投资学(屠新曙著)第四章.ppt

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1、1,第四章 证券组合分析,2,本章主要内容,4.1结合线 4.2寻找证券组合的最小方差集合 4.3寻找证券组合的有效集,3,证券组合优化模型,利用证券组合的预期收益率和风险度量公式，Harry.M.Markowitz 于1952年建立了如下的证券组合优化模型：（4.1）其中，Rp是证券组合的预期收益率，Ri（i=1,2,n）是证券i的预期收益率，xi是证券i在证券组合中的权重，n是证券组合中证券的数目，2p是证券组合的方差，其开方p是证券组合的标准差，被用来度量证券组合的风险，是种证券的协方差矩阵。,4,从系统（4-1）可知，Markowitz模型是一个双目标规划模型。Markowitz为了求

2、解该模型，将其中一个目标（预期收益率公式）转化为约束条件，从而将该双目标规划模型变换为可求解的单目标模型。但这样无疑将增加投资者的决策难度，那么有没有一种方法来直接求解系统（4-1）呢？屠新曙在1998年3月给出了一种方法来直接求解系统（4-1），并在2000年10月将这种方法进行了完善。,5,4.1 结合线,设有两种风险证券A与B，它们的预期收益率分别是RA和RB，它们的标准差分别是A和B，它们之间的相关系数是，它们在证券组合中的权重分别是xA和xB，则有：xB=1-xA，同时证券组合的预期收益率和风险方程分别是：（4.2）（4.3）从上两式可以看到，两支风险证券在证券组合中的权重不同，证券

3、组合的预期收益率和风险也不同。,6,结合线图,由公式（4.2）和（4.3），在R（即标准差预期收益率）平面上可以得到一条经过A和B的连续曲线（图4-1），称之为结合线，其上每一点由给定权重的证券组合的标准差与预期收益率所确定。,结合线在R平面上描述了风险证券A和B的所有可能的组合。,7,结合线方程,为了更细致地讨论两支风险证券构成的证券组合的结合线及其性质，我们不妨设，这也符合实际情况。由公式（4-2），我们可得：（4.4）将（4-4）代入到公式（4-3）中，得到（4.5）为了更清楚地研究公式（4-5）的性质，我们对它进行一些数学处理。得到：,8,（4.6）如果|1，则：21，且 故,9,简化

4、公式（4.6），可以得到R平面上的一条双曲线的右半支：（4.7）其中,10,公式（4.6）表示由两支风险证券构成的证券组合的结合线为R平面上双曲线的右半支，且它经过两个定点A(A,RA)和B(B,RB)。如果不允许卖空，即xA0，xB 0，则证券组合的预期收益率在两支风险证券的预期收益率之间，即：RB Rp RA或RA Rp RB。那么由公式（4.5），可得：（4.8）所以，由两支风险证券构成的证券组合的标准差（风险）p是关于它们之间相关系数的单调增函数。这也证明了证券组合的风险随着证券之间相关程度的增大而增加，随着证券之间相关程度的降低而减少，从理论上验证了第三章中的证券组合效应现象。,11

5、,由于 11，因此，（4.9）公式（4.9）说明：当等于1或1时，两支风险证券构成的证券组合的结合线退化为直线，而双曲线则夹在这两条直线之间。退化时，结合线方程为：,12,=1时：（4.10）,13,=-1时：（4.11）,14,不同相关系数下的结合线,点C坐标是点D坐标是,15,结合线的性质,两支风险证券构成的证券组合的结合线在R平面上是双曲线的右支。当两支风险证券的收益率完全正相关或完全负相关时，其构成的证券组合的结合线退化为直线。所有由风险证券A和B构成的证券组合的结合线都经过点A(A,RA)和点B(B,RB)。当两支证券的收益率完全正相关时，可以通过卖空一支证券到一定程度，实现无风险的

6、恒定收益（图4-2中点D）.而当两支证券收益率完全负相关时，可以以一定比例同时购进两种证券，达到规避风险的目的（图4-2中的点C）.在限制卖空时，投资者只能在图4-2中A、B点之间投资，此时，证券组合的风险是相关系数的单调增函数。,16,无风险证券与风险证券的结合线,假设证券A是风险证券，证券B是无风险证券，则证券B的标准差为0，它与证券A的协方差也为0。假定它们的预期收益率分别是RA和RB，证券A的标准差分别是A，它们在证券组合中的权重分别是xA和xB，则：xB=1-xA，且xA0，同时证券组合的预期收益率和风险方程分别是：（4.12）（4.13）化简，得：（4.14）这是R（即标准差预期收

