六章节四章节时.ppt

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1、第四课时等比数列（1）,第六章数列,知识梳理,一、等比数列的定义一般地，一个数列_，即 q(nN*)，则这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的_，公比通常用字母q 表示(q0)二、等比数列的通项公式an_.,答案：一、从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数 公比 二、a1qn1,三、等比数列的前n项和Sn 四、等比数列的中项公式如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做_，即_,答案：四、a与b的等比中项G,五、等比数列的主要性质1anamqnm(n，mN*)2对于任意正整数m、n、r、s，只要满足mnrs，则_3对于任意正整数p、r、s，如果pr2s，则_4对任意正整数n1，有

2、an1an1.5对于任意非零实常数b，ban也是等比数列6若an、bn是等比数列，则anbn也是等比数列,答案：五、2.amanaras3.apar,7等比数列 中，如果an0，则logaan是等差数列8若数列logaan成等差数列，则an成等比数列9若数列 是等比数列，则数列a2n，a2n1，a3n1，a3n2，a3n等都是等比数列10若等比数列 的公比q1，前n项和为Sn，则Sm，S2mSm，S3mS2m成等比数列，所以(S2mSm)2Sm(S3mS2m).,基础自测,1(2010年全国卷)已知各项均为正数的等比数列an，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6()A5B7C6D4

3、,解析：由等比数列的性质知a1a2a3(a1a3)a2a 5，a7a8a9(a7a9)a8a 10，所以a2a850，,答案：A,2(2010年辽宁卷)设Sn为等比数列 的前n项和，已知3S3a42,3S2a32，则公比q()A3 B4 C5 D6,解析：两式相减得，3a3a4a3，a44a3，,答案：B,3A(2011年广州一模)各项都为正数的等比数列an中，a1=2，a6=a1a2a3,则公比q的值为（）A B C2 D3,C,3B(2010年长沙模拟)设数列 为公比q1的等比数列，若a4，a5是方程4x28x30的两根，则a6a7_.,18,4(2010年佛山一模)若数列an满足：a11

4、，an12an(nN*)，其前项n和为Sn，则S44a4_.,17,已知等比数列an中，a1a2a37，a1a2a38，求an.,思路分析：利用等比数列的基本量的关系式，根据条件列方程，进而求出a1和q.,解析：设an的公比为q，由题意知,an2n1或an23n.,点评：转化成基本量的方程，进而解方程是解决数列问题的基本方法,变式探究,1(2010年温州模拟)已知an是等比数列，a24，a5，则公比q()AB2C2D.,解析：由a5 a2q34q3，解得q.答案：D,2(2011年深圳罗湖区检测)设等比数列an的公比q1，前n项和为Sn.已知a32，S45S2，求an的通项公式,解析：,由得1

5、q45(1q2)，(q24)(q21)0，(q2)(q2)(q1)(q1)0，因为q1，解得q1或q2.当q1时，代入得a12，通项公式an2(1)n1；当q2时，代入得a1，通项公式an(2)n1.,已知数列an为等差数列，公差d0，an的部分项组成下列数列：，恰为等比数列，其中k11，k25，k317，求k1k2k3kn.,思路分析：运用等差(比)数列的定义分别求得，然后列方程求得kn.,解析：设an的首项为a1,成等比数列，(a14d)2a1(a116d)，得a12d，q 3.a1(kn1)d，又 a13n1,kn23n11.k1k2kn2(133n1)n2 n3nn1.,点评：运用等差

6、(比)数列的定义转化为关于kn的方程是解题的关键，转化时要注意：akn是等差数列中的第kn项，也是等比数列中的第n项,变式探究,3(2010年崇文区统测)在正项等比数列an中，a3a74，则数列log2an的前9项之和为_,答案：9,4(2010年杭州模拟)已知 是等比数列，a22，a5，则a1a2a2a3anan1()A16(14n)B16(12n)C.(14n)D.(12n),解析：由a5 a2q32q3，解得q.数列 仍是等比数列：其首项是a1a28，公比为.所以，,答案：C,(2010年大连模拟)在数列an中，a11，a22，且an1(1q)anqan1(n2，q0)(1)设bnan1

7、an(nN*)，证明bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式,思路分析：本题主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法.,解析：(1)证明：由题设an1(1q)anqan1(n2)，得an1anq(anan1)，即 q，(n2)又b1a2a11，q0，所以bn是首项为1，公比为q的等比数列,(2)由(1)得an1anqn1(nN*)，于是有a2a11，a3a2q，anan1qn2，(n2)将以上各式相加，得ana11qqn2(n2)所以当n2时，an,上式对n1显然成立,点评：等比数列的判定方法主要有：(1)定义法：q(q是不为0

