数值分析课件第1章.ppt

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1、数值分析电子课件,工科研究生公共课程数学系列,辽宁科技大学 理学院任 课 教 师：熊 焱Email:密码：szfxkj,第1章 绪 论,内容提要：1.1 数值分析研究对象与特点1.2 数值计算的误差1.3 误差定性分析与避免误差危害,1.1 数值分析研究对象与特点一、数值分析研究对象二、数值分析的特点三、数值分析的学习方法,一、数值分析研究对象计算机解决科学计算问题时经历的过程,实际问题,模型设计,算法设计,问题的解,上机计算,程序设计,求,方程求根,牛顿法,程序设计,解,上机计算,实例,数值分析的内容包括函数的数值逼近、数值微分与数值积分、非线性方程数值解、数值线性代数、常微和偏微数值解等。

2、数值分析研究对象以及解决问题方法的广泛适用性，著名流行软件如Maple、Matlab、Mathematica等已将其绝大多数内容设计成函数，简单调用之后便可以得到运行结果。但由于实际问题的具体特征、复杂性,以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的。本课程内容包括了微积分、代数、常微分方程的数值方法，必须掌握这几门课程的基础内容才能学好这门课程。,二、数值分析的特点面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法。有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。这些都

3、是建立在数学理论的基础上，因此不应片面的将数值分析理解为各种数值方法的简单罗列和堆积。要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值实验证明是行之有效的。,三、数值分析的学习方法 初学可能仍会觉得公式多，理论分析复杂。给出如下的几点学习方法。认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本任务，主动适应公式多和讲究理论分析的特点。注重各章节所研究算法的提出，掌握方法的基本原理和思想，要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合。理解每个算法建立的数学

4、背景、数学原理和基本线索，而且对一些最基本的算法要非常熟悉。要通过例子，学习使用各种数值方法解决实际计算问题。为掌握本课的内容，还应做一些理论分析和计算练习。,1.2 数值计算的误差,一、误差的来源 在运用数学方法解决实际问题的过程中，每一步都可能带来误差。1、模型误差 在建立数学模型时，往往要忽视很多次要因素，把模型“简单化”，“理想化”，这时模型就与真实背景有了差距，即带入了误差。2、测量误差 数学模型中的已知参数，多数是通过测量得到。而测量过程受工具、方法、观察者的主观因素、不可预料的随机干扰等影响必然带入误差。,3、截断误差 数学模型常难于直接求解，往往要近似替代，简化为易于求解的问题

5、，这种简化带入误差称为方法误差或截断误差。,4、舍入误差 计算机只能处理有限数位的小数运算，初始参数或中间结果都必须进行四舍五入运算，这必然产生舍入误差。,误差分析是一门比较艰深的专门学科。在数值分析中主要讨论截断误差及舍入误差。但一个训练有素的计算工作者，当发现计算结果与实际不符时，应当能诊断出误差的来源，并采取相应的措施加以改进，直至建议对模型进行修改。二、绝对误差、相对误差与有效数字1、绝对误差与绝对误差限,误差是有量纲的量，量纲同 x，它可正可负。误差一般无法准确计算，只能根据测量或计算情况估计出它的绝对值的一个上限，这个上界称为近似值 x*的误差限，记为*。,2、相对误差与相对误差限

6、,3、有效数字 定义3 如果近似值x*的误差限是它某一数位的半个单位，我们就说 x*准确到该位，从这一位起直到前面第一个非零数字为止的所有数字称 x 的有效数字.,4、绝对误差，相对误差与有效数字的关系 绝对误差与相对误差：由两者定义可知。,绝对误差与有效数字：绝对误差不超过末位有效数字的半个单位。,有效数字与相对误差限,定理说明有效数位越多，相对误差限越小。定理也给出了相对误差限的求法。,三、数值运算的误差估计1、四则运算,2、函数误差 当自变量有误差时计算函数值也产生误差，可以利用函数的泰勒展开式进行估计。,1.3 误差定性分析与避免误差危害一、几种定性分析误差的方法1、概率分析法：考虑到

7、误差分布的随机性，用概率统计的方法，将数据和运算中的舍入误差视为适合某种分布的随机变量，然后确定计算结果的误差分布。2、向后误差分析法：把新算出的量由某个公式表达，它仅含基本算术运算，利用摄动理论估计舍入误差的界。3、区间分析法：把参加运算的数都看成区间量，根据区间 运算规则求得最后结果的近似值及误差限。2、3是20世纪60年代后对舍入误差分析提出的新方法。,一、病态问题与条件数1、病态问题：对一个数值问题本身如果输入数据有微小扰动（即误差），引起输出数据（即问题解）相对误差很大，就是病态问题。2、条件数,二、算法的稳定性 用一个算法进行计算，由于初始数据误差在计算中传播使计算结果误差增长很快

8、就是数值不稳定的，先看下例。,计算结果：,n,法一(A),法二(B),0123456789,0.63210.36790.26420.20740.17040.14800.11200.2160-0.72807.552,0.63210.36790.26430.20730.17080.14550.12680.11210.10350.0684,三、避免误差危害的若干原则1、要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法。用绝对值小的数作除数舍入误差会增大，如计算x/y，若0|y|x|，则可能对计算结果带来严重影响，应尽量避免。,2、要避免两相近数相减 在数值中两相近数相减有效数字会严重损失。例如，x=532

9、.65，y=532.52都具有五位有效数字，但x-y=0.13只有两位有效数字。通过改变算法可以避免两相近数相减。,3、要防止“大数”吃掉小数 数值运算中参加运算的数有时数量级相差很大，而计算机位数有限，如不注意运算次序就可能出现大数“吃掉”小数的现象，影响计算结果的可靠性。如用六位浮点数计算某市的工业总产值，原始数据是各企业的工业产值，当加法进行到一定程度，部分和超过100亿元（0.11011），再加产值不足10万元的小企业产值，将再也加不进去。而这部分企业可能为数不少，合计产值相当大.这种情况应将小数先分别加成大数，然后相加，结果才比较正确。这个例子告诉我们，在计算机数系中，加法的交换律和结合律可能不成立，这是在大规模数据处理时应注意的问题。,4、注意简化计算步骤，减少运算次数 减少算术运算的次数不但可计算机的计算时间，还能减少误差的积累效应。使参加运算的数字精度应尽量保持一致，否则那些较高精度的量的精度没有太大意义。,误差及算法,误差,算法,数值稳定性概念,算法设计注意要点,分类,度量,传播,舍入误差的产生及定义,截断误差的产生及定义,绝对误差（限）,相对误差（限）,有效数字,三者的联系,一元函数,n元函数,计算函数值问题的条件数,二元算术运算,知识结构图一,End!,