无限脉冲响应数字滤波器的设计.ppt
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1、第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计,6.1 数字滤波器的基本概念,滤波的目的,为了抑制输入信号的某些频率成分,从而改变信号频谱中各频率分量的相对比例。广义滤波包括对信号的检测与参量的估计。信号的检测:确定在干扰背景中信号是否存在。信号参量的估计:为识别信号而确定信号的某一个或某几个参量的估值。,滤波技术,滤波器设计:根据给定滤波器的频率特性,求得满足该特性的传输函数。滤波过程的实现:获得传输函数后,以何种方式达到对输入信号进行滤波的目的。,数字滤波器:是指输入、输出均为数字信号,通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例,或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。优点:数字滤波器处理精度
2、高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题,可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。,6.1 数字滤波器的基本概念,数字滤波器的设计原理,数字滤波器一般是一个线性时不变系统。数字滤波器的设计是已知它的频率特性,求它的系统函数H(z)或单位脉冲响应h(n).,完全实现一个理想的频率特性在理论上可以做到,但实际实现则比较困难,另一方面,实际的滤波器也允许有一定的误差。所以给出的频率特性通常是频率特性指标。在误差范围内,往往有多个H(z)或h(n)满足指标。因此,设计出的H(z)或h(n)不是唯一的。,6.1 数字滤波器的基本概念,分类:低通(LP),高通(HP),带通(BP),带阻(BS
3、),加性噪声,若 中的有用成分 和希望去除的成分各自占有不同的频带,通过一个线性系统可将 有效去除.,一、数字滤波器的分类,1、经典滤波器与现代滤波器,经典滤波器,种类:维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预测、自适应滤波器,乘法性噪声,卷积性噪声,信号的频谱和噪声的频谱混迭在一起,靠经典的滤波方法难以去除噪声。目标:根据随机信号的一些统计特性,在某种最佳准则下,最大限度地抑制干扰,同时最大限度地恢复信号,从而达到最佳滤波的目的。,现代滤波器,一、数字滤波器的分类,2、理想滤波器的频率响应,一、数字滤波器的分类,几点说明:,(1)由于频率特性的周期性,只需考虑数字频率在(02)范围的幅度响应。,(2
4、)根据耐奎斯特定理,输入信号不得超过采样频率的一半,而且实序列的频谱具有共轭对称性质,所以,频率特性只能限于(0)内。,(3)图示的滤波器特性没有过渡带,不可能实现。只能在误差范围内近似实现。,一、数字滤波器的分类,3、本课程数字滤波器设计的适用对象 通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器,其有用信号和干扰信号的频谱分别在不同的频段。用IIR或FIR系统实现时,系数是固定的。如果两者的频谱共用同一个频段,则需使用自适应滤波器实现,它与普通滤波器不一样的地方是,它的滤波系数是随输入信号的变化而变化。,一、数字滤波器的分类,设输入为一个低频正弦波与一个高频正弦波叠加而成。,左边为时域波形,右边为它的