7、益率）平面上的一条直线，且经过A(A,RA)和B(0,RB)，如图4-3所示。,17,如果投资者持有的证券组合介于点A、B之间，则表示他同时投资于风险证券A与无风险证券B。如果投资者持有的证券组合位于点A右上方的那段结合线上，则表示他卖空无风险证券B，将所得资金投资于风险证券A。,无风险证券与风险证券构成的证券组合的在R平面上是一条直线，这条直线实际上是从无风险利率出发，经过风险证券的一条射线。,18,4.2 寻找证券组合的最小方差集合,由第二章和第三章的内容可知，n种证券构成的证券组合的预期收益率公式与方差公式组成系统：（4.15）给定一个证券组合的预期收益率Rp，可以有无穷多种证券组合方式

8、来实现该预期收益率。对于一个给定的风险水平，也有无穷多种组合方式来实现它。,19,在R平面上，系统（4-15）的解是一个由一条弹丸形曲线围成的区域（见图44），称这个区域为证券组合的可行集。可行集是所有可能的证券组合的集合.,可行集,20,最小方差集合,由于大多数投资者是风险厌恶者，因而他们总是在一定预期收益率和一定风险水平下选择证券组合。理性的投资者总是希望：在所能承受的风险水平下，获得最大的预期收益；或者在一个已知的预期收益率下，使投资风险达到最小。也就是说，理性的投资者希望在图44中的可行集的边界弹丸形曲线上获取某一位置，我们称这条弹丸形曲线为证券组合的最小方差集合。最小方差集合中的每一

9、点都表示一个由n种证券构成的证券组合，区别只是组合中各支证券在组合中的权重不同。这些证券组合都遵循一个原则：在给定的预期收益率水平下，最小方差集合中的证券组合风险在所有可能的证券组合中是最低的。,21,最小方差集合是在给定的预期收益率水平下使风险达到最小的那些证券组合组成的集合。最小方差集合可由点MVP分为两半：上半部分是在风险一定时使预期收益率达到最大的证券组合的组成的集合，被称为证券组合的有效集，也称为证券组合的有效前沿；下半部分是风险一定时使预期收益率达到最小的证券组合组成的集合，被称为证券组合的低效集。对于图44中证券组合最小方差集合中的点A和B来说，点A就是证券组合的有效集中的点，而

10、点B却是证券组合的低效集中的点。理性的投资者最希望拥有有效集中的证券组合，最不希望得到低效集中的证券组合。,22,4.2.1 全局风险最小的证券组合,点MVP表示在所有的证券组合中，风险最小的证券组合，被称为全局最小方差组合。那么点MVP所对应的证券组合权重是怎样的呢？它对应的预期收益率和风险又是多大？令,23,则系统（4-15）就可写成（4.16）证券组合的风险函数p与其方差p2的最小值有一致性，可通过确定p2的最小值来确定p的最小值。要求点MVP，实际上就是求解如下的数学规划问题:（4.17）这是一个有约束条件的极值问题。,24,构造一个Lagrange乘子函数：由高数知识，条件极值问题（

11、4.17）的解是：（4.18）因为是正定矩阵，所以-1存在，因此由公式（4.18）可得点MVP的证券组合的权重向量：（4.19）,25,点MVP的预期收益率和方差分别是：（4.20）（4.21）因此，一旦选定了n种证券，在不考虑预期收益率的情况下，使这n种证券进行组合把风险降到最低程度的证券组合权重是XMVP。此时，证券组合降到的最低风险是MVP=1/(FT-1F)1/2该最小风险的证券组合的预期收益率是RMVP。,26,4.2.2 最小方差集合,为了求解双目标规划模型（4.1），Markowitz将其转化为能用Lagrange乘子方法求解的单目标规划模型：（4.22）模型（4.22）表示的是

