六讲矩阵的代数运算和数据分析ppt课件.ppt

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1、第六讲 矩阵的代数运算和数据分析,2023年6月29日星期四,2023年6月29日星期四,2,第六讲 矩阵的代数运算 和数据分析,6.1 矩阵的代数运算6.2 数据分析,2023年6月29日星期四,3,6.1 矩阵的代数运算,e i g(A)求包含矩阵A的特征值的向量。X,D=e i g(A)产生一个矩阵A的特征值在对角线上的对角矩阵D和矩阵X，它们的列是相应的特征向量，满足A X=X D。为了得到有更好条件特征值的矩阵要进行相似变换。,2023年6月29日星期四,4,6.1矩阵的代数运算,d e t(A)求方阵A的行列式。r a n k(A)求A的秩，即A中线性无关的行数和列数。i n v(

2、A)求方阵A的逆矩阵。如果A是奇异矩阵或者近似奇异矩阵，则会给出一个错误信息。,2023年6月29日星期四,5,6.1矩阵的代数运算,线性系统的求解和L U分解M AT L A B用如下命令求解系统A x=b：则 x=A b。如果A是一个奇异矩阵，或者是近似奇异矩阵，则会给出一个错误信息。L U分解方法就是令A=L U，其中U是一个上三角矩阵，L是一个带有单位对角线的下三角矩阵。然而为了保证计算的稳定性可以使用部分主元法。也就是说，L通常是一个改变序列的下三角矩阵。,2023年6月29日星期四,6,6.1矩阵的代数运算,L,U=l u(A)求上三角矩阵U和交换下三角矩阵L。L是一个带有单位对角

3、线 的下三角矩阵和交换矩阵，即P的逆矩阵的乘积，见下个命令。L,U,P=l u(A)求上三角矩阵U、有单位对角线的下三角矩阵L和交换矩阵P，满足L U=PA。,2023年6月29日星期四,7,6.1矩阵的代数运算,Q R分解。假设A是nn的矩阵，那么A就可以分解成：A=Q R，其中Q是一个正交矩阵，R是一个大小和A相同的上三角矩阵，因此A x=b可以表示为 Q R x=b或者等同于：R x=Q b。这个方程组的系数矩阵是上三角的，因此容易求解。和高斯消元法比较，Q R因式分解的主要优点在于有更高的稳定性，然而它的数学运算更麻烦一些。,2023年6月29日星期四,8,6.1矩阵的代数运算,Q,R

4、=q r(A)求得mm的矩阵Q和上三角矩阵R，Q的列形成了一个正交基，Q和R满足A=Q R。Q,R,P=q r(A)求得矩阵Q、上三角矩阵R和交换矩阵P。Q的列形成一个正交基，R的对角线元素按大小降序排列，它们满足A P=Q R。Q,R=q r(A,0)求矩阵A的Q R因式分解。如果在mn的矩阵A中行数小于列数，则给出Q的前n列，因此Q的大小和A相同。也能得到交换矩阵。,2023年6月29日星期四,9,6.1矩阵的代数运算,向量范数n o r m(x)求欧几里得范数。n o r m(x,i n f)求无穷范数，即|x|=m a x(a b s(x)。n o r m(x,1)求1-范数。n o

5、r m(x,p)求p-范数，。n o r m(x,i n f)求向量x的元素的绝对值的最小值，即m i n(a b s(x)。注意，这不是向量的范数。,2023年6月29日星期四,10,6.1矩阵的代数运算,矩阵范数n o r m(A)求欧几里得范数|A|2，n o r m(A,1)求列范数|A|1，等于A的列向量的1-范数的最大值。n o r m(A,2)求欧几里得范数|A|2，和n o r m(A)一样。n o r m(A,i n f)求行范数|A|(inf)，等于A的行向量的1-范数的最大值。,2023年6月29日星期四,11,6.1矩阵的代数运算,c o n d(A)求A的欧几里得范数

6、的条件数。c o n d(A,p)求p-范数的条件数，p的值可以是1、2、或者inf,2023年6月29日星期四,12,6.2 数据分析,1.最大值和最小值m a x(x)返回x中最大的元素值，如果x是复数，则返回m a x(a b s(x)值。m a x(A)返回一个行向量，它的第i个元素是A中第i列的最大的元素；如果A为复数时，则返回m a x(a b s(A)值。,2023年6月29日星期四,13,6.2 数据分析,y,i n d=m a x(A)返回一个行向量，它的第i个元素是A中第i列的最大的元素；并在行向量i n d中保存每列的最大数的行下标。m a x(A,B)返回一个和A、B相

7、同维数的矩阵，每一元素都是在A和B中的相同位置上是最大的元素。,2023年6月29日星期四,14,6.2 数据分析,max(A,k)将A中小于k的数换成k。m i n(x)返回向量x中最小的元素。该命令关于矩阵的操作和m a x一样，如果x是复数，则返回m i n(a b s(x)值。,2023年6月29日星期四,15,6.2 数据分析,2.求和、乘积和差分s u m(x)返回向量x所有元素的和。s u m(A)返回一个包含矩阵A各列元素之和的行向量。c u m s u m(x)返回一个x中元素累计和的向量，也就是第2个元素是x中前两个元素之和，以此类推。,2023年6月29日星期四,16,6

8、.2 数据分析,c u m s u m(A)返回一个与A同样大小的矩阵，它的列是A中列的累计和。3.乘积p r o d(x)返回x中各元素乘积。p r o d(A)返回一个元素是列乘积的多维矩阵。,2023年6月29日星期四,17,6.2 数据分析,cumprod(x)返回一个x中各元素累计积的向量，也就是第2个元素是x中前两个元素的累计积，以此类推。cumprod(A)返回一个矩阵，其中列元素是A中列元素的累计积。,2023年6月29日星期四,18,6.2 数据分析,4.差分和梯度diff(x)给出一个长度为n1的向量，它的元素是长度为n的向量x中相邻的元素的差。如果x=(x1 x2.xn)

9、，则d i f f(x)=(x2x1 x3x2.xnxn1)。diff(A)对A按列作差分。就是d i f f(A)=A(2:m,:)A(1:m1,:)。diff(x,k)求出第k次差分，d i f f(x,2)和d i f f(d i f f(x)等价。,2023年6月29日星期四,19,6.2 数据分析,5.平均值、中值和标准差m e a n(x)求出向量x的算术平均值。m e a n(A)返回按列求算术平均值的行向量。m e d i a n(x)求出向量x中元素的中值。m e d i a n(A)返回按列求中值的行向量。s t d(x)求出向量x中元素的标准差。s t d(A)返回按列求

10、标准差的行向量。,2023年6月29日星期四,20,6.2 数据分析,6.协方差和相关系数cov(x)求向量x的协方差。cov(A)求协方差矩阵，对角线元素是A中各列的方差。cov(x,y)等同于cov(x y)，x和y是列向量。corrcoef(A)求相关矩阵。corrcoef(x,y)等同于corrcoef(x y)，x和y是列向量。,2023年6月29日星期四,21,6.2 数据分析,7.排序s o r t(x)返回一个向量x的元素按递增排序的向量。如果元素是复数，则使用绝对值进行排序，即s o r t(a b s(x)。y,i n d=s o r t(x)返回下标向量i n d。就是y=x(i n d)。另外向量y是x中元素按递增排序得到的。sort(A)对A中各列按递增排序，注意矩阵的行已被改变。,