有限元法及其应用.ppt

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1、有限元方法及其应用,能源与动力学院202研究室,授课教师：关玉璞 办公室：动力楼333室 Tel：84890515 84892202-2333 Mobile：,能源与动力学院202研究室,课程简介,本课程是一门专业选修课程 航空宇航推进理论与工程 动力机械及工程 机械设计及理论 车辆工程,能源与动力学院202研究室,课程简介,本课程是一门应用基础课程 以现代力学和应用数学为基础，以计算机及技术为工具，以求解现代工程和科学技术中的力学问题为目标，研究离散化理论和求解方程，伴随计算机出现而兴起和发展，在许多领域得到广泛需求和应用。,能源与动力学院202研究室,课程简介,本课程内容丰富充实 介绍有限

2、元法的数学基础变分原理；讨论连续体结构的有限元分析，包括平面问题、轴对称问题和空间问题；将线性有限元法推广至非线性有限元法，包括弹塑性问题有限元法和有限变形问题有限元法。,能源与动力学院202研究室,学习目标,熟悉并掌握有限元法的数学基础，丰富与掌握常用单元的特性与总体分析方法，掌握有限元分析数值解的有关性质和复杂单元的实现技术，了解非线性有限元法的基本概念、基本方程与求解方法。初步学会使用一种通用结构分析有限元软件。,能源与动力学院202研究室,教材及参考书,航空航天结构有限元法 关玉璞主编 哈尔滨工业大学出版社 有限元分析及应用 曾 攀主编 清华大学出版社,能源与动力学院202研究室,教材

3、及参考书,The Finite Element Method O.C.Zienkiewicz,R.L.Taylor 世界图书出版公司 有限元分析的概念与应用 R.D.Cook,D.S.Malkus,M.E.Plesha,etc 关正西，强洪夫，王铁军等译 西安交通大学出版社,能源与动力学院202研究室,第1章 绪论,1.1 有限元法的发展简史1.2 弹性力学的基本概念1.3 有限元法的基本概念,能源与动力学院202研究室,1.1 有限元法的发展简史,求解微分方程的数值计算方法。优点：理论完善，物理意义直观明确，解题效率高等。随着电子计算机的发展和应用，有限元法已经成为解决许多科学和工程实际问题

4、的有效工具。,能源与动力学院202研究室,1.1 有限元法的发展简史,1943年，数学家Courant 应用定义在三角形区域上的分片连续函数，与最小势能原理相结合，来求解St.Venant扭转问题。,能源与动力学院202研究室,1.1 有限元法的发展简史,1955年，Argyris和Kelsey 利用最小势能原理，得到了系统的刚度方程，推广杆系结构矩阵分析法，对连续结构进行了分析。,能源与动力学院202研究室,1.1 有限元法的发展简史,1956年，波音公司Turner,Clough,Martin和Topp等人 在分析大型飞机结构时，第一次给出采用直接刚度法推导出的三角形单元，将结构力学中的位

5、移法推广到平面应力问题。,能源与动力学院202研究室,1.1 有限元法的发展简史,1960年，Clough 在一篇论文中首次使用“Finite Element”（有限元或有限单元）这一名称。,能源与动力学院202研究室,1.1 有限元法的发展简史,1963年，Besseling等人 证明了有限元法是基于变分原理的Ritz法的另一种形式。,能源与动力学院202研究室,1.1 有限元法的发展简史,1969年，Oden将有限元法推广应用于加权残量法（如Galerkin法）。同年，Zienkiewicz提出了等参元的概念，从而使有限元法更加普及与完善。,能源与动力学院202研究室,1.1 有限元法的发

6、展简史,1970年代以后，随着电子计算机硬件和软件技术的发展，有限元法的研究和应用得到了飞速地进展。出现了一些大型结构分析软件，如SAP，NONSAP等，安装在大中型计算机上。,能源与动力学院202研究室,1.1 有限元法的发展简史,有限元法应用的领域不断扩大 平面问题空间问题和板壳问题 静力平衡动力响应和结构稳定,能源与动力学院202研究室,1.1 有限元法的发展简史,固体力学流体力学、传热学和电磁学等 弹性材料弹塑性、塑性、黏弹性、黏塑性和复合材料等 航空领域宇航、土木建筑、机械制造、水利工程、船舶海洋工程与核工程等领域,能源与动力学院202研究室,1.1 有限元法的发展简史,1980年代

7、，多种功能扩大，大型通用程序如ADINA等，微型计算机，前后处理出现。1990年代，领域扩大，前后处理功能增强，大型商用软件，如ANSYS、MARC、NASTRAN等。,能源与动力学院202研究室,1.1 有限元法的发展简史,目前，面向工程，与CAD结合成为CAE（计算机辅助工程）软件。,能源与动力学院202研究室,1.1 有限元法的发展简史,汽轮机叶片六面体有限元网格,能源与动力学院202研究室,1.1 有限元法的发展简史,整级叶片接触振动分析（第四阶振型）,能源与动力学院202研究室,1.1 有限元法的发展简史,涡轮盘强度疲劳分析,能源与动力学院202研究室,1.1 有限元法的发展简史,喷