12、：投资者在期望获得一定的收益情况下，使证券组合的风险最小。模型（4.22）也是一个有约束条件的极值问题。,27,模型(4.1)的解集是系统(4.15)的解集的子集，而模型(4.22)的解只是模型(4.1)解集中的一个元素。在图44中，模型(4.1)的解集是可行集的边界弹丸形曲线，即最小方差集合.模型(4.22)的解只是弹丸形曲线上的一点.（见图45）,称模型(4.22)的解是在给定预期收益水平下的最优证券组合，其权重称为给定预期收益水平下证券组合的最优投资权重。,28,求解单目标规划模型（4-22）,构造两个矩阵：则模型（4-22）就变为：（4.23）构造一个Lagrange乘子函数：其中，。

13、,29,由高数知识，条件极值问题（4.23）的解是：（4.24）因为是正定矩阵，-1存在，所以 A-1AT是可逆矩阵，因此单目标规划模型（4.22）的解是：（4.26）此时证券组合相应的最小风险就是：（4.27）,30,【例4.1】已知三种证券的预期收益率分别是：它们的协方差矩阵为：求满足给定预期收益率下证券组合的最优投资权重。,31,解：我们记：则：故，在给定预期收益率Rp的条件下，使证券组合的风险达到最小的最优投资权重向量为：,32,4.2.3 最小方差集合曲线,因为协方差矩阵是正定矩阵，所以它是对称矩阵，它的逆矩阵-1也是对称矩阵，因此，A-1AT也是对称矩阵，当然，其逆矩阵A-1AT-

14、1也是对称矩阵。令：那么由公式（4.27），当证券组合的预期收益率Rp不断变化时，我们在R平面上就可得到证券组合最小方差集合曲线的方程：（4.28）,33,公式（4-28）可以看成是Markowitz优化模型（4-1）在R平面上的解，即证券组合的最小方差集合。由公式（4-28），可得：因为 A-1AT-1是正定矩阵，所以，h110，h11h22 h212 0故上式可化简：（4.29）,34,其中 公式（4-29）说明n种证券组成的证券组合的最小方差集合也是R平面上的一条双曲线的右半支。请仔细比较一下两支证券组成的证券组合的结合线与 n 种证券组成的证券组合的最小方差集合这两条R平面上的双曲线有

15、什么不同？,？,35,4.2.4 限制卖空的最小方差集合,唐小我等人在1994年开始研究限制卖空的证券组合，即研究如下的单目标规划模型：（4.30）很显然，如果模型（4-23）的解是非负向量，那么它一定是模型（4-30）的解。如果模型（4-23）的解不是非负向量，那么在给定预期收益率下的证券组合最优权重向量就有一些负分量.这些负分量的存在意味着在为了获得给定的预期收益率下使证券组合的风险达到最小，投资者要卖空这些负权重的证券。,36,现在要限制卖空，投资者就必然要删除那些负权重的证券，然后再重新求解降维后的模型（4-23），可以证明这时求得的证券组合最优权重是非负向量。由于限制卖空，投资者对证

16、券组合的预期收益率Rp不能无限制地大，即有：记：，则有。我们令（4.31）,37,由公式（4-26），模型（4-23）的解就是：（4.32）由上式，我们可得证券的投资权重为：（4.33）所以，我们有：（4.34）,38,证券组合的权重向量无负分量的条件为：（4.35）我们说ui不为0，同时，ui要么是正数，要么是负数，并且至少有一个为正数，也至少有一个为负数。记：（4.36）则：（4.37）这样，si把区间 划分成了有限个相互邻接的子区间，在每个子区间内部，证券组合对应的各个权重符号一致。,39,根据投资者预期收益率Rp所属的子区间，由公式（4-37）做出判断，删除一些证券，然后利用公式（4-

17、26），就可求出限制卖空时证券组合的最优权重了。【例4.2】已知三种证券的预期收益率分别是它们的协方差矩阵为：求限制卖空时满足给定预期收益率下证券组合的最优权重。,40,解：由题意，0.05 Rp 0.15。我们记：则：因此，,41,由于，且40，这说明对于任意的预期收益率Rp(0.05，0.15)，投资者都要购买第二种证券。于是s1和s3把区间 分成了三个相互邻接的子区间：在每个子区间内部，构成证券组合的证券是相同的。当Rp(0.05，0.07)时，因为x10，x20，x30，所以要删掉第三种证券，而购买第一、二种证券，这时证券组合的最优投资权重向量为：,42,当Rp0.07，0.12时，因