8、的常数，nN*)an是等比数列(2)通项公式法：ancqn(c、q均是不为0的常数，nN*)an是等比数列(3)等比中项公式法：anan2(an、an1、an2不为零，nN*)an是等比数列,变式探究,5.在数列 中，a12，an14an3n1，nN*.(1)证明数列 是等比数列；(2)求数列 的前n项和Sn；(3)证明不等式Sn14Sn，对任意nN*皆成立,思路分析：本题主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法,解析：(1)证明：由题设an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nN*.又a111，所以数列 是首项为1，且

9、公比为4的等比数列(2)由(1)可知ann4n1，于是数列的通项公式为an4n1n.,(3)证明：对任意的nN*，,所以不等式Sn14Sn，对任意nN*皆成立,6数列，的通项公式分别是an2n，bn3n2，它们的公共项由小到大排列的数列是.(1)写出 的前5项；(2)证明 是等比数列,解析：(1)的前5项为：8、32、128、512、2048.(2)设ambpcn，cn2m3p2，而am122m2(3p2)3(2p1)1am1不在bn中，又am242m4(3p2)3(4p2)2，am2在bn中，am2是 中的项即cn1项，cn14cn，故 是等比数列,(2011年济宁模拟)已知数列an、bn、

10、cn的通项公式满足bnan1an，cnbn1bn(nN*)，若数列bn是一个非零常数列，则称数列an是一阶等差数列；若数列cn是一个非零常数列，则称数列an是二阶等差数列(1)试写出满足条件a11，b11，cn1的二阶等差数列an的前五项；(2)求满足条件(1)的二阶等差数列an的通项公式an；(3)若数列an首项a12，且满足cnbn13an2n1(nN*)，求数列an的通项公式,解析：(1)a11，a22，a34，a47，a511；(2)依题意 bn1bncn1，n1,2,3，所以bn(bnbn1)(bn1bn2)(bn2bn3)(b2b1)b111111n.又an1anbnn，n1,2,

11、3，所以an(anan1)(an1an2)(an2an3)(a2a1)a1(n1)(n2)211,(3)由已知cnbn13an2n1，可得bn1bnbn13an2n1，即bn3an2n1，即an14an2n1.,解法一：整理得：an12n14(an2n)，因而数列an2n的首项为a124，公比为4的等比数列，an2n44n14n，即an4n2n.解法二：在等式an14an2n1两边同时除以2n1,令kn，则kn12kn1，即kn112(kn1)故数列kn1是首项为2，公比为2的等比数列，所以kn122n12n，即kn2n1，an2nkn2n(2n1)4n2n.,变式探究,7.(2011年南京模

12、拟)已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，首项为a1，且2，an，Sn成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)若bnlog2an，cn，求数列cn的前n项和Tn.,解析：(1)由题意知2anSn2，an0，当n1时，2a1a12，a12，当n2时，Sn2an2，Sn12an12，两式相减得 an2an2an1，整理得 2.数列an是以2为首项，2为公比的等比数列ana12n122n12n.,(2)由(1)知an2n，bnn,cn.,1等比数列的判定方法(1)q(q是不为0的常数，nN*)是等比数列；(2)cqn(c，q均是不为0的常数，nN*)是等比数列；(3)anan2(an0，n

13、N*)an是等比数列；(4)SnAqnA(A，q为常数且A0，q0,1)是公比不为1的等比数列2an为等比数列是 anan2的充分但不必要条件3若证an不是等比数列，只需证 ak1ak1(k为常数，kN，且k2),1(2010年广东卷)已知数列an为等比数列，Sn是它的前n项和若a2a32a1,且a4与2a7的等差中项为，则S5()A35B33C31D29,解析：设an的公比为q，则由等比数列的性质知，a2a3a1a42a1，即a42.,答案：C,2(2010年北京卷)已知an为等差数列，且a36，a60.(1)求an的通项公式；(2)若等比数列bn满足b18，b2a1a2a3，求bn的前n项和公式,解析：(1)设等差数列an的公差为d.因为a36，a60，,解得a110，d2.所以an10(n1)22n12.,(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2a1a2a324，b18，所以8q24，即q3.所以数列bn的前n项和公式为Sn,祝,您,学业有成,