8、嘴热固耦合分析,能源与动力学院202研究室,1.2 弹性力学的基本概念,有限元法最初求解弹性力学平面问题时显露出有效性。弹性体的变形能和外力势能可以表示为二次泛函。,能源与动力学院202研究室,1.2 弹性力学的基本概念,1.2.1 三维问题 1.应力与平衡方程 在外力作用下，弹性体内部各部分之间产生内力，单位面积上的内力称为应力。,能源与动力学院202研究室,1.2 弹性力学的基本概念,能源与动力学院202研究室,1.2 弹性力学的基本概念,一点的9个应力分量构成应力张量 x,xy,xz,yx,y,yz,zx,zy,z,能源与动力学院202研究室,1.2 弹性力学的基本概念,切应力互等定律,

9、能源与动力学院202研究室,1.2 弹性力学的基本概念,有限元法中，6个独立的应力分量排成列向量,能源与动力学院202研究室,1.2 弹性力学的基本概念,能源与动力学院202研究室,1.2 弹性力学的基本概念,由四面体的平衡条件，得到,能源与动力学院202研究室,1.2 弹性力学的基本概念,是斜面上的应力 的三个分量。,能源与动力学院202研究室,斜面上的正应力分量为,1.2 弹性力学的基本概念,能源与动力学院202研究室,斜面上的切应力分量为,1.2 弹性力学的基本概念,能源与动力学院202研究室,弹性体中任意一点都存在三个互相正交的主应力。体积应力为三个正应力之和，在坐标变换下是不变量。,

10、1.2 弹性力学的基本概念,能源与动力学院202研究室,微元六面体的平衡方程为,1.2 弹性力学的基本概念,能源与动力学院202研究室,1.2 弹性力学的基本概念,1.2.1 三维问题 2.应变与几何方程 弹性体内任一点，小变形后移动到，位移函数为,能源与动力学院202研究室,1.2 弹性力学的基本概念,能源与动力学院202研究室,1.2 弹性力学的基本概念,一微小线段PA=dr，经小变形后变为，其正应变为,能源与动力学院202研究室,正应变关于位移的表达式为,1.2 弹性力学的基本概念,能源与动力学院202研究室,1.2 弹性力学的基本概念,能源与动力学院202研究室,展开右端并略去高阶无穷

11、小，得到,1.2 弹性力学的基本概念,能源与动力学院202研究室,变形前两条线段的夹角，它们的夹角余弦 为,1.2 弹性力学的基本概念,能源与动力学院202研究室,变形后两条线段的夹角，它们的夹角余弦 为,1.2 弹性力学的基本概念,能源与动力学院202研究室,两条线段夹角关于位移的表达式为,1.2 弹性力学的基本概念,能源与动力学院202研究室,1.2 弹性力学的基本概念,能源与动力学院202研究室,只要P点处的三个正应变,1.2 弹性力学的基本概念,能源与动力学院202研究室,和三个切应变 已知，就可以完全确定P点附近的变形状态。,1.2 弹性力学的基本概念,能源与动力学院202研究室,切

12、应变同样满足互等定律，六个应变分量表示为一个应变向量为,1.2 弹性力学的基本概念,能源与动力学院202研究室,同样，弹性体中任意一点都存在三个互相正交的主应变。体积应变为三个正应变之和，在坐标变换下也是不变量。,1.2 弹性力学的基本概念,能源与动力学院202研究室,对于各向同性体，应力主轴和应变主轴的方向是一致的。,1.2 弹性力学的基本概念,能源与动力学院202研究室,几何方程的矩阵形式为,1.2 弹性力学的基本概念,能源与动力学院202研究室,1.2 弹性力学的基本概念,能源与动力学院202研究室,1.2 弹性力学的基本概念,1.2.1 三维问题 3.物理方程 应力与应变之间的一般关系

13、式，即物理方程为,能源与动力学院202研究室,1.2 弹性力学的基本概念,能源与动力学院202研究室,1.2 弹性力学的基本概念,能源与动力学院202研究室,用应变表示应力的物理方程为 写成矩阵形式,1.2 弹性力学的基本概念,能源与动力学院202研究室,1.2 弹性力学的基本概念,能源与动力学院202研究室,式中 和剪切弹性模量G称为拉梅系数。而体积应变与体积应力之间的关系为,1.2 弹性力学的基本概念,能源与动力学院202研究室,式中比例系数称为体积弹性模量。,1.2 弹性力学的基本概念,能源与动力学院202研究室,1.2 弹性力学的基本概念,1.2.1 三维问题 4.边界条件 弹性体的边