18、为x10，x20，x30，所以三种证券都购买，这时证券组合的最优投资权重向量为：当Rp(0.12，0.15)时，因为x10，x30，所以要删掉第一种证券，而购买第二、三种证券，这时证券组合的最优投资权重向量为：,43,综上所述，可得限制卖空时证券组合的最优投资权重向量为：也就是说，限制卖空时证券组合的最优投资权重向量Xp是0.05，0.15 上关于证券组合预期收益率Rp的逐段线性向量函数。注：在R平面上关于证券组合预期收益率Rp的区间0.05，0.07位于低效集上；0.07，0.12一部分在低效集上，一部分在有效集上；而0.12，0.15则位于有效集上.,44,4.3 寻找证券组合的有效集,在

19、上节中，我们系统地介绍了在给定预期收益率下，如何利用Lagrange乘子法求解使证券组合的风险达到最小的最优投资权重，由此可以得到证券组合的最小方差集合。但是，如果投资者希望在一个能承受的风险水平下使证券组合的预期收益率达到最大，那该如何解决呢？即如何寻找证券组合的有效集？显然，Lagrange乘子法对此无能为力！为此，屠新曙在1998年3月提出了一种方法几何方法解决了这个问题，一年后又用这种几何方法讨论了限制卖空时的情况，并在2000年10月对这种几何方法进行了总结。几何方法不但能同时求解给定预期收益率下使风险达到最小的证券组合优化模型和给定所能承受的风险水平下使预期收益率达到最大的证券组合

20、优化模型，而且彻底解决了Markowitz优化模型（4-1）。,45,4.3.1 证券组合的临界线,假设我们只对A、B、C三种证券进行投资，这三种证券的预期收益率分别是：R1，R2和R3，且R1 R2 R3，它们之间的协方差矩阵为：现在，我们在权重空间中来对此种情况进行研究。首先我们考虑图4-6中的三角形。,46,47,三角形的三个顶点为R、S和T，它内部的所有位置都表示由A、B、C三种证券构成的证券组合。例如，在点N处，我们对证券A投资45%的资金，对证券B投资30%的资金，剩下的25%的资金就投资于证券C。对于三角形边线上的证券组合，是将所有资金投资于两种证券上，而对第三种证券根本不予投资

21、。例如，RS边线上的点Q，是对证券B投资70%，对证券C投资30%，而对证券A则不投资。三角形的三个顶点，表示只投资一种证券，而对另两种证券不予投资。比如点S，是将全部资金投资于证券C，对证券A和B都不投资.在三角形以外的点上，一定要卖空一种证券。比如直线GH右上方的任一点，表示卖空证券C；纵轴左侧的点，表示卖空证券A；横轴下方的点。表示卖空证券B。,48,由于我们的证券组合权重之和为1，而且证券组合的预期收益率是：（4.38）所以，对于一个给定的预期收益率Rp，公式（4-38）在权重空间xAxB中就表示一条直线，这条直线上的每一点所对应的证券组合的预期收益率都相等，我们称这条直线为一条等预期

22、收益率线。等预期收益率线之间是平行的。由公式（4-38）可知，任何一条等预期收益率线在权重空间xAxB中都可表示为：（4.39）,49,由于我们的证券组合的方差是：（4.40）方程（4-40）是关于变量x1和x2的二次方程，由于因此，变量x1和x2的二次项前的系数21+2 3-213和22+23-223都是大于0的数。所以，当证券组合的方差p2一定时，方程（4.40）在权重空间x1x2中就是一个椭圆，这个椭圆上的每一点所对应的证券组合的方差都相等，我们称这个椭圆为一个等方差椭圆。,50,对于不同的p2，可得到一族同心椭圆，中心是MVP，表示所有证券组合中方差可能达到最小的那个证券组合.等方差椭

