梁板式结构分析的有限条法.ppt
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1、2023/6/29,1,2 梁板式结构分析的有限条法,有限条法(1)板条(2)平面应力条(3)薄壳条(4)连续结构分析高级有限条样条有限条法组合有限条法小结本章参考文献,1968年,由Cheung Y.K教授创立了结构有限条分析法,并成功应用于简支板的计算随后,Powell和Qgden(1968)将此法应用到板桥的分析中,拉开了有限条法在桥梁结构分析中应用的大门用有限条法分析箱梁桥,连续板、梁结构、加肋板、振动问题、稳定问题等逐步发展起来,CheungY.k.教授在1976年对有限条法在桥梁工程中的应用以及研究成果分别进行了总结在后来的二十多年中,有限条法的应用范围不断拓宽,不仅应用到各种复杂
2、结构的分析中,还在非线性分析方面显示出优势,有限层法、有限棱柱法和样条有限条法也发展起来,并得到广泛应用。有限条法是一种混合法,它具有一般结构法和有限元法的优点。有限条单元结构的组合单元是沿结构纵向分布的“条”,条间纵向用接线连接,由于桥梁的纵向结构和这种“条”式单元基本一致,故采用此法分析时十分有效。,有限条法(1)板条,(a)位移函数在有限板条中,选用条带节线中点的挠度(w)及x向(桥梁的横向)的转角 作为位移函数。图示为一简支板式桥的典型有限条。该板条的纵向挠曲形状可采用正弦函数模拟,而挠曲面的横向(xx)截面可用连接若干个多项式函数来模拟。现将位移函数取为,板划分为有限条,常数 可用变
3、形协调条件求出。即,得出方程,(b)能量方程,典型有限条,曲率向量,弯矩或扭矩,(c)刚度矩阵,总势能,最小势能原理,(d)荷载向量,为方便求解平衡方程组中的各单元节点未知位移,可将各单元的节点荷载用正弦级数展开。该正弦级数应在板条的 方向上展开并和位移函数相似,即,单元的荷载向量,均布荷载,集中荷载,局部均布荷载,(e)其它支承条件的位移函数选取,对于板条来说,选择合适的位移函数非常重要,一般情况下板条的位移函数可写为,式中 是由板端边界条件决定的函数。最常用的函数是板振动位移函数,,两端均简支,两端均固结,而 是方程1-的解,一端简支另一端固结,而 是方程 的解,当 时,,两端均自由,表达
4、式同情况,当 时,等于情况2中的一端固结另一端自由,而 是方程 的解。当 时,,一端简支另一端自由,的表达式同情况,当 2时,等于情况的,(2)平面应力条,(a)位移函数,若假定沿板的厚度方向的应力()可略去不计时,如图所示,则应变变形关系,应力应变关系,简支的矩形板边界条件,位移函数,利用条之间的变形协调关系有,应力,应变,(b)刚度矩阵和荷载向量 平面应力条的应变能,荷载势能,刚度矩阵,荷载向量,集中力,作用点,线荷载,作用点,仅有均布载 作用在整个板条上,(3)薄壳条,(a)刚度矩阵和荷载向量,在分析箱形梁时,用薄壳条比较方便,薄壳条是由板条和平面应力条组合而成。对于两边简支结构,总势能
5、可写为,位移列向量,板条,平面应力条,(b)坐标转换,图为局部坐标和整体坐标的相对位置,图中x,y,z是局部坐标,而 是整体坐标,和 是重合的,则在节线i处两坐标系下的位移关系为,则有,坐标转换,(4)连续结构分析,对于连梁板或箱梁结构,可以先将中支承全部解除,代以未知反力,那么结构是在外荷载和未知反力共同作用下的简支结构,跨径为两桥台支点之距。而 应满足下式,只要联立有限条方程和此式进行求解即可。此法称为柔度法,求解连续结构的刚度法及支点沉降的处理可参见文献,高级有限条,上节所介绍的有限条位移函数,只能使条的横向斜率和位移在节线处(或板边)连续,但条的曲率和弯矩不能满足连续条件,且自由边上的
6、弯矩也不等于零。这个问题可通过下述两种途径来解决:(a)增加节线上的自由度;(b)在条内加入内节线,此即为高级有限条。,(1)曲率连续板条,如图所示,在板条节线处增加一个位移参数横向曲率,这样,板条的横向曲率和弯矩均是连续的,其计算结果将更精确,曲率连续板条,这种板条位移可写为,位移函数的曲率向量,弯矩向量,刚度矩阵,条的荷载向量,对于集载 作用在点 有,(2)内节线板条,如图所示,在板条内增加一条内节线c,通常可将节线c放在板条中央,这样,位移函数可用5次抛物线表示为,内节线板条,刚度矩阵,载向量计算,对于满荷布均布载有,值得注意的是,此种条元在边界上的曲率亦是不协调的,但其解的精度要高一些
7、。因为内节线与其它条元无法连接,在装配总刚前可用静力凝聚法给出内节线 的位移参数,(3)内节线平面应力条,如下图所示,取位移函数为,内节线平面应力条,刚度矩阵,内节线位移参数亦可由静力凝聚法获得,分析箱形梁时,可采用由高级板条和高级平面应力条组合而成的高阶薄壳条,样条有限条法,(1)样条函数,众所周知的三次B样条函数 为,函数 及其一阶导数、二阶导数曲线如图所示,其节点数值可查有关表 为了用样条函数来插值任意连续函数 可将 分解为节点为 的等间距段,且,则在节点上的函数值 可表示为,其中待定系数由 下式获得,则可得到求解未知系数 的线性方程组,有时,为了获得较高的精度,如将集中载作用点和支承点



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