5、频谱。,滤波前:,滤波后:,一、数字滤波器的分类,二、数字滤波器的技术指标,数字滤波器的频率特性:其中:选频滤波器一般只考虑幅频特性,对相频特性不作要求。若对输出波形有要求时,则需考虑线性相位问题。,幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分振幅衰减情况,相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况,通带,阻带,过渡带,低通滤波器的幅频特性指标示意图,二、数字滤波器的技术指标,在阻带内,幅度响应以误差 逼近0,即,在过渡带内,幅度响应平滑地从通带下降到阻带。,在通带内,幅度响应以误差 逼近1,即,二、数字滤波器的技术指标,上述表示不是很方便,在具体的技术指标中,往往使用通带允许的最大衰减
6、(波纹)和阻带应达到的最小衰减 表示,这里的两个指标都是正数。,定义为:,二、数字滤波器的技术指标,这里=0处幅度已归一化到1。,二、数字滤波器的技术指标,p 越小,通带波纹越小,通带逼近误差就越小;s越大,阻带波纹越小,阻带逼近误差就越小;p与s间距越小,过渡带就越窄。,低通滤波器的设计指标:,二、数字滤波器的技术指标,三、数字滤波器设计方法概述,设计IIR数字滤波器一般有以下两种方法:1.间接法:首先设计一个合适的模拟滤波器,然后将它转换成满足给定指标的数字滤波器,这种方法适合于设计幅频特性比较规则的滤波器,例如低通、高通、带通、带阻等。2.直接法:直接在频域或者时域中进行数字滤波器设计,
7、由于要联立方程,设计时需要计算机作辅助设计。,6.2 模拟滤波器的设计,常用模拟滤波器:1、巴特沃斯(Butterworth)滤波器 2、切比雪夫(Chebyshev)滤波器 3、椭圆(Ellipse)滤波器,一、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法,设计模拟滤波器时,设计指标一般由幅频响应函数|Ha(j)|给出,而模拟滤波器设计就是根据设计指标,求系统函数Ha(s)。,1、四个技术指标,工程实际中通常用损耗函数(衰减函数)A()来描述滤波器的幅频响应特性,损耗函数A()是对幅频响应|Ha(j)|的非线性压缩,放大了小的幅度,从而可以同时观察通带和阻带频响特性的变化情况。,1、四个技术指标,模拟
8、滤波器的设计指标:,p:通带截止频率s:阻带截止频率,p:通带最大衰减,s:阻带最小衰减,1、四个技术指标,模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数|Ha(j)|2来表示,即,由于滤波器冲激响应ha(t)是实函数,因而Ha(j)满足,2、由幅度平方函数确定系统函数,如果能由 p、p、s和s求出|Ha(j)|2,那么就可以求出Ha(s)Ha(s),由此可求出所需要的Ha(s)。Ha(s)必须是因果稳定的,因此极点必须落在s平面的左半开平面,相应的Ha(s)的极点必然落在右半开平面。这就是由Ha(s)Ha(s)求所需要的Ha(s)的具体原则,即模拟低通滤波器的逼近方法。,2、由幅度平方函数确定系统函数,
9、二、巴特沃斯低通滤波器的设计,巴特沃斯逼近又称最平幅度逼近,它具有通带内最大平坦的振幅特性,且随的增大,幅频特性随单调下降。1、原理巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为:,巴特沃斯低通滤波器幅度特性与N之间的关系,二、巴特沃斯低通滤波器的设计,由图可知:,二、巴特沃斯低通滤波器的设计,优点:幅度特性平坦,相位特性近似为线性相位;缺点:阶次N一般较大。,二、巴特沃斯低通滤波器的设计,以s替换j,将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数:,二、巴特沃斯低通滤波器的设计,上式表明幅度平方函数有2N个极点,极点sk用下式表示:,2N个极点等间隔分布在半径为c的圆上(该圆称为巴特沃斯圆),间隔是/Nra
