2计算的

10、样本相关系数r进行显著性水平0.05和0.01的统计检验。解：由0.05，fn232230，查表得相关系数临界值 r(0.05，30)0.3494；r(0.01，30)0.4487。r0.788r(0.01，30)r(0.05，30)腐蚀深度与腐蚀时间在显著性水平0.05和0.01下，均可判断存在着线性相关关系。,16,统计理论,当p=0时，某一容量为n的样本的相关系数r的统计量，t服从自由度为n-2的t分布为此，可进行=0的假设检验 提出假设 确定显著性水平 若 原假设成立,拒绝原假设，备择假设成立,或,当=0.05，0.01时，r相对于n的临界值见表,17,n-2,n-2,相关系数=0的临

11、界值r(，n-2）表,18,8.3 一元线性回归,回归分析是研究两个随机变量相关关系的数学工具。应用它可找出描述变量之间相关关系的 数学表达式，从而由一个变量的取值去估计另一个变量的取值，达到预测和控制的目的。一元线性回归是研究两个随机变量X、Y线性相关关系的方法。其目的是通过一系列的样本数 据(x1，y1)(x2，y2)(xn,yn)求得X、Y内在规律的数学表达式 上式称为X、Y的线性回归方程，简称回归方程。其中a,b是两个未知参数，称为回 归系数。回归方程在相关图中的图形即为回归直线。一 回归方程的建立 二 回归直线的近似求法 三 回归方程的显著性检验 四 回归直线的应用预测与控制,19,

12、一 回归方程的建立,最小二乘法：对于相关图，我们要寻找的回归直线应该是和所有观 测点拟合的最好的直线。而拟合最好的 标准是残差平方和最小。所 谓残差，是指当xi给定时，由回归直线估计出的 与实际数据yi的 差值。若以Q表示残差平方和，则有 可见，残差平方和Q反映了全部观测点(样本数据)对回归直线 的偏离程度。显然，Q越小的回归方程，越能较好地反映变量X、Y 之间的关系。这种求得回归方程 的方法称为最小二乘法。回归系数a，b的计算公式 例4,y,x,（xi，yi）,（xi，yi）,20,采用最小二乘法得到以下回归系数a、b的计算公式为,例4 计算求出例1中腐蚀深度y对腐蚀时间x的回归方程,由例3

13、算出,则,回归方程为,回归系数a，b的计算公式,21,二 回归直线的近似求法,前边已经介绍了简易相关检定法，在此基础上，进一步介绍回归 直线的近似求法。其步骤是：1在 左右，分别作平行于oy轴的直线 和，使 两边的点子再次被平分2在 上下，分别作平行于ox轴的直线 和，使 上、下的点子 再次被平分；3 于()，()，()，()象限分别交于A，B，C，D 四点。若r0，连接A，C两点；若r0，连接 B，D两点；本例应连接AC，作出回归直线。4建立回归方程 如图，A点坐标为(876.5，1.550)，C点坐标为(848.0，1.465)。得直线方程为,即,化简得,22,回归直线的近似求法,820,

14、830,840,850,860,870,880,890,900,1.40,1.50,1.60,(),(),(),(),n1=13,n2=3,n3=13,n4=3,A,B,D,C,腐蚀深度/mm,腐蚀时间/s,23,三 回归方程的显著性检验,检验回归方程的显著性问题，就是检验随机变量 Y与X之间是否存在线性关系。归根结底，就是检 验回归方程yabx中的b是否为零的问题。一种检验方法是先求出X、Y的相关系数r，然后 再对r进行显著性检验，通过验证X、Y具有相 关 关系，回归方程才有意义。另一种检验方法是在不通过r的计算和检验，直 接运用方差分析进行显著性检验。方差分析程序 例5,24,1 计算总波

15、动平方和ST及自由度f回2 计算回归平方S回和及自由度f回 3 计算残差平方和Se及自由度fe4 作方差分析表，计算方差及F值 5 显著性检验 当FF 0.05(1，n2)时，回归关系不显著；当F 0.05(1，n2)FF 0.01(1，n2)时，回归关系显著；记为*；当FF 0.01(1，n2)时，回归关系高度显著。记为*。,25,例5,运用方差分析对例4建立的回归方程 进行显著性检验。解：由相关系数计算表 回归直线高度显著,26,四 回归直线的应用预测与控制,建立了随机变量X、Y之间的回归方程，并经检验回归方程有意义之后，便可以应用回归方程 对生产进行预测和控制。所谓预测，是指对任一给定的

16、x，推测相应y的散布范围；所谓控制，是指若需使y在y1,y2范围内取值，估计应将变量x控制在什么范围。预测和控制是一个问题的两个方面。残差分布 控制限的确定 例6 考虑回归方程稳定性时的估计与预测问题,27,f（y）,y,x,残差分布,只要1，样本数据点就不会全部 落在回归直线上，而是在回归直线附近的一定范围内散布。一般说来，当给定x0时，y0的取值是以 为中心的正态分布，其方差和均方差为：,28,由正态分布表可知：y0落在 范围内的概率约为99.73%；落在 范围内的概率约为95.45%；落在 范围内的概率为68.27%。假若在回归直线 两边分别作平行于、距离为3S的直线。当给定x0时，有9