23、圆之间是不相交的，而且任意两个等方差椭圆之间都有第三条等方差椭圆存在。当证券组合的方差由大变小时，等方差椭圆也由大变小，最后汇集于点MVP。在权重空间x1x2中将等预期收益率线和等方差椭圆的正切点连接起来，就得到一条直线，我们称之为证券组合的临界线，见图4-7中的直线NY。,51,52,临界线方程,将（4-40）式的两边对求导数，然后将（4-39）中的 代入进行化简，就可得到由三种证券构成的证券组合的临界线方程（4.41）,53,写成矩阵形式，得到 在映射（4-38）和（4-40）下，x1x2空间中的临界线与R平面中的最小方差集合一一对应。对于不同预期收益率，联立（4-38）和（4-41），可

24、在临界线上找到证券组合的最优投资权重，使证券组合的风险最小。对于投资者所能承受的风险或方差，联立（4-40）和（4-41），可在临界线上找到证券组合的最优投资权重，使证券组合的预期收益率最高。,54,【例4.3】假设一个证券组合由三支股票构成，这三支股票分别是A、B、C，它们的预期收益率分别是：RA=15%，RB=10%，RC=5%，它们的协方差矩阵是：则通过对这个协方差矩阵对角线上的方差开方，就得到这三支股票的风险：由公式（4-38），这三支股票组成的证券组合的预期收益率是：,55,所以，给定一个预期收益率Rp，我们就可以得到一条等预期收益率直线 xB=2 xA+320Rp这条等预期收益率直

25、线的斜率是2，截距是320Rp。由此可见，截距的值取决于想要得到的证券组合的预期收益率。如果想要找到预期收益率为10%的证券组合的权重，此时等预期收益率直线的截距是3200.1=1，故等预期收益率直线是：xB=2xA+1。若把30%的资金投资于股票A，则必须将 20.3+1=0.4=40%的资金投资于股票B，而将剩下的30%的资金投资于股票C，才能得到预期收益率为10%的证券组合。当然，使证券组合的预期收益率为10%的权重并不是唯一的，满足直线方程xB=2xA+1的所有权重都能使证券组合的预期收益率为10%。由公式（4-40），这三支股票组成的证券组合的方差是：,56,如果我们想要找到方差为0

26、.3的证券组合的权重，可以先为xA取一个任意值，比如是0，这时，上式就变成：化简，可得：这是一个关于xB的一元二次方程，由一元二次方程的求根公式，可得到xB的两个解，它们分别是：xB=0.69和xB=0.08，所以存在两个证券组合的方差均为0.3，它们分别是：xA=0、xB=0.69、xC=0.31和xA=0、xB=0.08、xC=1.08，这只是方差为0.3的等方差椭圆上的两个证券组合。要找出更多的证券组合，只须为xA再取任意一个值，然后把这个值代入公式（4-40）就又可以得到两组权重。多次重复上述过程，我们就可以得到方差为0.3的等方差椭圆。为了得到证券组合的另一个不同的方差所对应的椭圆，

27、只须把证券组合的新方差代入公式（4-40），重复上述步骤即可。,57,在这个例子里，根据公式（4-41），证券组合的临界线是：0.0435xA 0.0105xB+0.0015=0化简可得：29xA+7xB 1=0。这条直线上的权重所对应的证券组合都是由股票A、B、C所构成的证券组合的最小方差集合中的点。如果希望证券组合的预期收益率是10%，我们知道其等预期收益率线是：xB=2xA+1，这时风险最低的证券组合的权重就是两直线29xA+7xB 1=0和xB=2xA+1的交点，即：xA=0.4、xB=1.8、xC=0.4如果希望证券组合的风险不要超过p，则可以将xA=(1/29)(7/29)xB代入

28、到公式（4-41）中，得到一个关于xB的一元二次方程，由求根公式，可得到xB的两个解，进而得到两个证券组合，我们比较它们的预期收益率，就可得到此时预期收益率最大的证券组合。,58,一般情形下的临界线方程,假设n种证券构成组合，权重分别是x1、x2、xn-1、xn（=1-x1-x2-xn-1)，则证券组合的预期收益率Rp与方差p2分别可表示为：（4.43）（4.44）方程（4.44）是关于变量x1、x2、xn-1的二次方程,59,由于 因此，变量x1、x2、xn-1的二次项前的系数12+n2-21n22+n2-22nn-12+n2-2n-1n都是大于0的数。所以，在权重空间中，公式(4-44)代