10、d。,二、巴特沃斯低通滤波器的设计,设N=3,极点有6个,它们分别为:,二、巴特沃斯低通滤波器的设计,设N=4,极点有8个,它们分别为:,二、巴特沃斯低通滤波器的设计,为形成因果稳定的滤波器,2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s),而右半平面的N个极点构成Ha(s)。,归一化后的系统函数:,二、巴特沃斯低通滤波器的设计,令p=s/c,(p称为归一化复变量),则巴特沃斯滤波器的归一化低通原型系统函数为:,二、巴特沃斯低通滤波器的设计,归一化原型系统函数Ga(p)的系数bk,以及极点pk,可以由表得到。,二、巴特沃斯低通滤波器的设计,表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数,二、
11、巴特沃斯低通滤波器的设计,二、巴特沃斯低通滤波器的设计,二、巴特沃斯低通滤波器的设计,阶数N取大于或等于N的最小整数。,二、巴特沃斯低通滤波器的设计,3、低通巴特沃斯滤波器的设计步骤(1)根据技术指标p、p、s和s,求出滤波器的阶数N和c。(2)求出归一化极点pk,及归一化低通原型系统函数Ga(p)。(3)将Ga(p)去归一化。将p=s/c代入Ga(p),得到实际的滤波器系统函数,二、巴特沃斯低通滤波器的设计,例1、已知通带截止频率fp=5 kHz,通带最大衰减 p=2 dB,阻带截止频率fs=12 kHz,阻带最小衰减 s=30 dB,按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解:(1)确定阶
12、数N和c,取N=5,二、巴特沃斯低通滤波器的设计,二、巴特沃斯低通滤波器的设计,或直接查表可得极点:0.3090j0.9511,0.8090j0.5878,1.0000归一化低通原型系统函数为式中,b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361,二、巴特沃斯低通滤波器的设计,(3)去归一化将p=s/c代入Ga(p)中,得到:,二、巴特沃斯低通滤波器的设计,巴特沃斯模拟滤波器的设计总结:,上述归一化公式和表格是相对3dB 截止频率 给出的。由指定的技术指标,利用上述公式和表格进行设计时,最关键的2个参数是滤波器的阶数N和3dB 截止频率。N用来
13、求巴特沃思多项式,用来去归一化,求实际滤波器的参数。,二、巴特沃斯低通滤波器的设计,切比雪夫低通滤波器,切比雪夫低通滤波器采用切比雪夫函数来逼近给定的指标,该函数具有等波纹特性。它可将指标要求均匀发布在通带(或阻带)内,故如此设计出的滤波器阶数较低。,巴特沃斯低通滤波器的缺点是阶次较高,原因是它的频率特性在通带和阻带内都是随的增大而单调减小,如果在通带(阻带)满足指标,则在阻带(通带)内肯定有富裕量。,三、切比雪夫滤波器的设计,切比雪夫型的幅度平方函数为:,为小于1的正数,表示通带内幅度波动的程度,愈大,波动幅度也愈大;p称为通带截止频率。令=/p,称为对p的归一化频率。CN(x)称为N阶切比
14、雪夫多项式。,三、切比雪夫滤波器的设计,设计过程:1)根据要求的滤波器指标确定波纹参数 和阶数N。2)求归一化传输函数。3)去归一化。将 代入归一化原型滤波器系统函数,即得到实际滤波器传输函数。,三、切比雪夫滤波器的设计,四、椭圆滤波器,椭圆(Elliptic)滤波器允许在通带和阻带内都有等间隔的波动,可进一步减少滤波器的阶次,但通带上的相位响应非线性失真(波形)较大。,五、三种滤波器比较,复杂性:在满足相同的滤波器幅频响应指标条件下,巴特沃思滤波器阶数最高,椭圆滤波器的阶数最低,而且阶数差别较大。所以,就满足滤波器幅频响应指标而言,椭圆滤波器的性能价格比最高,应用较广泛。,当阶数相同时,对相
15、同的通带最大衰减 p和阻带最小衰减s,巴特沃思滤波器具有单调下降的幅频特性,过渡带最宽。两种类型的切比雪夫滤波器的过渡带宽度相等,比巴特沃思滤波器的过渡带窄,但比椭圆滤波器的过渡带宽。切比雪夫型滤波器在通带具有等波纹幅频特性,过渡带和阻带是单调下降的幅频特性。切比雪夫型滤波器的通带幅频响应几乎与巴特沃思滤波器相同,阻带是等波纹幅频特性。椭圆滤波器的过渡带最窄,通带和阻带均是等波纹幅频特性。,五、三种滤波器比较,六、模拟高通、带通、带阻滤波器的设计,在模拟滤波器设计手册中,各种经典滤波器的设计公式都是针对低通滤波器的,并提供从低通到其他各种滤波器的频率变换公式。设计高通、带通和带阻滤波器的一般过
