曲线积分与曲面积分(IV).ppt

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1、1,第二节 第二类曲线积分(对坐标的曲线积分),问题的提出,第二类曲线积分的概念,第二类曲线积分的计算,第九章 曲线积分与曲面积分,两类曲线积分之间的关系,小结 思考题 作业,2,变力沿曲线所作的功,常力沿直线所作的功,分割,？,一、问题的提出,求质点从A移动到B时力,对它所作的功。,设,3,它可近似地看作长度为,的有向线段，,并取,上任一点,处的切向量,的指向作为有向线段的方向。,取,取近似,求和,取极限,4,上式右端极限恰好是数量值函数,在曲线弧L上的第一类曲线积分，,故W可表为,5,二、第二类曲线积分的概念,设L为xOy面内从点A到点B的一条光滑的有向,曲线弧,在L上有界，,向量值函数,

2、是定向曲线弧L上点,处的单位切向量，,如果第一类曲线积分,6,存在，,则称此积分为,向量值函数,在定向曲线弧L上的积分，,也称为,第二类曲线积分,对坐标的曲线积分,或,记作,即,定向弧元素,7,设平面曲线弧的单位切向量为,则,所以,8,在光滑曲线弧L上,第二类曲线积分存在.,连续,可类似定义三维向量值函数,在空间的定向光滑曲线,上的第二类曲线积分,9,L1,L2,第二类曲线积分与,(1),则,(2),有向曲线弧,则,曲线的方向有关.,如L是封闭曲线,还采用积分号,10,两类曲线积分之间的关系,即,11,例,解,所以,把第二类曲线积分,化为第一类曲线积分,其中L为沿抛物线,从点(0,0)到(1,

3、1).,12,第二类曲线积分与曲线的方向有关.,三、第二类曲线积分的计算,思想,因此下限应是起点的坐标,化为定积分计算.,上限是终点的,坐标.,13,定理,弧L上连续,设,在定向曲线,具有一阶连续,导数,14,特殊情形,(1),(2),则,则,15,(3),推广,16,例,解,(1),17,(2),18,其中是由点A(1,1,1)到点B(2,3,4)的直线段.,直线AB的方程为,解,化成参数式方程为,于是,例,A点对应,B点对应,19,例,(1)L是上半圆周 反时针方向;,解,A点对应,(2)L是x轴上由点 到点 的线段.,(1)中L的参数方程为,B点对应,其中,原式=,20,(2)L的方程为,原式=,(2)L是x轴上由点 到点 的线段.,其中,21,例,直接化为定积分计算,取逆时针方向.,解,由曲线积分的性质.,则,其中ABCDA为,22,第二类曲线积分的概念,第二类曲线积分的计算,两类曲线积分之间的联系,五、小结,四步:分割、取近似、求和、取极限,思想:化为定积分计算,第二类曲线积分的物理意义,变力沿曲线所作的功,关于曲线方向的性质,注意:,第二类曲线积分的性质,23,作 业,习题9-2(132页),1.(2)(4)(6)(8)2.3.5.,