14、界以固定、荷载和弹性支承三种方式承受面力,能源与动力学院202研究室,对应三种支承的边界条件为（1）几何约束条件,1.2 弹性力学的基本概念,能源与动力学院202研究室,（2）面力平衡条件,1.2 弹性力学的基本概念,能源与动力学院202研究室,（3）耦合平衡条件 在 上式中 是弹性支承系数。,1.2 弹性力学的基本概念,能源与动力学院202研究室,1.2 弹性力学的基本概念,1.2.2 二维问题薄板_平面应力问题相当长的棱柱体_平面应变问题,能源与动力学院202研究室,1.2 弹性力学的基本概念,1.2.2 二维问题 1.平面应力问题（1）力的平衡方程,能源与动力学院202研究室,1.2 弹

15、性力学的基本概念,（2）几何方程,能源与动力学院202研究室,1.2 弹性力学的基本概念,（3）物理方程,能源与动力学院202研究室,1.2 弹性力学的基本概念,用应变表达应力则为,能源与动力学院202研究室,1.2 弹性力学的基本概念,从三维物理方程还可推导出,能源与动力学院202研究室,1.2 弹性力学的基本概念,（4）边界条件 固定支承、荷载支承和弹性支承的边界条件分别为,能源与动力学院202研究室,1.2 弹性力学的基本概念,能源与动力学院202研究室,1.2 弹性力学的基本概念,1.2.2 二维问题 2.平面应变问题 力的平衡方程、几何方程和边界条件同平面应力问题一样。,能源与动力学

16、院202研究室,1.2 弹性力学的基本概念,从 和三维问题物理方程，得到,能源与动力学院202研究室,1.2 弹性力学的基本概念,用应变表达应力则为,能源与动力学院202研究室,1.2 弹性力学的基本概念,平面应力问题中的弹性常数更换,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,1.3.1 结构离散化 求解域离散化 结点，有限单元 假设近似解的模式，结点未知参数 代数方程组，求解未知数，近似解,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,结构离散化：（1）划分单元（2）约束简化（3）等效结点载荷计算,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,单元：分割连续

17、体的小区域，有线、面或实体等种类。结点：连接单元的空间点，具有一定的自由度。自由度：描述物理场响应特性的参量，随单元类型变化。,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,1.3.2 刚度矩阵 结构离散化后，进行单元特性分析，确定单元结点力和结点位移的关系。,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,在位移型有限元法中，就是要确定单元刚度矩阵。单元刚度矩阵反映了单元的特性。,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,用弹簧来模拟单元说明刚度的概

18、念。弹簧结点 i 处的力和位移之间的关系为,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,1.3.2 刚度矩阵 1.杆系结构的单元刚度矩阵 一平面桁架结构如下图。,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,杆单元的结点位移列阵和结点力列阵为,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,当 时，在 i、j 二结点的x，y两个方向所产生的抵抗变形的力（即刚度）为,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,当 时，在 i、j 二结点的x，y

19、两个方向所产生的抵抗变形的力（即刚度）为,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,当各结点位移分量同时存在，在线弹性范围内，则各结点力分量等于各个位移分量所产生的结点力分量的线性叠加，即,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,写成矩阵形式,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,杆件只承受轴向力，只产生轴向位移，从图1.10可以看出,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,求出其他结点力与结点位移的关系，写成矩阵形式 式中K为杆件的轴向刚度系数,能源与动力学院202研究室,

20、1.3 有限元法的基本概念,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,单元刚度矩阵的物理意义就是单元抵抗变形的能力。,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,1.3.2 刚度矩阵 2.结构刚度方程 将杆单元组成结构，列出整体刚度方程，即建立平面桁架各结点上内力和外力的平衡方程。,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,单元的刚度方程为,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,单元的刚度方程为,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,单元的刚度方程为,能源与动力学

21、院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,根据变形协调条件，即在相互连接的公共结点处，各单元的结点位移必须相等，如结点4处，其位移,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,按力的平衡条件，就是在相互连接的公共结点处，各单元的对结点的作用力与作用在该结点的外载荷必须相等，对于结点4有,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,将上面各结点总合力与各结点位移的关系写成矩阵形式,能源与动力学院202研究

22、室,1.3 有限元法的基本概念,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,1.3.2 刚度矩阵 3.连续体的刚度矩阵 一个带孔的矩形薄板，两端承受均布拉力。用有限元法分析，离散成在 n 个结点处相连接的有限个三角形单元的组合体。,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,任取1个单元，令其3个结点为i，j，m，单元结点位移和结点力为,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,当，其它结点位移分量为零时，这相当于在结点 i 处设置了一个只允许产

23、生水平方向位移的连杆铰支座，在结点 j,m 处分别设置了固定铰支座。,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,若假设三角形单元内各点的位移按线性变化，单元的变形情况如图中虚线所示，那末抵抗变形的各结点力分量（即刚度）为,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,同样方法，当，其它结点位移分量为零时，抵抗变形的结点力分量为,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,若各结点位移分量同时存在，则各结点力分量为各个位移分量所产生的结点力分量的线性叠加，写成矩阵形式，即,能源与动力学院202研究室,1.3 有限元法的基本概念,能源与动力学院202研究室,