29、表等方差超椭球面，对于不同的p2，可得到一族同心超椭球面，中心为MVP。,60,在权重空间（x1、x2、xn-1）中，公式（4.43）代表等预期收益率超平面，对于不同的Rp，可得到一族平行超平面。因而，n种证券构成的证券组合的最优投资权重应是等预期收益率超平面(4.43)与等方差超椭球面(4.44)的正切点，把这些正切点连接起来，就得到一条直线，它就是n种证券构成的证券组合的临界线。方程(4.43)在点（x1、x2、xn-1）处的法向量是：（4.45）方程(4.44)在点（x1、x2、xn-1）处的法向量是：,61,如果令,62,方程（4-44）在点（x1，x2，xn-1）处的法向量可简化为（

30、4.46）由临界线定义，可得临界线方程为（4.47）由公式（4-47）可得到由n-2个方程构成的线性方程组：（4.48）,63,其中，于是，对于投资者不同的预期收益率Rp，联立公式(4.43)和线性方程组(4.48)，可在临界线上求得证券组合的最优投资权重，使风险达到最小。线性方程组(4-48)的秩是n-2，它的基础解系的个数是1，即x2、xn-1都可由x1表示。对于投资者所能承受的风险，联立公式(4.44)和线性方程组(4.48)，可求得证券组合的最优投资权重，使得证券组合的预期收益率最高。根据以上分析，可以看出，证券组合的最小方差集合，即模型（4.1）的解，实际上就是线性方程组（4.48）

31、的解集，也就是图47中的直线NY。,64,4.3.2 限制卖空时证券组合的临界线 上一节我们用几何方法探讨了Markowitz优化模型（4-1）的求解问题，在那里我们只讨论了允许卖空的情形，也就是说，在我们所讨论的证券组合中，证券的权重可以是正数，也可以是负数。但由于一些证券市场（比如中国）是限制卖空的，因此我们有必要研究限制卖空时，如何用几何方法来求解证券组合的优化模型。我们还是从由三种证券构成的证券组合开始。不妨设三种证券的预期收益率与方差满足：R1R2R3，112233。由于不能卖空任何证券，因而每种证券的投资权重必须是0与1之间的数，即xi 0（i=1,2,3），x1+x2+x3=1，

32、这意味着只能在图48中的三角形 的边线上或 内部投资。由上一节的讨论，我们可以知道，允许卖空的临界线就是图48中的直线NY，它交AB于点H，它交OB于点E，其有效部分是点MVP右端部分，即图48中直线NY的实线。其中，点MVP是所有可能的证券组合中风险最小的证券组合投资权重。由节，我们可得到点MVP处证券组合的预期收益率Rp0与方差p02。因而，在x1x2平面中，限制卖空的证券组合临界线应该是折线OEHA，其有效部分是由线段 和 构成的连线。,65,4.3.2 限制卖空时证券组合的临界线,还是从由三种证券构成的证券组合开始。不妨设三种证券的预期收益率与方差满足：R1R2R3，112233。由于

33、不能卖空任何证券，因而每种证券的投资权重必须是0与1之间的数，即xi0（i=1,2,3），x1+x2+x3=1，这意味着只能在图48中三角形的边线上或内部投资。允许卖空的临界线就是图48中的直线NY，它交AB于点H，它交OB于点E，其有效部分是点MVP右端部分，即图48中直线NY的实线。因而，在x1x2平面中，限制卖空的证券组合临界线应该是折线OEHA，其有效部分是由线段和构成的连线。,66,67,由公式（4.42）可知，直线NY的方程为：故它与直线AB的交点H的坐标是：,68,此时，证券组合的预期收益率与方差分别是：（4.49）（4.50）当 时，限制卖空的证券组合临界线方程就是方程（4.4

34、2），我们称它为第一类临界线。当 时，限制卖空的证券组合临界线方程就是方程 x1+x2=1（4.51）我们称它为第二类临界线。,69,因而，给定一个预期收益率Rp，如果那么联立方程（4.38）和（4.42）即可求出限制卖空时证券组合的最优投资权重，使证券组合的风险达到最小。如果那么联立方程（4.38）和（4.51）即可求出限制卖空时证券组合的最优投资权重，使证券组合的风险达到最小，并进而由方程（4.40）可求出相应的最小方差（风险）。,70,给定一个方差（风险）值p 2，如果那么联立方程（4.40）和（4.42）即可求出限制卖空时证券组合的最优投资权重，使证券组合的预期收益率达到最大。如果那么

