期权二叉树模型.ppt

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1、金融工程,主讲人：刘玉灿南京理工大学经济管理学院,第九章 期权损益及二叉树模型,第九章 期权损益及二叉树模型,第一节 期权到期日的损益分析第二节 期权定价的二叉树模型第三节 n期欧式期权的定价模型,第一节 期权到期日的损益分析,期权合约的持有者在将来某一时间，以某一固定的价格买/卖一项标的资产的权利。期权合约持有者没有义务必须执行这一权利，这是与一远期合约和期货合约的关键区别。但期权合约持有者必须先支付一笔不可返还的费用，来购买这项特权。即期权价格和期权金。美式期权和欧式期权,一、关于期权的一些符号规定,St 表示t时刻标的资产的市场价格；T表示期权的到期日（Maturity），tT；X表示期

2、权到期日的执行价格（strike price）；Ct表示以股票为标的资产、执行价格为X、执行时间（strike date）为T、在t时刻看涨期权（call option，买权）或看跌期权（put option，卖权）的价格。假设执行该期权时所交割的股票为1股。long position，short position，delivery price，delivery date,例子,股票价格S=21，且以q=0.5的概率向上和向下波动，无风险利率为0.15，u=1.4，d=1.1看涨期权价格为C，执行价格为22。,二、欧式期权各种头寸的损益分析,（一）看涨期权到期日损益分析（1）看涨多头（long

3、 position，做多方）的损益：看涨多头损益=max（STX，0）Ct（2）看涨空头（short position，做空方）的损益：看涨空头损益=Ct max（STX，0）,（二）看跌期权到期日损益分析（1）看跌多头（long position，做多方）的损益：看跌多头损益=max（XST，0）Ct（2）看跌空头（short position，做空方）的损益：看跌空头损益=Ct max（XST，0）以上均未考虑期权的时间价值。,三、欧式期权各种头寸的收益图,四、其他期权组合的收益,(一)牛市价差买卖组合（bullish vertical spread）是由购买一份执行价格为X1的看涨期权、

4、卖出一份执行价格为X2的看涨期权组成，其中X2X1。该证券组合的损益数学表达式：,(二)熊市价差买卖组合（bearish vertical spread）是由卖出一份执行价格为X1的看涨期权、买入一份执行价格为X2的看涨期权组成，其中X2X1。该证券组合的损益数学表达式：,(三)蝶式买卖组合（butterfly spread）是牛市价差买卖组合和熊市价差买卖组合的组合而成，即购入一份执行价格为X1和一份执行价格为X2的看涨期权，再卖出两份执行价格为X3的看涨期权。其中X2X3X1。该证券组合的损益数学表达式：,（四）底部马鞍式组合（bottom Straddle）是由购买一份看涨期权和一份看跌

5、期权组成的证券组合，期权执行价格均为X。该证券组合的损益数学表达式：,（五）顶部马鞍式组合（top Straddle）是由卖出一份看涨期权和一份看跌期权组成的证券组合，期权执行价格均为X。该证券组合的损益数学表达式：,（六）底部梯形组合（bottom vertical combination）是由买入一份看涨期权和一份看跌期权组成的证券组合，期权执行价格分别为X1和X2，其中X2X1。该证券组合的损益数学表达式：,（七）顶部梯形组合（top vertical combination）是由买出一份看涨期权和一份看跌期权组成的证券组合，期权执行价格分别为X1和X2，其中X2X1。该证券组合的损益数

6、学表达式：,（八）叠做期权（straps）由购进两个看涨期权和一个看跌期权组成的证券组合。它们的执行价格相同。该证券组合的损益数学表达式：,（九）逆叠做期权（strips）由购进两个看跌期权和一个看涨期权组成的证券组合。它们的执行价格相同。该证券组合的损益数学表达式：,（十）三明治买卖组合（sandwich）由购买两份执行价格为中间值Xm的看涨期权、卖一份执行价格为较低值Xd的看涨期权、卖一份执行价格为较高值Xu的看涨期权（即XuXmXd）组成的证券组合。该证券组合的损益数学表达式：,（十一）W型证券组合由卖出一份执行价格为中间值Xm的顶部马鞍组合（卖一份看涨期权和一份看跌期权，期权执行价格相

7、同）、买进两份执行价格为较低值Xd的看跌期权、买进两份执行价格为较高值Xu的看涨期权（即XuXmXd）组成的证券组合。该证券组合的损益数学表达式：,第二节 期权定价的二叉树模型,一、期权定价的一期模型：Cox-Ross-Rubinstein（1979）二叉树模型的假设：市场是竞争的和无摩擦的（无交易费用和税收）；不存在无风险套利机会；股票和期权是无限可分的。,股票在下一期的价格只有两种状态：其中0q1,0d1+ru,r为无风险利率。,为风险调整概率,看涨期权价格为C，执行价格X此期权如何定价？先构造一个无风险套期保值的证券组合：购买一份股票，卖空m份期权，证券组合价值：,构造的证券组合是无风险

8、证券组合，故在期末时它在各个状态的损益是一样的，则 uS-mCu=dS-mCd则m称为套期保值率（hedge ratio）。,期权的价格,期权的价格C：构造的证券组合是无风险证券组合，则(1r)(SmC)uSmCu将m代入上式得,若投资者是风险中性的，则：(1+r)S=quS+(1-q)dS 在风险中性概率下，证券价格的期望值贴现就是其现值。由此得因此,例子,股票价格S=21元，1+r=1.15，u=1.4，d=1.1，X=22元时uS=211.4=29.4，dS=211.1=23.1Cu=max（uS-X，0）=29.4-22=7.4Cd=max（dS-X，0）=23.1-22=1.1说明1

9、，证券组合：买一份股票和卖一份看涨期权说明2，套期保值证券组合的成本：21-11.87=19.13元说明3，投资的回报率22/19.13=1.15=1+r,二、期权定价的二期模型,状态1概率q2，状态2概率C21q(1-q)，状态3概率(1-q)2C=E(Ct)/(1+r)，即期权价值等于在风险中性概率下二期损益的期望值贴现。,第三节 n期欧式期权的定价模型,一、二项式及二项式试验：n次独立贝努利试验，n次试验中有k次出现正面的概率：E（n）=nqD（n）=var（n）=nq(1-q),说明期权价格与下列因素有关：1、股票价格、执行价格；2、无风险利率r，主要降低执行价格的贴现值；3、增加到期期限，提高看涨期权的价格；4、二项分布的方差2=nq(1-q)增加，看涨期权价格增加。,