正项级数及其审敛法(IV).ppt

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1、,Interrogate of positive term series,微,积,分,电,子,教,案,三、比值审敛法,二、比较审敛法,四、根值审敛法,一、正项级数的定义 与收敛准则,11.2 正项级数及其审敛法,2.2、比较法的极限形式,(在这个判别法中,未知的,已知的),二、比较审敛法,解,原级数发散.,故原级数收敛.,例7 判定下列级数的敛散性:,二、比较审敛法,解,原级数发散.,故原级数收敛.,例8 判定下列级数的敛散性:,二、比较审敛法,二、比较审敛法,例.判别下列级数的敛散性：,先猜敛散性,再找已知敛散性的级数,最后下结论,1)收，2)收，3)发。,例9 判别下列级数的敛散性,解：1

2、),所以 发散.,又 因 发散，,二、比较审敛法,它在收敛和发散级数之间,例9 判别下列级数的敛散性,解：2),找 比较，因为,二、比较审敛法,因为 所以,又 因 收敛，,所以 也收敛,例9 判别下列级数的敛散性,解：3),二、比较审敛法,证明：因为,又 发散，由比较判别法知 发散,例11.证明:若正项级数 收敛，则 收敛 但反之不真（举例说明）,证：因为 收敛，所以,又，由比较判别法得 收敛,例如：,二、比较审敛法,则(1)1,级数收敛；(2)1+,级数发散；(3)=1,此法失效.,*比值判别法也称为达朗贝尔判别法,三、比值审敛法,定理,比值判别法的适用范围：,解：,例1,三、比值审敛法,解

3、：,例1,三、比值审敛法,例2,解：,三、比值审敛法,例3.,解：,此时原级数收敛,此时原级数发散,原级数为 发散,综上,当 0 x 2时，收敛,当 时，发散,三、比值审敛法,定理：设 为正项级数，若,则 r 1,级数发散；r=1,此法失效.,四、根值审敛法,*根值判别法也称为柯西判别法,根值判别法的适用范围：,例4.,解：,故原级数收敛,例5,解：,k=1时原级数为,级数发散,四、根值审敛法,一、任意项级数的定义,Interrogate of any term series,微,积,分,电,子,教,案,11.3 任意项级数的绝对收敛与条件收敛,三、绝对收敛与条件收敛,二、交错级数敛散性判别法

4、,所谓任意项级数，是指级数 中的每一项都是任意实数.,一、任意项级数的定义,例如：,任意项级数敛散性的确定比较困难，我们先研究一种特殊的任意项级数：交错级数,形如 的级数称为交错级数,其特点在于：级数的各项正、负相间.,例1.指出下列级数中的交错级数：,2.1、交错级数的定义,二、交错级数敛散性判别法,定理,二、交错级数敛散性判别法,2.2、交错级数判别法(莱布尼兹判别法),(1),(2),则该交错级数收敛，且其和,若交错级数 满足:,证明：,(1),(2),二、交错级数敛散性判别法,证明：,故原级数收敛。,定理,(1),(2),则该交错级数收敛，且其和,若交错级数 满足:,2.2、交错级数判

5、别法(莱布尼兹判别法),二、交错级数敛散性判别法,思考：若条件不满足,交错级数敛散性如何？若条件不满足,交错级数敛散性如何？,发散不定,定理,(1),(2),则该交错级数收敛，且其和,若交错级数 满足:,2.2、交错级数判别法(莱布尼兹判别法),二、交错级数敛散性判别法,例2 判别下列级数的敛散性,解:,显然,因为,由级数收敛的必要条件知原级数发散.,二、交错级数敛散性判别法,例3 判别下列级数的敛散性,解:,证明：,由莱布尼兹判别法知：原级数收敛.,二、交错级数敛散性判别法,例4,二、交错级数敛散性判别法,例5.证明 收敛,证,由,可知,又,当x e 时,从而当n2时,有 f(n)f(n+1),即,由莱布尼兹判别法可知：,收敛,条件(1),(2)均不好检验,对交错级数使用莱布尼茨判别法时，可以借助可导函数的单调性判断级数前后项大小和求极限。,解:该级数为交错级数,由莱布尼兹判别法知：原级数收敛.,二、交错级数敛散性判别法,例6,即,作业：习题11-2（P451）1(6,7);2(1,2,4);4,