17、9.73%的把握断定，此时y0的值介于y01与y02之间。反之，当需控制y在y1，y2区间取值时，有99.73%的把握断定必须将x的取值控制在x1,x2区间内。,y01,y2,y1,y02,取值范围,y,x,x2,x0,x1,（b0）,y01,y2,y1,y02,取值范围,y,x,x2,x0,x1,（b0）,y上=a+3Sy+bx,y=a+bx,y下=a-3Sy+bx,y上=a+3Sy+bx,y下=a-3Sy+bx,y=a+bx,利用回归直线进行预测和控制,当事先约定把握性不是99.73%，而是95.45%时，则平行于 的两条直线分别为ya2Sbx。,控制限的确定,y,y,29,根据上例所给数

18、据，当把握度为95.45%时，预测腐蚀时间为870秒时腐蚀深度 y的分布范围；公差要求为1.50.1，此时，腐蚀时间应控制在什么范围 解：由上例，回归方程为即当腐蚀时间控制在843.78，874.38时，合格品率将达到95.45%。,因此有,将x=870代入y上、y下分别得,即此时有95.45%的产品腐蚀深度y散布在范围1.46，1.59内。基本符合公差要求，但 中心值偏上限。当y的要求为1.50.1时，即y11.4，y21.6，将y1代入式y下得,将y2代入式y上得,例6,30,考虑回归方程稳定性时的估计与预测问题,回归方程稳定性是指在除x以外其它试验条件基本不变的情况下，由不同样本观测数据

19、得到的回归直线及回归系数的统计性质回归系数a，b及回归直线的统计性质回归方程稳定性影响因素 x的位置x的取值范围不能随意外推 n的大小估计问题与预测（预报）问题,其中：,31,x值越接近样本数据 时，预测和控制的精度越高；反之 精度越低。这是因为数理统计的理论证明，实际数据点 的波动范围如图中阴影所示。因此，使用 附近的中段 进行预测和控制效 果最佳。,y,x,样本数据的波动范围,y,x,超出x取值范围，原有回归直线的假定有可能不再成立。,x的取值范围不能随意外推,回归范围,X的取值范围不能随意外推,32,估计问题与预测（预报）问题,1 估计：即给定x=x0，求均值 的估计2 预测（预报）：即

20、给定x=x0，预测 的取值区间,例7,33,例7,一对变量（x，y)其实验数据如下表。试分析x，y之间的回归关系，并求出当x=95，y=95%时的置信区间和预报区间。,（1）作数据计算表,34,（2）建立回归方程,（3）方差分析,35,（4）区间估计,点估计,区间估计 11.599，11.969,区间半径,（5）预报区间,点估计,区间半径,预报区间 11.283，12.145,36,8.4一元正交多项式回归,一、一元正交多项式回归简述二、等距点上的正交多项式 1 等距点 2 等距点上的正交多项式 3 对于k个等距点来说，最多可展开到k-1阶多项式，但 一般来说，不论k多大，常展开到五阶多项式三

21、、一元正交多项式回归 1 正交多项式回归系数计算公式 2 回归系数的统计分析 3 建立回归方程,37,一元正交多项式回归简述,n阶多项式回归方程：对x、y的任何关系，均可用一元n阶多项式回归（曲线拟和）的方法来得到n阶多项式回归方程。但是由于多项式回归方程各系数的估计是统计相关的。若某一阶系数经显著性检验是不显著的，此时整个回归方程失去意义，回归方程须重新配置。为此以正交多项式回归代替多项式回归。一元正交多项式回归方程：其中P1(x)，P2(x)Pn(x)为正交多项式，各多项式系数统计无关。,38,（1）等距点,若有一组点x1，x2xk，该组点可能是k个观测点的自变量取值；也可能是因素x的k个

22、水平。若x为连续变量时，该组点满足式 则称该组点为等距点。给出一组等距点，则可以求出相对这组等距点上的正交多项式,h间隔,39,（2）等距点上的正交多项式,若等距点为x1，x2xk，,40,1 正交多项式回归系数计算公式,若已知（xi、yi）的K组数据；xi为一组等矩点；一元正交多项式回归方程为,j次多项式在正交多项式系数表中的表值,例 已知表中试验数据，试确定选配二阶正交多项式回归方程,解,计算公式,41,解：x为等间隔（h=1），可用正交多项式回归分析方法，回归方程形式：,查正交多项式表，K=7时,对b1：,对b2：,42,2 回归系数的统计分析（显著性检验）,（1）总波动平方和及自由度,

23、（4）用方差分析法分别检验其显著性,（3）分解公式,（2）j阶正交多项式波动平方和及自由度,检验程序,例,43,例题：回归系数的统计检验,方差分析表,查正交多项式系数表，对b1：K=7时：,同理，,44,（3）建立回归方程,45,8.5 多元正交多项式回归,例一 试验数据统计分析二 正交多项式回归方程的确立,46,例：某试验目标值为m，因素水平表、试验安排及数据表如下：试建立多项 式回归方程,因素,水平,No.,列号,因素,因素水平表,试验安排及试验数据,47,试验数据的统计分析1 总偏差平方和及自由度,2 均值偏差平方和及自由度,4 波动平方和及自由度分解公式,3 各因素一次项、二次项的波动平方和及自由度,以A因素为例：,同理可求，B、C因素一次、二次项波动平方和及自由度,5 方差分析表,48,方差分析表,49,2 正交多项式回归方程的确立,正交多项式回归方程形式为：,