35、联立方程（4.40）和（4.51）即可求出限制卖空时证券组合的最优投资权重，使证券组合的预期收益率达到最大，并由方程（4.38）可求出相应的最大预期收益率。,71,现在我们考虑一般情形，不妨设R1R2Rn，1122nn由于x1+x2+xn-1+xn=1，故xn=1-x1-x2-xn-1。因而证券组合的预期收益率与方差公式分别是(4.43)和(4.44).由于xi 0，所以在权重空间（x1，x2，xn-1）中投资权重只能位于由下列n个超平面围成的区域G内：由节可得区域G内点MVP处证券组合的预期收益率与方差分别是（4-20）和（4-21）。,72,类似于三种证券时第一类临界线的定义，我们可得到n

36、种证券的第1类临界线，它就是允许卖空的临界线，其方程是由n-2个线性方程构成的方程组：（4-52）其中,73,在权重空间（x1，x2，xn-1）中，第1类临界线与投资区域的边界：交于点H1。同理，可定义第2类临界线，它的方程为：（4.53）其中,74,进一步，可得第k类临界线方程为：（4-54）其中,75,类似于三种证券第二类临界线的定义，可得n种证券的第n-1类临界线方程：第1类临界线，第2类临界线，第n-1类临界线，都统称为证券组合的临界线。由定义可知，证券组合的临界线为一条连续但不光滑的空间折线，折点分别记为H1，H2，Hn-2。在权重空间（x1、x2、xn-1）中，折点Hk的坐标可由第

37、k类临界线方程和方程求得，由此以及方程（4.43）和（4.44）可求得Hk处n种证券组合的预期收益率和方差。,76,由于故由临界线定义可知：因此，对于证券组合任意一个给定的预期收益率，如果则联立第k类临界线方程和方程（4.43），都可在临界线上找到使证券组合的风险（或方差）达到最小的最优权重。再由方程（4.44），便可求得这个最小方差。,77,由于每一类临界线方程的秩是n-2，因而它的基础解系所含向量个数为1，所以x1、x2、xn-1要么是0，要么可由x1线性表示，这样对于任意一个给定的证券组合方差,如果则联立第k类临界线方程和方程（4.44），都可在临界线上找到使证券组合的预期收益率达到最大

38、的最优权重。再由方程（4.43），便可求得这个最大预期收益率。,THE END,78,思考题：,1、假设证券A和B不相关，它们的预期收益率分别是12%和6%，它们的风险分别是10%和8%，请算出这两种证券的结合线，并在标准差预期收益率平面上画出该结合线。2、在上题中，假如你有10000元可用于投资，并打算卖空5000元的证券B以投资于证券A，请计算该证券组合的预期收益率和风险。3、假设证券A和B完全正相关，它们的风险分别是10%和15%，请问它们的投资比例是怎样时才能得到一个零风险的证券组合？如果它们完全负相关，那么情况又会是怎样的？4、凭直觉，为什么在允许卖空的情况下，大多数证券的权重不是正

39、的就是负的？5、什么是等预期收益率直线？什么是等方差椭圆？6、请比较最小方差集合和有效集。7、如何定义临界线？如何找出临界线？,79,8、给定一组证券A、B、C，假设你拥有最小方差集合中的两个组合，在允许卖空的情况下，这两个组合的权重如下:组合1：XA=0.24、XB=0.52、XC=0.24；组合2：XA=0.36、XB=0.72、XC=0.64 a）如果对组合1投资2000元，对组合2投资1000元，那么新组合中各证券的权重是多少？b）将组合1和组合2画在XAXB图中，合并后的组合是否落在临界线上？c）假设3000元中的1500元投资于证券A，如何在证券B和C之间分配余下的1500元，才能使组合落在最小方差集合中？,80,9、已知证券A、B、C的预期收益率分别是：6%、8%、12%，它们的协方差矩阵为：求限制卖空时满足给定预期收益率下证券组合的最优权重。10、在上题中，如果允许卖空，求满足证券组合的风险为30时，使预期收益率达到最大的证券组合最优权重。,