16、程是:(1)通过频率变换公式,先将希望设计的滤波器指标转换为相应的低通滤波器指标;(2)设计相应的低通系统函数Q(p);(3)对Q(p)进行频率变换,得到希望设计的滤波器系统函数H(s)。,七、用MATLAB工具箱设计巴特沃斯滤波器,MATLAB信号处理工具箱函数buttap,buttord和butter是巴特沃斯滤波器设计函数。其5种调用格式如下。1)Z,P,K=buttap(N)该格式用于计算N阶巴特沃斯归一化(3 dB截止频率c=1)模拟低通原型滤波器系统函数的零、极点和增益因子。返回长度为N的列向量Z和P,分别给出N个零点和极点的位置,K表示滤波器增益。得到的系统函数为如下形式:,2)
17、N,wc=buttord(wp,ws,Rp,As)该格式用于计算巴特沃斯数字滤波器的阶数N和3 dB截止频率wc。调用参数wp和ws分别为数字滤波器的通带边界频率和阻带边界频率的归一化值,要求0wp1,0ws1,1表示数字频率。Rp和As分别为通带最大衰减和阻带最小衰减(dB)。当wswp时,为高通滤波器;当wp和ws为二元矢量时,为带通或带阻滤波器,这时wc也是二元向量。N和wc作为butter函数的调用参数。,七、用MATLAB工具箱设计巴特沃斯滤波器,3)N,wc=buttord(wp,ws,Rp,As,s)该格式用于计算巴特沃斯模拟滤波器的阶数N和3 dB截止频率wc。wp、ws和wc
18、是实际模拟角频率(rad/s)。其他参数与格式2)相同。,七、用MATLAB工具箱设计巴特沃斯滤波器,4)B,A=butter(N,wc,ftype)计算N阶巴特沃斯数字滤波器系统函数分子和分母多项式的系数向量B和A。调用参数N和wc分别为巴特沃斯数字滤波器的阶数和3 dB截止频率的归一化值(关于归一化),一般按格式2)调用函数buttord计算N和wc。由系数向量B和A可以写出数字滤波器系统函数:,七、用MATLAB工具箱设计巴特沃斯滤波器,5)B,A=butter(N,wc,ftype,s)计算巴特沃斯模拟滤波器系统函数的分子和分母多项式的系数向量B和A。调用参数N和wc分别为巴特沃斯模拟
19、滤波器的阶数和3 dB截止频率(实际角频率)。由系数向量B和A写出模拟滤波器的系统函数为,七、用MATLAB工具箱设计巴特沃斯滤波器,参数ftype区分滤波器类型。ftype=high时,设计3 dB截止频率为wc的高通滤波器。缺省ftype时默认设计低通滤波器。ftype=stop时,设计通带3 dB截止频率为wc的带阻滤波器,此时wc为二元向量wcl,wcu,wcl和wcu分别为带阻滤波器的通带3 dB下截止频率和上截止频率。缺省ftype时设计带通滤波器,通带为频率区间wclwcu。应当注意,设计的带通和带阻滤波器系统函数是2N阶的。这是因为带通滤波器相当于N阶低通滤波器与N阶高通滤波器
20、级联。,七、用MATLAB工具箱设计巴特沃斯滤波器,例2、已知通带截止频率fp=5kHz,通带最大衰减 p=2 dB,阻带截止频率fs=12 kHz,阻带最小衰减 s=30 dB,调用buttord和butter设计巴特沃斯低通模拟滤波器。设计程序如下:wp=2*pi*5000;ws=2*pi*12000;Rp=2;As=30;N,wc=buttord(wp,ws,Rp,As,s);B,A=butter(N,wc,s);,七、用MATLAB工具箱设计巴特沃斯滤波器,fk=0:14000/512:14000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B,A,wk);plot(fk/1000,20*
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